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第二十二节相似三角形作辅助线构造“A”“X”型


初二数学

2011 春季

编号:M08TA22

相似三角形
——作辅助线构造“A” “X”型 【知识要点】 1、 了解的特征:与三角形一边平行的直线,在原三角形上截得的三角形与原三角形相似。 2、 解题方法: (1)当题目图中出现“A” “X”型时,可利用比例线段求解; (2)当图中出没有“A” “X”型

时,可作平行线辅助线,构造“A” “X”型,得到比例线段。 【典型例题】 作辅助线构造“A” “X”型 例 1、 如图,E 是□ABCD 的边 AB 的中点, AF ?
1 3 FD , EF , AC 相交于 G,求 AG GC

的值 C O

D

F A

G E B

例 2、如图,已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC 于 F。 求证:AF=EF。 A F

E B D

C

例 3、已知:如图,在△ABC 中,AD 为中线,E 在 AB 上,AE=AC,CE 交 AD 于 F,EF∶FC=3∶5,EB=8cm, 求 AB、AC 的长.

成功在于每天的努力!——智明教育

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BD FE 例 4、如图,直线交△ABC 的 BC,AB 两边于 D,E,与 CA 延长线交于 F,若 = =2,求 BE:EA 的比值. DC ED
F

A E

B

D

C

例 5、如图, A F E

BD CD

?

AE DE

?

1 2

,求

AF BF

。 (试用多种方法解) A F E F A E

A F E

B

D

C

B

D

C

B

D

C

B

D

C

【课堂练习】 1.如图,一直线与△ABC 的边 AB,AC 及 BC 的延长线分别交于 D,E,F。求证:若 是 AB 的中点。 A D E B C F
AE EC ? BF CF

,则 D

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2.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,E 在 AC 的延长线上,BD=3CE,DE 交 BC 于 F,求 DF:FE 的 值。 A D

B

F

C E

3.已知:如图,△ABC 中,AE=CE,BC=CD,求证:ED=3EF

4.如图所示在△ABC 中,∠ACB=90°,D 为中点,DE⊥AB 交 AC 于 E,交 BC 的延长线于 F。求证:
AD
2

? DE ? DF 。

A

E

D

F

C

B

5.已知:AM:MD=4:1,BD:DC=2:3,求 AE:EC。
A

E M B D C

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【作业】 一、判断 1.有一个角是 30°的两个等腰三角形一定相似. ( ) 2.有一个角是 30°的两个直角三角形一定相似. ( ) 3.相似三角形面积的比等于周长比的平方. ( ) 4.两个三角形相似,则各自由三条中位线构成的两个三角形也相似. ( ) 5.若两个三角形相似,且有一条边相等,则相似比 k=1. ( ) 6.若两个三角形有两边对应成比例,且有一角对应相等,则这两个三角形相似. ( ) 7.已知:△ABC 中,DE∥BC 交 AB 于 D,AC 于 E,AB=12,AD-DB=4,BC=9,则 DE=________. 8.已知:Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=4,BD=2,则 CD=_______,AC=________. 9.一个三角形三边长分别为 5cm,8cm,12cm,另一个与它相似的三角形的最长边为 4.8cm,则另外两 边分别为________.
2 10.△ABC 中,AD⊥BC 与 D,且 A B ? B C ? B D ,则△___∽△___;可以判定△ABC 为_______三角形

11.△ABC 中 P 是 AB 上一点,且∠ACP=∠B,AC=4,AB=6,则 PB=________. 二、 1.下列命题中,正确的是 ( ) A.有一个角相等的两个等腰三角形相似 B.有两边成比例的两个等腰三角形相似 C.腰与底对应成比例的两个等腰三角形相似 D.都有一个角等于 80°的两个等腰三角形相 似 2.在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,则下列式子中错误的是 ( ) 2 2 2 2 A.AD =BD·DC B.CD =CF·CA C.DE =AE·EB D.AD =AF·AC 3.边长为 a 的等边三角形,被平行于一边的直线分成等积的两部分,则截得的梯形一底长为 a,另一 底长为( )

4.在两个三角形中,若一个三角形的两边分别是 1.2cm 和 1.6cm,另一个三角形的两边分别是 2.8cm 和 2.1cm,且它们的夹角相等,则这两个三角形的关系是 ( ) A.全等三角形 B.相似三角形 C.面积相等的三角形 D.不相似的三角形 6.已知:如图 5—21,△ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,且 AD=AE,连结 DE 并延长,交 BC 延长线于 F,求证:CF∶BF=CE∶BD

7.如图,D 为△ABC 的 BC 边的中点,E 为 AC 边上的点,且 AC=3CE,BE 与 AD 交于 O 点,求 A

AO OD

的值。

O B
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E C

D

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