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初中数学竞赛辅导资料17

时间:2010-03-24


初中数学竞赛辅导资料( ) 初中数学竞赛辅导资料(17)
奇数 偶数
甲内容提要 1. 奇数和偶数是在整数集合里定义的,能被 2 整除的整数是偶数,如 2,0-2…,不能被 2 整除的整数是奇数,如-1,1,3. 如果 n 是整数,那么 2n 是偶数,2n-1 或 2n+1 是奇数.如果 n 是正整数,那么 2n 是 正偶数,2n-1 是正奇数. 2. 奇数,

偶数是整数的一种分类.可表示为: 整数

奇数 偶数
奇偶偶 偶偶偶

或 整数集合

这就是说,在整数集合中是偶数就不是奇数,不是偶数就是奇数,如果既不是偶数又不是奇 数,那么它就不是整数. 3. 奇数偶数的运算性质: 奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数 奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数, 两个连续整数的和是奇数,积是偶数. 乙例题 例1 求证:任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数. 证明:设 k 为整数,那么 2k-1 是任意奇数, (2k-1)2-1=4k2-4k+1-1=4k(k-1) ∵k(k-1)是两个连续整数的积,必是偶数,∴4k(k-1)是 8 的倍数 即任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数 例2 已知:有 n 个整数它们的积等于 n,和等于 0 求证:n 是 4 的倍数 证明:设 n 个整数为 x1,x2,x3,…xn 根据题意得

x1 x 2 x 3 x n = n ① x1 + x 2 + x 3 + + x n = 0 ②

如果 n 为正奇数,由方程(1)可知 x1,x2,x3,…xn 都只能是奇数,而奇数个奇数的和 必是奇数,这不适合方程(2)右边的 0,所以 n 一定是偶数; 当 n 为正偶数时,方程(1)左边的 x1,x2,x3,…xn 中,至少有一个是偶数,而要满足 方程(2)右边的 0,左边的奇数必湏是偶数个,偶数至少有 2 个. 所以 n 是 4 的倍数. 例 3 己知:a,b,c 都是奇数 求证:方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 证明:设方程的有整数解 x,若它是奇数,这时方程左边的 ax2,bx,c 都是奇数,而右 边 0 是偶数,故不能成立;

若方程的整数解 x 是偶数,那么 ax2,bx,都是偶数,c 是奇数,所以左边仍然是奇数, 不可能等于 0. 既然方程的解不可能是奇数,也不能是偶数, ∴方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例 4 求方程 x2-y2=60 的正整数解 解:(x+y)(x-y)=60, 60 可分解为:1×60,2×30,3×20,4×15,5×12,6×10 左边两个因式(x+y),(x-y)至少有一个是偶数 因此 x, y 必湏是同奇数或同偶数,且 x>y>0,适合条件的只有两组

x + y = 30 x y = 2
解得

x + y = 10 x y = 6 x = 8 y = 2 x = 16 y = 14 x = 8 y = 2

x = 16 y = 14

∴方程 x2-y2=60 的正整数解是

丙练习 1. 选择题 ①设 n 是正整数,那么 n2+n-1 的值是( ) A.偶数 B.奇数 C.可能是奇数也可能是偶数 ②求方程 85x-324y=101 的整数解,下列哪一个解是错误的?( A.

)

x = 5 y = 1

B.

x = 329 y = 86

C.

x = 653 y = 171

D.

x = 978 y = 256

2. 填空: ①能被 3,5,7 都整除的最小正偶数是___ ②能被 9 和 15 整除的最小正奇数是__最大的三位数是__ ③1+2+3+…+2001+2002 的和是奇数或偶数?答__ ④正整数 1234…20012002 是奇位数或偶位数?答__ ⑤ 100 01 能被 11 整除,那么 n 是正奇数或正偶数?答__
n位

3. 任意三个整数中,必有两个的和是偶数,这是为什么? 4. 试说明方程 2x+10y=77 没有整数解的理由 5. 求证:两个连续奇数的平方差能被 8 整除 6. 试证明:任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7. 求方程(2x-y-2)2+(x+y+2)2=5 的整数解 8. 方程 19x+78y=8637 的解是( ) A.

x = 78 y = 91

B.

x = 84 y = 92

C.

x = 88 y = 93

D.

x = 81 y = 91

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