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丰城中学高中数学联赛试题(一)解答


2010 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、填空题(共 8 题,每题 10 分,合计 80 分) 1、设多项式 f ( x) 满足:对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 4 x ,则 f ( x) 的最 小值是___________。 答案:-2 解:由于 f ( x) 是多项式,则 f ( x ? 1)

, f ( x ? 1) 与 f ( x) 的次数相同,于是 f ( x) 为二次多 项 , 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 则 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2ax2 ? 2bx ? 2(a ? c) , 所 以

2ax2 ? 2bx ? 2(a ? c) ? 2x 2 ? 4x ,得到 a ? 1, b ? ?2, c ? ?1,
因此 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? ?2 2、数列 ?an ? ,?bn ? 满足:ak bk ? 1,k ? 1,2,? ,已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ? 则数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ? ____________。 答案:

n , n ?1

n(n ? 1)( n ? 2) 3
1 1 1 , a n ? An ? An ?1 ? , bn ? ? n(n ? 1) , 2 n(n ? 1) an
2

解: a1 ? A1 ?
n

所以 Bn ?

? (k
k ?1

? k) ?

n(n ? 1)(n ? 2) 。 3

3、已知 y ? 1 ? x 2 ,求函数 f ( x) ?

1? x2 的值域是__________________。 x?2

答案: ?0,

? ?

3? ? 3 ?

解 : ? 1 ? x ? 1 , 则 点 P( x, y) 的 图 像 是 单 位 圆 位 于 X 轴 上 方 部 分 , 将 函 数 改 写 成

f ( x) ?

y?0 ,它表示定点 A(?2,0) 与半圆上的点 P( x, y) 所连直线 AP 的斜率,易知 x ? (?2)

直角三角形 AOP 中, OP ? 1, OA ? 2, ?OAP ? 30? ,所以 K AP ?

3 , K AO ? 0 ,故 3

0 ? f ( x) ?

3 3

4、过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F,作一条斜率为 2 的直线 l ,若 l 交抛物线于 A, B 两点,则

?OAB 的面积是_____________。
答案: 4 5

0) , 直 线 AB 直 线 方 程 为 y ? 2 x ? 4 , 代 入 抛 物 线 方 程 , 得 解 : 抛 物 线 焦 点 F (2,

y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 有 y1 ? y2 ? 4, y1 y2 ? ?16 , 所 以
( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 80 , y1 ? y 2 ? 4 5 ,
1 AF ? y1 ? y 2 ? 4 5 2 sin A ? cos( A ? B ) ,则 tan A 的最大值是___________。 5、若 ?ABC 为锐角三角形,满足 sin B S ?OAB ? S ?OAF ? S ?OBF ?
答案:

2 4

解:条件 sin((A ? B) ? B) ? cos(A ? B) sin B 可化为 sin( A ? B) cos B ? 2 cos(A ? B) sin B ,即 tan(A ? B) ? 2 tan B ,而

tan A ? tan((A ? B) ? B) ?

tan(A ? B) ? tan B tan B 1 ? ? 2 1 ? tan(A ? B) tan B 1 ? 2 tan B cot B ? 2 tan B

?

1 2 2

?

2 2 。 (当 2 tan B ? cot B, 即 tan B ? 时取得等号) 2 4

P

6、若正三棱锥的内切球半径为 1,则其体积的最小值为_________。 答案: 8 3 解:设正三棱锥 P-ABC 的底面中心为 H,则内切球的球心 O 在 PH 上,若 AH 交 BC 于 D,则 PD ? BC ,且球 O 与面 PBC 的切点 E 在 PD 上,今考虑截面 ?PAD ,如图,记 ?PDA ? 2? , A O D E

3 3 PH ? h ,正 ?ABC 的边长为 a ,则 AD ? a , DH ? DE ? a, 2 6
由于 DH ? cot ? ,则 a ? 2 3 ? DH ? 2 3 cot? , h ? DH tan 2? ? 所以 V ?

H

2 , 1 ? tan 2 ?

