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高中数学应用题1


九校联盟

初中数学备课组

执笔人:冯泽源

已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 a + 3b =_____

? ?

?

?

如图,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP = 3,则AP

? AC= .

??? ? ??? ?

A P B C

D

已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点 ⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ;⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。

已知△ ABC 中,a= 2,b= 3,B=60° ,那么角 A 等于多少?

在△ ABC 中,若 A=120° ,AB=5,BC=7,则△ ABC 的面积是多少?

在△ ABC 中,已知 a + b = 4, cos C =

1 ,求中线 CD 的最小值 3

已知:sinC=2sin(B+C)cosB,试判断三角形的形状。

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初中数学备课组

执笔人:冯泽源

某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角 ∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实 际高度为 125m,试问 d 为多少时,α-β 最大?

例 9. 在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直,灯杆 BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直,且
? ? ABC 120? , 路灯 C 采用锥形灯罩, 射出的光线如图中阴影部分所示, 已知 ? ACD 60 , 路宽 AD = 24

米,设灯柱高 AB = h (米), ? ACB (1)求灯柱的高 h (用 ? 表示) ;

q ( 30? # q

45? )

(2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和 为 S ,求 S 关于 ? 的函数表达式,并求出 S 的最小值.

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执笔人:冯泽源

如图所示, A, B 是两个垃圾中转站, B 在 A 的正东方向 16 千米处, AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处 理生活垃圾,政府决定在 AB 的北面建一个垃圾发电厂 P . 垃圾发电厂 P 的选址拟满足以下两个要求 ( A, B, P 可看成三个点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比, 比例系数相同; ②垃圾发电厂应尽量远离居民区 (这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大) . 现 估测得 A, B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时 满足上述要求?



· A

·
居民生活区

B

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且右焦点 F 到左准线 l

的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2) 过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C, 若 PC=2AB, 求直线 AB 的方程.

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执笔人:冯泽源

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M:

x2 + y 2 - 12x - 14 y + 60 = 0

及其上一点 A(2,4).

(1) 设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x=6 上,求圆 N 的标准方程; (2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程; (3) 设点 T(t,0)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得

??? ??? ??? ? TA +TP = TQ

求实数 t 的取值范围。

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执笔人:冯泽源

π 如图,将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转?(0<?< )得到正方形 A′B′C′D′.根据平面几何知 2 识,有以下两个结论:
A A' E F B G B' O K D J C' I H C

π ①∠A′FE=?;②对任意?(0<?< ),△ EAL,△ EA′F,△ GBF, 2 △ GB′H,△ ICH,△ IC′J,△ KDJ,△ KD′L 均是全等三角形. (1)设 A′E=x,将 x 表示为?的函数;
D'

L

(2)试确定α,使正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 重叠部分面积最小,并求最小面积.

如图所示,直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD, AB ? 10 3 m, CD ? 3 3 m,现用钢丝绳对这两根钢管进 行加固,有两种方法: (1)如图(1)设两根钢管相距 1m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处, 形成一个直线型的加固(图中虚线所示).则 BE 多长时钢丝绳最短? (2)如图(2)设两根钢管相距 3 3 m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处,再将钢丝绳依次固定在 D 处、B 处和 E 处,形成一个三角形型的加固(图中虚线所示).则 BE 多长 时钢丝绳最短? A A E E

C

C

D B F 图1

F

D 图2

B

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执笔人:冯泽源

海岸线 MAN , ? A

2q 现用长为 l 的拦网围成一养殖场,其中 B 挝MA, C

NA .

(1)若 BC = l ,求养殖场面积最大值; (2)若 B 、 C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 内选点 D ,使 BD + DC = l ,求四边形养殖场 DBAC 的 最大面积;

摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计.地面上有一长度为 240m 的景观带 MN, 它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM=60m.点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处,记∠ AOP=?,?∈(0,π).
B P

2p (1)当?= 时,求点 P 距地面的高度 PQ; 3
(2)试确定?的值,使得∠MPN 取得最大值.

O ? A Q M (第 17 题图) N

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执笔人:冯泽源

如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P,分 别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得 工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
C P N

A (第 17 题图)

M

B

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执笔人:冯泽源

MN AM 解法一:设∠AMN=θ,在△AMN 中, = . sin60° sin(120° -θ) 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ) . 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ). AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP =sin2(120° -θ)+4-2×2× =sin2(θ+60° )- 4 3 sin(120° -θ) cos(60° +θ) 3 ………………………………8 分 ………………………………………2 分 …………………………………………6 分

16 3 sin(θ+60° ) cos(θ+60° )+4 3 8 3 sin(2θ+120° )+4 3

=[1-cos (2θ+120° )]-

=-[sin(2θ+120° )+cos (2θ+120° )]+ =-sin(2θ+150° ),θ∈(0,120° ). …………………………………………12 分

当且仅当 2θ+150° =270° ,即 θ=60° 时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN 为 60?时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.……………………………………14 分 解法二(构造直角三角形): 设∠PMD=θ,在△PMD 中, ∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ. ……………2 分
N C P

MN AM 在△AMN 中,∠ANM=∠PMD=θ,∴ = , sin60° sinθ 4 3 4 3 π AM= sinθ,∴AD= sinθ+2cosθ,(θ≥ 时,结论也正确).……………6 分 3 3 2 4 3 AP2=AD2+PD2=( sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2 3 = = = 16 2 8 3 sin θ+ sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ…………………………8 分 3 3 16 1-cos2θ 4 3 4 3 8 20 · + sin2θ+4= sin2θ- cos2θ+ 3 2 3 3 3 3 20 16 π 2π + sin(2θ- ),θ∈(0, ). 3 3 6 3 …………………………12 分
A M 第 17 题图

D B

π π π 当且仅当 2θ- = ,即 θ= 时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 6 2 3 此时 AM=AN=2,∠PAB=30° …………………………14 分 解法三:设 AM=x,AN=y,∠AMN=α. 在△AMN 中,因为 MN=2,∠MAN=60° , 所以 MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN,
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执笔人:冯泽源

即 x2+y2-2xycos60° =x2+y2-xy=4. MN AN 2 y 因为 = ,即 = , sin60° sinα sin60° sinα 所以 sinα= x2+4-y2 x2+(x2-xy) 2x-y 3 y,cosα= = = . 4 4x 4 2×2×x

…………………………………………2 分

…………………………………………6 分

1 3 1 2x-y 3 3 x-2y cos∠AMP=cos(α+60° )= cosα- sinα= · - · y= .……………………………8 分 2 2 2 4 2 4 4 在△AMP 中,AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP, x-2y 2 即 AP2=x2+4-2×2×x× =x +4-x(x-2y)=4+2xy.………………………………………12 分 4 因为 x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即 xy≤4. 所以 AP2≤12,即 AP≤2 3. 当且仅当 x=y=2 时,AP 取得最大值 2 3. 答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.………………………………14 分

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