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2014年全国高考试卷概率与统计部分汇编(上)


2014 年全国高考试卷概率与统计部分汇编(上)
1. (2014 安徽理 8) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60o 的共有( A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 【解析】 C 利用正方体中两个独立的正四面体解题.如图, 它们的棱是原正方体的 12 条面对角线.
2 2 一个正四面体中两条棱成 60 角的有 (

C6 ? 3) 对,两个正四面体有 (C6 ? 3)× 2 对.
2 又正方体的面对角线中平行成对,所以共有 (C6 ? 3)× 2× 2 ? 48 对.故选 C.



2.

(2014 安徽理 13)
? x? 设 a ≠ 0,n 是 大 于 1 的 自 然 数 , ?1 ? ? 的 展 开 式 为 ? a?
1 2) 的位置如图所 a0 ? a1 x ? a2 x2 ? … ? an x n .若点 Ai (i,ai )(i ? 0,,
n

y 4 3 A1 A2

示,则 a ? ________. 【解析】 3 根据题意知 a0 ? 1 , a1 ? 3,a2 ? 4 ,
? 1 C ? ? n 结合二项式定理得 ? ?C 2 n ? ? 1 8 ? 3, ? ?n ? 1 ? a, a 即? 3 解得 a ? 3 . 1 ? ? 2 ? 4, ?n ? 3a. a ?

1 A0 O 1 2 x

第(13)题图

3.

(2014 安徽理 17) 甲乙两个进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判 2 1 定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果 3 3 相互独立. ⑴求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; ⑵记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望) . 胜”,
2 1 则 P( Ak ) ? ,P( Bk ) ? ,k ? 1, 2, 3, 4, 5, 3 3 ⑴ P( A) ? P( A1 A2 ) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 A3 A4 )
? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( A3 )P( A4 )

【解析】 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”, Ak 表示“第 k 局甲获胜”, Bk 表示“第 k 局乙获

? 2 ? 1 ? 2 ? 2 1 ? 2 ? 56 ?? ? ? × ? ? ? × × ? ? ? . 81 ?3? 3 ?3? 3 3 ?3?

2

2

2

⑵ X 的可能取值为 2,3,4,5.
P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P(B1 )P(B2 ) ?
P( X ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 B3 )

5 , 9

? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( B3 ) ?
? P( X ? 4) ? P( A1B2 A3 A4 ) ? P( B1 A2 B3 B4 )

2 , 9 10 , 81

? P( A1 ) P( B2 ) P( A3 ) P( A4 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( B3 ) P( B4 ) ? P( X ? 5) ? 1 ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ?

8 . 81

故 X 的分布列为

X
P
EX ? 2×

2
5 9

3
2 9

4
10 81

5
8 81

4.

5 2 10 8 224 . ? 3× ? 4× ? 5× ? 9 9 81 81 81 (2014 安徽文 17) 某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该校学生每周平均体育运动 时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单

位:小时) ⑴应收集多少位女生样本数据? ⑵根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示) , 其中样本数据分组区间为: ?0, 2?, 4?, 6?, 8? ?8, 10?, 12? .估计该校学生每周平均 ? 2, ? 4, ? 6,, ?10, 体育运动时间超过 4 个小时的概率.
样本 组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.025 0 2 4 6 8 10 第(17)题图 12 时间(小时)

⑶在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均体育 运动时间与性别的列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动 时间与性别有关”. 附: K 2 ?

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

n ? ad ? bc ?

2

P ? K 2 ≥ k0 ?
k0

【解析】 ⑴ 300 ?

4500 ? 90 ,所以应收集 90 位女生的样本数据. 15000 ⑵ 由频率分布直方图得 1 ? 2 ? ? 0.100 ? 0.025? ? 0.75 ,所以该校学生每周平均体育运动时间超

过 4 小时的概率的估计值为 0.75. ⑶ 由⑵知,300 位学生中有 300 ? 0.75 ? 225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的 每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是 关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时间 不超过 4 小时 每周平均体育运动时间 超过 4 小时 总计 结合列联表可算得 K 2 ? 45 女生 30 总计 75

165 210

60 90
?

225 300

300 ? ? 2250 ?