1 3 2 1 ? a ?h ? 2 3? ?8 3 2 3 4 tan ? (1 ? tan2 ? )

7、将 1,2,?,9 随机填入右图正方形 ABCD 的九个格子中,则其每行三数,每列三数自上而

下、自左至右顺次成等差数列的概率 P=__________。

8 答案: 。 9!
解:设三行填数的和依次为 S1 , S 2 , S 3 ,则 S1 , S 2 , S 3 也 成等差,而 S1 ? S 2 ? S 3 ? 45,即 3S 2 ? 45,所以

A

D

a

b

c

S 2 ? 15 ,设第二行三数顺次为 a, b, c ,由于

B

C

a, b, c 成等差, a ? b ? c ? 15 ,得 3b ? 15, b ? 5 ,于是 a ? c ? 10 , ?a, c? 的取值只有

?1,9?, ?2,8?, ?3,7?, ?4,6?四种情况,但 a , c 作为所在列的等差中项,不能取 1 和 9;据对称性,
1 和 9 也不能在中间列, 故只能在正方形的角块上, 且即不同行, 也不同列 (否则中项为 5) , 即 1 和 9 也不能在中间列,故只能在正方形的角块上;同理知, ?3,7?也不能被 ?a, c?取到, 故 3,7 必在正方形的另一对角顶;故填法只有右图的模式:它的各种情况,可看到将表格 固定,然后将字母 A 放置于四角之一,再使 ABCD 成顺时针或反时针方向,共得 8 种情况 (也可使 ABCD 位置固字,而将数表旋转和翻折) ;所以 P ?

8 。 9!

8、将集合 M ? ? 1,2,?,12? 的 元 素 分 成 不 相 交 的 三 个 子 集 : M ? A ? B ? C , 其 中

A ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? , B ? ?b1 , b2 , b3 , b4 ? , C ? ?c1 , c2 , c3 , c4 ? , c1 ? c2 ? c3 ? c4 , 且 ak ? bk ? ck , k ? 1,2,3,4 ,则集合 C 为:_____________________。
答案: ? 8,9,10,12?, ?7,9,11,12?, ?6,10,11,12? 解:由

? ci ? ? ai ? ? bi ,得 2? ci ? ? ai ? ? bi ? ? ci ? 1 ? 2 ? ? ? 12 ? 78 ,所
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i

4

4

4

4

4

4

4



?c
i ?1

4

? 39 ,先不考虑搭配情况,设 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ,则 c4 ? 12 , c1 ? c2 ? c3 ? 27 ,

故 3c3 ? 27,10 ? c3 ? 11, 且 c2 ? 9 ; 若 c3 ? 10, 则c1 ? c2 ? 17, c2 ? 9, 所以c2 ? 9, c1 ? 8 ; 于是 C ? ? 8,9,10,12?;若 c3 ? 11 , 则c1 ? c2 ? 16, c2 ? 10, 得c2 ? 8 ,故 c2 只能取 9 或 10,

,12?, C ? ?6,10,11,12?;另一方面,三种情况都对应有 c1 只能取 7 与 6;分别得 C ? ?7,9,11
相应的子集 A 和 B,例如以下的表: 2 6 8 4 5 9 3 7 10 1 11 12 2 5 7 3 6 9 1 10 11 4 8 12 1 5 6 3 7 10 2 9 11 4 8 12

因此子集 C 的三种情况都合条件。 二、解答 题(共 3 题,合计 70 分) 9、 (20 分)如图,AB 是圆的一条弦,它将圆分成两部分,M、N 分别是两段弧的中点,以 点 B 为旋转中心,将弓形 AMB 顺时针旋转一个角度成弓形 A1MB,AA1 的中点为 P,MN 的中点为 Q。求证:MN=2PQ。 A1 M 证明:若能证明 ?MPN ? 90? ,则 PQ 为 Rt ?MPN 斜 边上中线,结论显然。 取 AB 中点 E, A1 B 中点 F,连 NE、PE、MF、PF, 由 A1 B = AB 知,PEBF 为棱形。 A P

B Q

? ?PEA ? ?ABA 1 ? ?FPE ,? ?A1 FM ? ?AEN ? 90? ,
? ?MFP ? ?PEN
又 MF ? EN ? AE ? EB ? PF ? PE

?

? ?MFP ∽ ?PEN 。 ? ?PNE ? ?MPF 。由 ?NPE ? ?PEA ? ?PNE ? 90? ,

MF PE ? PF EN

? ?NPE ? ?EPF ? ?MPF ? 90? ,即 ?MPN ? 90?,? MN ? 2PQ
10、 (25 分)给定椭圆 C :

N

x2 y2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 以及圆 O: x 2 ? y 2 ? b 2 ,自椭圆上异 2 a b

于顶点的任意一点 P,作圆 O 的两条切线,切点为 M、N,若直线 MN 在 X,Y 轴上的截距 分别为 m, n ,证明:

a2 b2 a2 ? ? 。 n2 m2 b2

Y

证:如图,设 P( x0 , y0 ) ,由于 M,N 是 圆 O 的切点,有 OM ? MP, ON ? NP , 所以 OMPN 共圆,此圆直径为 O M P X

x y OP,则圆心为 P0 ( 0 , 0 ) , 2 2
其方程为 ( x ?
2 x0 y x 2 ? y0 ) ? (y ? 0 ) ? 0 。 2 2 4

