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上海市杨浦区2015学年高三一模数学试卷(理)含答案


杨浦区 2015 学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学学科试卷(理科)
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2015.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生

应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知 sin?

?

1 , ? ? ? 0, ? ? ,则 ? =________________. 2

2.设 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R? , A ? B ,则 m 的取值范围是________. 3.已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式为 an ? ________________. 4.已知直线 l 经过点 A ?1, ?2 ? , B ? ?3, 2 ? ,则直线 l 的方程是___________________. 5. 函数 f ?x ? ? x 2 ? 1?x ? 0? 的反函数 f
9

?

?

?1

?x ? ?



? 1? 6. 二项式 ? x ? ? 的展开式(按 x 的降幂排列)中的第4项是_________________. x? ?
7. 已知条件 p : x ? 1 ? 2 ;条件 q : x ? a ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围 是 .

8.向量 a ? ? 2,3? , b ? ? ?1, 2? ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 m =_________. 9.一家 5 口春节回老家探亲,买到了如下图的一排 5 张车票: 窗口 6排A座 6排B座 6排C座 走廊 6排D座 6排E座 窗口 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置,小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座 位之一,则座位的安排方式一共有__________种。 10.在底面直径为 6 的圆柱形容器中,放入一个半径为 2 的冰球,当冰球全部溶化后,容器 中液面的高度为_______________.(相同质量的冰与水的体积比为 10:9)
x 11.不等式 log 2 4 ? 3 ? x ? 1 的解集是_______________________.

?

?

第 1 页 共 1 页

12.设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,若 则角 C ? _________. 13.已知 ? ? ?

a?b?c b

3a a ?b?c

?0,

1 2

?

3 2

i ,集合 A ? z z ? 1 ? ? ? ? 2 ?

?

? ? n , n ? N * ,集合

?

B ? { x | x ? z1 ? z2 , z1 、 z2 ? A} ( z1 可以等于 z 2 ),
则集合 B 的子集个数为__________. 14.如图所示,已知函数 y ? log 2 4 x 图像上的两 点 A、 B 和函数 y ? log2 x 上的点 C, 线段 AC 平行于 y 轴, 三角形 ABC 为正三角形时, 点 B 的坐标为

? p, q ? ,

则 p ? 2 的值为________.
2 q

第 14 题图

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.程序框图如图所示,若其输出结果是 140,则判断框中填写的是( A. i ? 7 B. i ? 8 C. i ? 7 D. i ? 8 16.下列命题中正确的是(
3


开始



A.若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根 B.若 z1 ? C , z2 ? C 且 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 C.若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立 D.若 z ? C ,且 z ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数
2
2

i ? 1, s ? 0

i ? i ?1

s ? s ? i2
是 否 输出 s

17.圆心在抛物线 y 2 ? 2 x 上,且与 x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是( ) B. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ?

A. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0

1 ?0 4

结束 第 15 题图

第 2 页 共 2 页

C. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 18.对数列 ?an ? , ?bn ? ,

D. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ?

1 ?0 4

若区间 ? an , bn ? 满足下列条件:

* ① ?an?1 , bn?1 ? ? ? an , bn ? n ? N ;② lim ? bn ? an ? ? 0 ,

?

?

?

n??

则称 ? ? an , bn ? ? 为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是(

?

?



?1? ? 2? A an ? ? ? , bn ? ? ? ; ?2? ?3? ?1? C . an ? , bn ? 1 ? ? ? n ? 3?
n ?1
n

n

n

n ?1? B. an ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ? 3?
D . an ?

n

n?3 n?2

, bn ?

n?2 n ?1

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . 如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1,异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为

60? ,求:
(1)线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离; (2)三棱椎 B1 ? ABC1 的体积。
A1

D1

C1

B1

D A

C

B

第 3 页 共 3 页

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . ,现要在其中圈出一块矩形场 2 地 ABCD 作为儿童乐园使用,其中点 A、B 在弧 MN 上,且线段 AB 平行于线段 MN (1)若点 A 为弧 MN 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S; (2)当 A 在何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?
O D C

如图,有一块扇形草地 OMN,已知半径为 R, ?MON ?

?