2

75 ? 225 ? 210 ? 90

100 ? 4.762> 3.841 .所以,有 95%的把握认为 21

“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 评析 本题考查抽样方法、用样本的频率分布估计总体的频率分布及独立性检验等知识,同

时考查处理图表的能力和运算能力. 5. (2014 北京理 13) 把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆 法有_____种.

【解析】 36 先只考虑 A 与产品 B 相邻.此时用捆绑法,将 A 和 B 作为一个元素考虑,共有 A 4 4 ? 24 种方 法.而 A 和 B 有 2 种摆放顺序,故总计 24 ? 2=48 种方法.再排除既满足 A 与 B 相邻,又满足 3 A 与 C 相邻的情况,此时用捆绑法,将 A ,B ,C 作为一个元素考虑,共有 A3 ? 6 种方法,而
A ,B , C 有 2 种可能的摆放顺序,故总计 6 ? 2=12 种方法.综上,符合题意的摆放共有
48 ? 12 ? 36 种.

6.

(2014 北京理 16) 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立) : 场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 投篮次数 22 15 12 23 命中次数 12 12 8 8 场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 投篮次数 18 13 21 18 命中次数 8 12 7 15

24 20 25 12 主场 5 客场 5 ⑴从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率. ⑵从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场.求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ,一场 不超过 0.6 的概率. ⑶记 x 为表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这比 赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小(只需写出结论) 【解析】 ⑴ 李明在该场比赛中命中率超过 0.6 的概率有: 主场 2 主场 3 主场 5 客场 2 客场 4

所以李明在该场比赛中投篮命中超过 0.6 的概率 P ? ⑵ 李明主场命中率超过 0.6 概率 P 1 ?

5 1 ? 10 2

3 2 ,命中率不超过 0.6 的概率为 1 ? P 1 ? 5 5 2 3 客场中命中率超过 0.6 概率 P2 ? ,命中率不超过 0.6 的概率为 1 ? P2 ? . 5 5 3 3 2 2 13 P? ? ? ? ? 5 5 5 5 25

⑶ E?X ? ? x. 7. (2014 北京文 18) 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整 理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 b a 频数 组距

? 0,2 ? ? 2,4 ?

? 4,6 ?
? 6,8 ?
10 ? ?8, 12? ?10,

14? ?12,
16? ?14, 18 ? ?16,

2 2 100

阅读时间

⑴从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; ⑵求频率分布直方图中的 a , b 的值; ⑶假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生该 周课外阅读时间的平均数在第几组. (只需写出结论) 【解析】 ⑴ 根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有
10 ? 0.9 . 100 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9 . 6) 的有 17 人,频率为 0.17 , ⑵ 课外阅读时间落在组 [4 ,
6 ? 2 ? 2 ? 10 名,所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1 ?

频率 0.17 ? ? 0.085 . 组距 2 10) 的有 25 人,频率为 0.25 , 课外阅读时间落在组 [8 ,
所以 a ? 所以 b ?

频率 0.25 ? ? 0.125 . 组距 2

⑶ 样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组. 8. (2014 大纲理 5 文 7) 有 6 名男医生,5 名女医生,从中选出 2 名男医生,1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的 选法共有( ) A.60 种 B. 70 种 C.75 种 D.150 种 【解析】 C 9. (2014 大纲理 13)
? x y ? ? 的展开式中 x2 y 2 的系数为____________. (用数字作答) ? ? ? y ? x? ?
8

【解析】 70 10. (2014 大纲理 20) 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4,各人是 否需使用设备相互独立. ⑴求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; ⑵ X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.
1 , 2, 【解析】 记 A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, i ? 0,

B 表示事件:甲需使用设备.
C 表示事件:丁需使用设备.

D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备.
⑴ D ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ,
i 1 2 ? 0.52 . i ? 0 ,, P ? B ? ? 0.6 . P ? C ? ? 0.4 . P ? Ai ? ? C2

所以 P ? D ? ? P A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C
? P ? A1 ? B ? C ? ? P ? A2 ? B ? ? P A2 ? B ? C

?

?
? ?

?

?