N

1 ,又因点 M、N 也在圆 O 上,故点 M、 点 M、N 的坐标满足 x ? y ? x0 x ? y0 y ? 0 ?○

2

2

2 2 ,○ 2 -○ 1 得 x x ? y y ? b ?○ 3 ,此即直线 MN 的方程, N 的坐标也满足 x ? y ? b ?○ 0 0
2 2 2

其截距为 m ?

b2 b2 b2 b2 , y0 ? 。所以 x0 ? ,而点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,代入椭圆 ,n ? m n x0 y0

方程得

a2 b2 a2 ? ? 。 n2 m2 b2

11、 (25 分)对于 2 n 个素数组成的集合 M ? ?p1 , p2 ,?, p2n ?,将其元素两两搭配成 n 个乘 积,得到一个 n 元素,如果 A ? ?a1a2 , a3 a4 ,?, a2n?1a2n ?与 B ? ? b1b2 , b3b4 ,?, b2n?1b2n ?是 由此得到的两个 n 元素,若其中 ?a1 , a2 ,?, a2n ? ? ? b1 , b2 ,?, b2n ? ? M ,且 A ? B ? ? ,就 称集合对 ?A, B?是由 M 炮制成的一幅“对联” 。 (例如当 n ? 2 时,由四元集 ?a, b, c, d ? 可炮 制成三幅“对联” : ?ab, cd? ? ?ac, bd? , ?ab, cd? ? ?ad, bc? , ?ac, bd? ? ?ad, bc? ) 。 (1) 、当 n ? 3 时,求 6 元素数集 M ? {a, b, c, d , e, f }所能炮制成的“对联”数; (2) 、对于一般的 n ? 2 ,求由 2 n 元素数集 M 所能炮制成的“对联”数 T (n) 。 解: (1) 、采用直接计算法,6 个元素可以形成 15 个不同的“字条” ,列出如下:

{ab, cd , ef } , {ab, ce, df } , {ab, cf , de} {ac, bd, ef } , {ac, be, df } , {ac, bf , de} {ad, bc, ef } , {ad, be, cf } , {ad, bf , ce} {ae, bc, df } , {ae, bd, cf } , {ae, bf , cd} {af , bc, de} , {af , bd, ce} , {af , be, cd}
将位于第 i 行、第 j 列交叉处的“字条”看作一个坐标点,记为 (i, j ) ,对于第一行的 ?1,1? , 它与下面第行的各有两个搭配:

?1,1? ? ?2,2? ,?1,1? ? ?2,3? ; ?1,1? ? ?3,2? ,?1,1? ? ?3,3? ;?1,1? ? ?4,1? , ?1,1? ? ?4,2? ;?1,1? ? ?5,1? , ?1,1? ? ?5,2? ;共得 4×2=8 个搭配;
类似的,点 ?1,2?及?1,3? 与下面四行的点也各有 8 个搭配;于是第一行的三个点与下面四行 的点共形成 3×4×2=24 个搭配; 第二行的每个点与下面第行的点也各有两个搭配,共得 3×3×2=18 个搭配; 第三行的每个点与下面第行的点也各有两个搭配,共得 3×2×2=12 个搭配; 第四行的每个点与下面第行的点也各有两个搭配,共得 3×1×2=6 个搭配; 故得搭配数 6×(1+2+3+4)=60 个,即由集合 M 可炮制出 60 幅“对联” 。 (2) 、将集合 M 分拆成两个 n 元集 X ? {x1 , x2 ,?, xn } , Y ? { y1 , y2 ,?, yn } ,分法种数为

n ?1 (设含有元素 p1 的集为 X , X 的其余 n ? 1 个元素取自除 p1 外的 2n ? 1 个数) , C2 n ?1 种,

而将 X 的元素与 Y 的元素配对的方法数有 n! 种; 对于其中任一个搭配所得到的集 A, A ? ?x1 y1 , x2 y2 ,?, xn yn ? ,集 B 的个数为 n 个元素 ,故由集 M 所炮制成“对联” x1 , x2 ,?, xn 的错位排列数 Dn ,又因集合 A, B 不分“上下联”

1 n ?1 C 2 n ?1 ? Dn ? n! 。 2 1 1 1 n 1 )) (其中 Dn ? n!(1 ? ? ? ? ? ? (?1) 1! 2! 3! n!
的种数为 T (n) ? (注:若用公式计算(1) ,即对于 n ? 3,因D3 ? 2 , 则 T (3) ?

1 2 1 C5 ? D3 ? 3!? ? 10 ? 2 ? 6 ? 60 ) 。 2 2


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