M A B

N

21. (本题满分 14 分)第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分. 已知函数 f ? x ? ?

ax 2 ? 1 是奇函数, a , b, c 为常数 bx ? c

(1) 求实数 c 的值; (2) 若 a, b ? Z ,且 f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 ,求 f ? x ? 的解析式; (3) 对于(2)中的 f ? x ? ,若 f ? x ? ? m ? 2x 对 x ? ? 0, ??? 恒成立,求实数 m 的取值 范围.

第 4 页 共 4 页

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第一小题 3 分,第二小题 7 分,第三小题 6 分 如图, 曲线 ? 由曲线 C1 :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a ? b ? 0, y ? 0 ? 和曲线 C2 :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? y ? 0 ? 组成,

其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点, (1)若 F2 ? 2, 0 ? , F3 ? ?6, 0 ? ,求曲线 ? 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求 ?CDF1 面积的最 大值。
y

F3

F1 O

F2 B

F4

x

A

第 5 页 共 5 页

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.
3 数列 ?an ? 各项均不为 0,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? Sn2

(1) 若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; (2) 求证: an ? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列; (3) 请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014 ;若还能构造其他 符合要求的数列,请一并写出(不超过四个) 。

第 6 页 共 6 页

理科评分参考 一、 1. 填空题

?
6



5? 6

2. ? ?

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

3. 10 ? n n ? N 4. x ? y ? 1 ? 0

?

*

?

5. ? x ? 1 ? x ? ?1? 6. ?84 x 7. a ? 1
3

1 2 9.30 16 10. 15
8. ? 11. ? log2 3, ??? 12.

?
3

13.16 14. 12 3 二、选择题 15.B 16.D 17.D 18.C 三、解答题 19. (本题 12 分) 解: (1) AD / / BC ,

第 7 页 共 7 页

? ?CBC1 为异面直线 AD 与 BC1 所成角,? ?CBC1 ? 60?

…………2 分

,BB1 ? 面ABCD 正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 ,? A 1B 1 / /面ABCD ?线段BB1 的长为线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离,
…………4 分

RT ?BCC1 中, BC ? 1 , ?CBC1 ? 60? ,? BB1 ? CC1 ? 3
线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离为 3 (2) VB1 ? ABC1 ? VA?BB1C1 …………6 分 …………8 分

1 ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? 3 ? 3 ?2 ?
? 3 6

…………10 分

…………12 分

20. (本题 14 分,第一小题 6 分,第二小题 8 分) (1)解:如图,作 OH ? AB 于点 H,交线段 CD 于点 E,连接 OA、OB,

??AOB ?

?
6



…………2 分
O

? AB ? 2 R sin

?
12

, OH ? R cos

?
12



D E

C

OE ? DE ?

1 ? AB ? R sin 2 12

? ? ? ? ? EH ? OH ? OE ? R ? cos ? sin ? 12 12 ? ?
…………4 分

M

N

H A B

S ? AB ? EH ? 2R sin

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R ? cos ? sin ? ? R 2 ? 2sin cos ? 2sin 2 ? 12 ? 12 12 ? 12 12 12 ? ?
…………6 分

?

? ? 3 ?1 2 ? ? ? R 2 ? sin ? cos ? 1? ? R 6 6 ? 2 ?

第 8 页 共 8 页

(2)设 ?AOB ? ? ? 0 ? ? ? 则? AB ? 2 R sin

? ?

??
? 2?

…………7 分

?
2

, OH ? R cos

?
2

, OE ?

1 ? AB ? R sin 2 2
…………9 分

? ?? ? ? EH ? OH ? OE ? R ? c o s ? s i n ? 2 2? ?

? ? ? ?? ? ? ?? ? S ? AB ? EH ? 2R sin ? R ? cos ? sin ? ? R 2 ? 2sin cos ? 2sin 2 ? 2 ? 2 2? 2 2 2? ?
? ?? ? ? ? R2 ? sin ? ? cos ? ? 1? ? R2 ? 2 sin ?? ? ? ? 1? 4? ? ? ?
…………11 分

? ? ? 3? ? ? ?? ? ? ? 0, ? ,?? ? ? ? , ? 4 4 4 2
? ?
? ?
?? ?

…………12 分

?
4

?

?
2

即? ?

?
4

时,

…………13 分

Sm a x?

?

2 ? 1 R 2 ,此时 A 在弧 MN 的四等分点处

?