? P ? A1 ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A2 ? P ? B ? +P ? A2 ? P B P ? C ? ? 0.31

1 2 ,, 3 4 ⑵ X 的可能取值为 0 ,,

则 P ? x ? 0 ? ? P B ? A0 ? C ? P(B)P( A0 )P(C) = ?1 ? 0.6? ? 0.52 ? ?1 ? 0.4? = 0.06

?

?

? ? P ? B ? P ? A ? P ? C ? ? P ? B ? P ? A ? P ? C ? +P ? B ? P ? A ? P ? C ?
P ? x ? 1? ? P B ? A0 ? C ? B ? A0 ? C ? B ? A1 ? C
0 0 1

?

? 0.6 ? 0.52 ? ?1 ? 0.4? ? ?1 ? 0.6? ? 0.52 ? 0.4 ? ?1 ? 0.6? ? 2 ? 0.52 ? ?1 ? 0.4?
= 0.25

P ? X ? 4? ? P ? A2 ? B ? C ? ? P ? A2 ? P ? B ? P ?C ? ? 0.52 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.06
P ? X ? 3? ? P ? D ? ? P ? X ? 4? ? 0.25 P ? X ? 2? ? 1 ? P ? X ? 0? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 3? ? P ? X ? 4? ? 1 ? 0.06 ? 0.25 ? 0.25 ? 0.06
? 0.38

数学期望
EX ? 0 ? P ? X ? 0? ? 1? P ? X ? 1? ? 2 ? P ? X ? 2? ? 3 ? P ? X ? 3? ? 4 ? P ? X ? 4 ?
? 0.25 ? 2 ? 0.38 ? 3 ? 0.25 ? 4 ? 0.06 ? 2

11. (2014 大纲文 13)

? x ? 2?
【解析】 ?160

6

的展开式中 x 3 的系数为___________. (用数字作答)

12. (2014 大纲文 20) 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4,各人是 否需使用设备相互独立. ⑴求同一工作日到少 3 人需使用设备的概率; ⑵实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需要使用设备的人 数大于 k ”的概率小于 0.1 ,求 k 的最小值. 1 2, 【解析】 记 A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, i ? 0 ,, 表示事件:甲需使用设备. B C 表示事件:丁需使用设备. D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. E 表示事件:同一工作日 4 人需使用设备. F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于 k . ⑴ D ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ,
i 1 2 ? 0.52 . i ? 0 ,, P ? B ? ? 0.6 . P ? C ? ? 0.4 . P ? Ai ? ? C2

所以 P ? D ? ? P A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C
? P ? A1 ? B ? C ? ? P ? A2 ? B ? ? P A2 ? B ? C

?

?
? ?

?

?

? P ? A1 ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A2 ? P ? B ? +P ? A2 ? P B P ? C ? ? 0.31

⑵ 由⑴ 知,若 k ? 2 ,则 P ? F ? ? 0.31 ? 0.1 . 又 E ? B ? C ? A2
P ? E ? ? P ? B ? C ? A2 ? ? P ? B ? P ? C ? P ? A2 ? ? 0.06

若 k ? 3 ,则 P ? F ? ? 0.06 ? 0.1.所以 k 的最小值为 3. 13. (2014 福建理 14) 如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的 概率为______.
y e y=lnx y=ex

O

e

x

【解析】

2 e2

14. (2014 福建理 18) 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个 装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的 奖励额.

⑴若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求 ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; ⑵商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的 两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能 符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计,并说明理由. 【解析】 ⑴ 设顾客所获的奖励为 X . ( i )依题意,得 P( X ? 60) ?
1 C1 1 1C3 ? 2 C4 2

即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为

1 . 2

( ii )依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.
C2 1 1 P( X ? 60) ? ,P( X ? 20) ? 3 ? , 2 C2 2 4

即 X 的分布列为

X P

20 0.5

60 0.5

所以顾客所获的奖励额的期望为 E ( X ) ? 20× 0.5 ? 60× 0.5 ? 40 (元) . ⑵ 根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元. 所以,先寻找期望为 60 元的可能方案. 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况.如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元 是面值之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案, 因为 60 元是面值之和的最小值. 所以期望也不可能为 60 元, 因此可能的方案是 (10, 10, 50,50) ,记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40, 20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40) ,记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50)设顾客所获的奖励为 X1 ,则 X1 的分布列为

X1

20
1 6

60
2 3

100
1 6

P
X1 的期望为 E( X1 ) ? 20×

1 2 1 ? 60× ? 100× ? 60 , 6 3 6 1 2 1 1600 . ? (60 ? 60)2 × ? (100 ? 60)2 × ? 6 3 6 3

X1 的方差为 D( X1 ) ? (20 ? 60)2 ×

对于方案 2,即为方案(20,20,40,40) ,设顾客所获的奖励为 X 2 ,则 X 2 的分布列为
X2

40
1 6

60
2 3

80
1 6

P
X 2 的期望为 E( X 2 ) ? 40×

1 2 1 ? 60× ? 80× ? 60 , 6 3 6 1 2 1 400 . ? (60 ? 60)2 × ? (80 ? 60)2 × ? 6 3 6 3

X 2 的方差为 D( X 2 ) ? (40 ? 60)2 ×

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以应 该选择方案 2. 注:第⑵问,给出方案 1 或方案 2 的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给 3 分;进一步比较方差,说明应选择方案 2,再给 2 分. 15. (2014 福建文 13) 如图,在边长为 1 的正方形中,随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影 部分的面积为___________

【解析】 0.18 16. (2014 福建文 20) 根据世行 2013 年新标准, 人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家; 人均 GDP 为 1035 4085 美 元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 4085 12616 美元为中等偏上收入国家;人均 GDP 不低 于 12616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区, 各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如 下表: 行政区 区人口占城市人口比例 区人均 GDP (单位:美元)

A B C D E

25% 30% 15% 10% 20%

8000 4000 6000 3000 10000

⑴判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; ⑵现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个, 求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收 入国家标准的概率. 【解析】 本小题主要考查概率与统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考 查必然与或然思想. ⑴ 设该城市人口总数为 a ,则该城市人均 GDP 为
8000× 0.25a ? 4000× 0.30a ? 6000× 0.15a ? 3000× 0.10a ? 10000× 0.20a ? 6400 . a

因为 6400 ? ? 4085, 12616 ? , 所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准. ⑵ “从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是:
B? ? A , C? ? A , D? ? A , E? ?B , C? ?A,

{B,D} , {B,E}, {C,D}, {C,E} 共 10 个

设事件“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为 M ,
{A,E}, {C,E} ,共 3 个. 则事件 M 包含的基本事件是: {A,C},

所以所求概率为 P(M ) ?

3 10

17. (2014 广东理 6) 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生的近视 形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2 %的学生进行调查, 则样本容量和抽取的高中生近视人数 分别为()
近视率/% 50
小学生 3500名 高学生 2000名

30 10 O 小学 初中 图2 高中 年级

初中生 4500名 图1

A. 200 , 20 【解析】 A

B. 100 , 20

C. 200 , 10

D. 100 , 10

18. (2014 广东理 11) 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中 任取七个不 同的数,则 这七个数的 中位数是 6 的 概率为 从 0 ,, _______. 1 【解析】 . 6 6 是中位数, 8, 9, 7 , 8 9 , 这 4 个数字一定被选中, 比 6 大的数字只有 7 , 而 6, 前面从 0 到 5 中 任取 3 个数字即可,故概率为
C3 1 6 ? . 7 C10 6

19. (2014 广东理 17) 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数 (单位: 件) , 获得数据如下: 30, 42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32, 34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

⑴确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; ⑵根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; ⑶根据样本频率分布直方图, 求在该厂任取 4 人, 至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] 的概率. 7 2 【解析】 ⑴ 由题中数据可知 n1 ? 7, n2 ? 2, f1 ? ? 0.28, f 2 ? ? 0.08 ; 25 25
频率 组距 0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

⑵ ⑶ 设任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] 为事件 A ,则由直方图可得:

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.84 ? 0.5904 .
20. (2014 广东文 6) 为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段 的间隔为( ) A.50 B.40 C. 25 D.20 【解析】 C 21. (2014 广东文 12)

b ,, c d, e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率为____________. 从字母 a ,

2 5 22. (2014 广东文 17) 某车间 20 名工人年龄数据如下表:

【解析】

年龄(岁)

工人数(人)