答:当 A 在弧 MN 的四等分点处时, S max ?

?

2 ?1 R2

?

…………14 分

21. (本题 14 分,第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分) (1)
2 2 f ? ?x? ? ? f ? x? ,? ax ?1 ? ? ax ?1 ?bx ? c bx ? c

…………1 分 …………2 分 …………3 分

?? b x ?c ? ? b x ?c
?c ? 0

(2)

? a ?1 ?2 ? ? b f ?1? ? 2, f ? 2 ? ? ?3 , ? ? ? 4a ? 1 ? 3 ? ? 2b
?a ? 1 ? 2b 4a ? 1 ? ? ? 4a ? 1 ? ? 3 ? ?1 ? a ? 2 a ?1 ?3 ? ? 2b
第 9 页 共 9 页

…………4 分

…………5 分

a ? Z ,? a ? 0或1
当 a ? 0 时, b ?

…………6 分 …………7 分

1 (舍) 2

当 a ? 1 时, b ? 1 ,? f ? x ? ? (3)

x2 ? 1 x

…………8 分

f ? x? ? x ?

1 x

?x ?

1 1 ? m ? 2 x ? m ? 3x ? 对 x ? ? 0, ??? 恒成立 x x 1 3 ? 2 3 ,当且仅当 x ? 时等号成立 x 3

3x ?

即x ?

3 1? ? 时, ? 3x ? ? ? 2 3 3 x ?min ?

?m ? 2 3
22. (本题 16 分,第一小题 3 分,第二小题 7 分,第三小题 6 分) (1) ?
2 2 2 ? ?a ? b ? 36 ? ?a ? 20 ? ? 2 2 2 ? ? ?a ? b ? 4 ?b ? 16

…………2 分

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? 和 ? ? 1? y ? 0 ? 。 则曲线 ? 的方程为 20 16 20 16
(2)曲线 C2 的渐近线为 y ? ? 如图,设直线 l : y ?

…………3 分

b x a

…………4 分 …………5 分

b ? x ? m? a

b ? y ? ? x ? m? ? ? a 则? 2 ? 2 x 2 ? 2mx ? ? m2 ? a 2 ? ? 0 2 ? x ? y ?1 ? ? a 2 b2

…………6 分

第 10 页 共 10 页

? ? ? 2 m ? ? 4 ? 2 ? ? m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 2 a 2 ? m 2 ? ? 0 ? ? 2 a ? m ? 2a
2

又由数形结合知 m ? a ,? a ? m ? 2a 设点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? ,

…………7 分

? x1 ? x2 ? m ? 则? m2 ? a 2 , ? x1 ? x2 ? 2 ?
x1 ? x2 m b b m ? , y0 ? ? x0 ? m ? ? ? ? 2 2 a a 2 b b ? y0 ? ? x0 ,即点 M 在直线 y ? ? x 上。 a a ? x0 ?

…………8 分

…………9 分 …………10 分

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? ,点 F4 ? 6,0? (3)由(1)知,曲线 C1 : 20 16
设直线 l1 的方程为 x ? ny ? 6 ? n ? 0?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? ? 4n2 ? 5? y 2 ? 48ny ? 64 ? 0 ? 20 16 ? x ? ny ? 6 ?
? ? ? 48n ? ? 4 ? 64 ? ? 4n2 ? 5 ? ? 0 ? n2 ? 1
2

…………10 分

…………11 分

设 C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?

?48n ? y3 ? y4 ? 2 ? ? 4n ? 5 由韦达定理: ? ? y ? y ? 64 ? 3 4 4n 2 ? 5 ?

…………12 分

? y3 ? y 4 ?

?y

?y 3

?4 ? 4 y
2

n2 ? 1 ?y ? 1 6 ? 5 3 4 4n2 ? 5

第 11 页 共 11 页

S?CDF1 ? S?CF F ? S?DF F 1 ? 1 4 4

1 1 n2 ? 1 n2 ? 1 F1F4 ? y3 ? y4 ? ? 8 ?16 5 ? 2 ? 64 5 ? 2 2 2 4n ? 5 4n ? 5
…………13 分

2 令 t ? n ?1 ? 0 ,? n ? t ? 1 ,
2 2

? S?CDF1 ? 6 4 5 ?