19 28 29 30 31 32 40
合计

1 3 3 5 4 3 1
20

⑴求这 20 名工人年龄的众数与极差; ⑵以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; ⑶求这 20 名工人年龄的方差. 【解析】 ⑴ 由题表中的数据易知,这 20 名工人年龄的众数是 30,极差为 40 ? 19 ? 21 . ⑵ 这 20 名工人年龄的茎叶图如下: 1 2 3 4 9 8 8 8 9 9 9 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 0

⑶ 这 20 名工人年龄的平均数
x? 1 ?19 ?1 ? 28 ? 3 ? 29 ? 3 ? 30 ? 5 ? 31? 4 ? 32 ? 3 ? 40 ?1? ? 30 , 20

故方差
s2 ? 1 ? 2 2 2 2 2 2 2 1? ?19 ? 30? ? 3 ? ? 28 ? 30? ? 3 ? ? 29 ? 30? ? 5 ? ?30 ? 30 ? ? 4 ? ?31 ? 30 ? ? 3 ? ?32 ? 30 ? ? 1? ? 40 ? 30 ? ? ? ? 20 ?

1 ? ?121 ? 12 ? 3 ? 0 ? 4 ? 12 ? 100? ? 12.6 . 20 23. (2014 湖北理 2)

a? 1 ? 若二项式 ? 2 x ? ? 的展开式中 3 的系数是 84 ,则实数 a ? ( x? x ?

7



A.2 【解析】 C

B. 5 4
r

C.1

D.

2 4

1 ?a? r r r 5 a ?1. Tr ?1 ? C7 ? (2 x)7 ? r ? ? ? ? 27 ? r C7 a ? 2 r ?7 .令 2r ? 7 ? 3 ,则 r ? 5 .由 22 ? C5 7 a ? 84 得 x ? x?

24. (2014 湖北理 4) 根据如下样本数据

x

y

3 4.0
b 0 A. a>0 ,>

4 2.5
b 0 B. a>0 ,<

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0
b<0 D. a<0 ,

8 -3.0

得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则(

b 0 C. a<0 ,>

【解析】 B 把样要数据中的 x , y 分别当作点的横纵坐标,在平面直角坐标系 xOy 中作出散点图,由图可
0 ,> a 0. 知 b<

25. (2014 湖北理 7) ?x ≤ 0 ? x ? y ≤1 ? 由不等式 ? y ≥ 0 确定的平面区域记为 ?1 , 不等式 ? 确定的平面区域记为 ?2 , ? x ? y ≥ ?2 ?y ? x ? 2≤0 ? 在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ?2 内的概率为( A. 【解析】 D
1 区域 ?1 为直线 △ AOB 及其内部,其面积 S△ AOB ? ? 2 ? 2 ? 2 ,区域 ? 2 是直线 x ? y ? 1 和 2 1 S四边形AODC 2 ? 4 7 x ? y ? ?2 夹成的条形区域.由题意得所求的概率 P ? ? ? .故选 D. S△ AOB 2 8
y B 2 C A 2 y x 2=0 2 x+y= 2 D O 1 1 x x+y=1

) D.
7 8

1 8

B.

1 4

C.

3 4

评析 本题考查了可行域和概率的基础知识.正确理解可行域的概念和掌握概率的求法是求 解的关键. 26. (2014 湖北理 20) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流 量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上.其中, 不足 80 的年份有 10 年, 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年. 将 年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. ⑴求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; ⑵水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制, 并有如下关系; 年入流量 x 发电机最多可运行台数
40 ? X ? 80 80 ≤ X ≤ 120 X ? 120

1

2

3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

【解析】 ⑴ 由题意, p1 ? P(40<X < 80) ?
p3 ? P( X > 120) ?