1 ? 64 ?5 9 4t ? 9 4t ? t
2

t

…………14 分

t ? 0 ,? 4t ?

3 9 13 ? 12 ,当且仅当 t ? 即 n ? 时等号成立 …………15 分 2 t 2
…………16 分

?n?

13 1 16 5 时,? S?CDF1 ? 64 5 ? ? max 2 12 3

23. (本题 18 分,第一小题 4 分,第二小题 6 分,第三小题 8 分)
3 (1) n ? 1 时, T1 ? S12 ? a1 ? a12 ? a1 ? 1? a1 ? 0舍去?

……1 分
2

2 3 3 ? a13 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? ? 1 ? a2 ? ?1 ? a2 ? n ? 2 时, T2 ? S 2 2

? a2 ? 2或a2 ? ?1? a2 ? 0舍去?
3 3 +a3 ? ? a1 +a2 +a3 ? n ? 3 时, T3 ? S32 ? a13 +a2 3 当 a2 ? 2 时, 1+8+a3 ? ?1+2+a3 ? 2 2

…………2 分

? a3 ? 3或a3 ? ?2 ? a3 ? 0舍去?
3 ? 1-1+a3 当 a2 ? ?1 时, 1-1+a3

?

?

2

? a3 ? 1? a3 ? 0舍去? …………3 分
…………4 分

所以符合要求的数列有: 1,2,3 ; 1,2,-2 ; 1,-1,1 (2)

an ? n ,即证 13 ? 23 ? 33 ?

? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? n? ,
2

用数学归纳法证:

第 12 页 共 12 页

3 2 1. n ? 1 时, 1 ? 1 成立
3 3 3 2.假设 n ? k , 1 ? 2 ? 3 ?

…………6 分

? k 3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?
3

? k ? 成立 …………7 分
2

则 n ? k ? 1 时, 13 ? 23 ? 33 ?
? 1? k ? k ? ? 1? k ? ? k ?1 3 ? ? ?? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

? k 3 ? ? k ? 1? ? ?1? 2 ? 3 ?

? k ? ? ? k ? 1?
2

3

?

?

2

?

?

?

?? ?
? ? ?

2

?

? 1? k ? k ? 2 k 2 ? 4k ? 4 ? ? ? 2 ? ?

?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ? 2 ? ?

?

??

?? ?
? ? ?

2

?? ?1? 2 ? 3 ?
?

? k ? ? k ?1?? ?
?

2

等式也成立 综合 12,对于 n ? N * ,都有 13 ? 23 ? 33 ?
? an

…………9 分

? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? n?

2

? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列。
3 3 Sn 2 ? a1 ? a2 ? 3 ① an

…………10 分

(3)

2 3 3 Sn ?1 ? a1 ? a2 ?

3 3 ? an ? an ?1 ②

2 3 ②-①得 2an?1 ? Sn ? an ?1 ? an?1

2 2 an?1 ? 0 , 2Sn ? an?1 ? an ?1 ? 2Sn ? an?1 ? an?1 ③

…………11 分

n ? 2 时 2S

n?1

2 ? an ? an ④

2 2 2 2 ③-④得 2an ? an ?1 ? an?1 ? an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? an

…………12 分

?? an?1 ? an ?? an?1 ? an ?1? ? 0
? an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1 ? n ? 2 ?
构造: …………14 分

第 13 页 共 13 页

ⅰ) an

? n ? ?? n ?2014 ? ?1 ?

? n ? 2014, n ? N ? ? ? ? n ? 2015, n ? N ?
* *

…………15 分

? n ? ? ? ⅱ) an ? ?n ? 4029 ? ? n ? 4028 ? ?

? 2015 ? n ? 4028, n ? N ? ? n ? 4029, n ? N ?
* *

? n ? 2014, n ? N ?
*

…………16 分

? n ? ? ? ⅲ) an ? ??2014 ? ? n?2 ? ?

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2016, n ? N ?
*

? n ? 2015?

…………17 分

? n ? ? ? -2014 ? ? ⅳ) an ? ? 2014 ? ??2014 ? ? n?4 ? ?

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2018, n ? N ?
*

? n ? 2015? ? n ? 2016? ? n ? 2017 ?

…………18 分

第 14 页 共 14 页


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