10 35 ? 0.2 , p2 ? P(80 ≤ X ≤120) ? ? 0.7 , 50 50

5 ? 0.1 . 50 由 二 项 分 布 , 在 未 来 4 年 中 至 多 有 1 年 的 年 入 流 量 超 过 120 的 概 率 为

1 ?9? ?9? p ? C (1 ? p3 ) ? C (1 ? p3 ) p3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 0.9477 . ? 10 ? ? 10 ? 10
0 4 4 1 4 3

4

3

⑵ 记水电站年总利润为 Y (单位:万元) . (ⅰ)安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40 ,故一台发电机运行的概率为 1 ,对应的年利润 Y ? 5000, E (Y )? 5000 ? 1 ? 5000 . (ⅱ)安装 2 台发电机的情形. 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 800 ? 4200 ,因此 依题意,当 40<X < P(Y ? 4200) ? P(40<X < 80) ? p1 ? 0.2 ; 当 X ≥ 80 时 , 两 台 发 电 机 运 行 , 此 时
Y ? 5000 ? 2 ? 10000 ,因此

P(Y ? 10000) ? P( X ≥ 80) ? p2 ? p3 ? 0.8 ;由此得 Y 的分布列如下:

4200 10000 0.2 0.8 所以, E (Y ) ? 4200 ? 0.2 ? 10000 ? 0.8 ? 8840 .

Y P

(ⅲ)安装 3 台发电机的情形. 80 时,一台发电机运行, 依题意,当 40<X < 此时 Y ? 5000 ? 1600 ? 3400 ,因此 P(Y ? 3400) ? P(40<X < 80) ? p1 ? 0.2 ; 当 80 ≤ X ≤ 120 时 , 两 台 发 电 机 运 行 , 此 时 Y ? 5000 ? 2 ? 800 ? 9200 , 因 此 P( Y ? 9 2 0 0 ? ) P (8 ≤ 0 X≤ 1 2? 0 )2 p ? ; 0.7
120 时 , 三 台 发 电 机 运 行 , 此 时 Y ? 5000 ? 3 ? 15000 , 因 此 当 X> P(Y ? 15000) ? P( X> 120) ? p3 ? 0.1 .

由此得 Y 的分布列如下: 3400 9200 15000 Y 0.2 0.7 0.1 P 所以, E (Y ) ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 . 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 评析 本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力. 27. (2014 湖北文 5) 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1 ,点数之和大于 5 的概率记为 p2 ,点数之和为偶数的概率记为 p3 ,则( A. p1 ? p2 ? p3 C. p1 ? p3 ? p2 【解析】 C 28. (2014 湖北文 6) 根据如下样本数据
x



B. p2 ? p1 ? p3 D. p3 ? p1 ? p2

3
4.0

4
2.5

5
?0.5

6
0.5

7
?2.0

8
?3.0

y
A. a ? 0 , b ? 0 C. a ? 0 , b ? 0

? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y

) B. a ? 0 , b ? 0 D. a ? 0 , b ? 0

【解析】 A 29. (2014 湖北文 11) 甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 件. 【解析】 1800 30. (2014 湖南理 2 文 3) 对一个容量为 N 的总体抽样容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三 种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1 , p2 , p3 则( ) A. p1 ? p2 ? p3 C. p1 ? p3 ? p2 B. p2 ? p3 ? p1 D. p1 ? p2 ? p3

【解析】 D 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的 概率相等,即 p1 ? p2 ? p3 ,故选 D. 31. (2014 湖南理 4)
?1 ? 2 3 ? x ? 2 y ? 的展开式中 x y 的系数是( ?2 ?
5

) D.20

A. ? 20 【解析】 A

B. ? 5
n

C.5

n 第 n ? 1 项展开式为 C5 ? n

5? n ?1 ? x ? ? ?2 y ? , ?2 ? 2

5? n 3 ?1 ? n?1 ? 2 3 则 n ? 2 时, C5 ? x ? ? ?2 y ? ? 10 ? ? x ? ? ?2 y ? ? ?20 x y ,故选 A. 2 2 ? ? ? ?

32. (2014 湖南理 17) 某企业有甲、乙两研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
2 3 和 .现安排甲组研发新 3 5

产品 A ,乙组研发新产品 B ,设甲、乙两组的研发相互独立. ⑴求至少有一种新产品研发成功的概率; ⑵若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获 利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 【解析】 C ⑴ 设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件,则事件 B 为一种 2 3 新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为 , , 3 5 ? 2? ? 3? 1 2 2 则 P ? B ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ,再根据对立事件概率之间的公式可得 ? 3 ? ? 5 ? 3 5 15
13 13 ,所以至少一种产品研发成功的概率为 . 15 15 ⑵ 由题可得设该企业可获得利润为 ? ,则 ? 的取值有 0 , 120 ? 0 , 100 ? 0 , 120 ? 100 ,即 P ? A? ? 1 ? P ? B ? ?

? ? 0, 120, 100, 220 ,由独立试验的概率计算公式可得:
2 ? 3? 4 ? 2? ? 3? 2 P ?? ? 0 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ; P ?? ? 120 ? ? ? ?1 ? ? ? ; 3 ? 5 ? 15 ? 3 ? ? 5 ? 15

2 3 2 ? 2? 3 1 P ?? ? 100 ? ? ?1 ? ? ? ? ; P ?? ? 220? ? ? ? ; 3 5 5 ? 3? 5 5

所以 ? 的分布列如下:

?
P ?? ?

0

120

100

220

1 2 5 5 2 4 1 2 则数学期望 E? ? 0 ? ? 120 ? ? 100 ? ? 220 ? ? 32 ? 20 ? 88 ? 140 . 15 15 5 5 33. (2014 湖南文 5) 3] 上随机选取一个数 X ,则 X ≤ 1 的概率为( 在区间 [ ?2, )
2 15 4 15

A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【解析】 B 34. (2014 湖南文 17) 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发 新产品的结果如下:
b? , ?a , b? , ? a b? , ? a , b? , ? a , ?a ,
b ,b , ? a , b? , ? a , b? , a ,

?

?

?

b? , ?a , b? , ?a , b? , ?a , b? , ?a , b? , ? a , b? ? a ,b ? , ? a ,

其中 a, a 分别表示甲组研发成功和失败; b , b 分别表示乙组研发成功和失败. ⑴若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否则记 0 分,试计算甲、乙两组研发新产 品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; ⑵若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率. 【解析】 ⑴ 甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1, 10 2 其平均数为 x甲 ? ? ; 15 3
2 2 ? 2 1 ?? 2 ? 2? ? ??1 ? ? ? 10 ? ? 0 ? ? ? 5? ? . 15 ? 3? ? ?? 3 ? ? ? 9 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 9 3 其平均数为 x乙 ? ? ; 15 5 2 方差为 s甲 ? 2 方差为 s乙 ? 2 2 ? 6 1 ?? 3 ? 3? ? . 1 ? ? 9 ? 0 ? ?? ? ? ? ? 6? ? 15 ? 5? ? ?? 5 ? ? 25 ?

2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ,所以甲组的研发水平优于乙组. ? s乙

⑵ 记 E ? {恰有一组研发成功} .

在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是 a , b , a , b , a , b , a , b ,
7 .将频率视为概率,即得 ? a , b ? , ? a , b ? , ? a , b ? ,共 7 个,故事件 E 发生的频率为 15

?

? ?

? ?

? ?

?

所求概率为 P ? E ? ?

7 . 15

35. (2014 江苏理 4) 从 1, 2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是______. 【解析】
1 3 当且仅当两数为 1, 6 或 2,3 时乘积为 6 ,有 2 种情况,

从这 4 个数中任取两个数有 C2 4 ? 6 种,故概率为

1 3

36. (2014 江苏理 6) 为了了解一片经济林的生长状况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位: cm ) ,所得 数据均在区间 ?80 , 130? 上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有______ 株树木的底部周长小于 100 cm.
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 8090100110120130 底部周长/cm

【解析】 24 ∵ 60 ? (0.15 ? 0.25) ? 24

(第 6 题 )

37. (2014 江苏理 22) 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球, 3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同 ⑴从盒中一次随机抽出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P

x2 , x3 , ⑵从盒中一次随机抽出 4 个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别为 x1 , 随机变量 X 表 x2 , x3 的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) . 示 x1 ,
2 2 2 【解析】 ⑴ 一次取 2 个球共有 C9 ? 36 种可能情况, 2 个球颜色相同共有 C2 4 +C3 +C2 ? 10 种 可能情况 10 5 ∴ 取出的 2 个球颜色相同的概率 P ? ? 36 18

⑵ X 的所有可能取值为 4,3, 2 ,则 P( X ? 4) ?
P( X ? 3) ?

C4 1 4 , ? 4 C9 126

1 3 1 11 C3 13 4 C5 ? C 3 C 6 ,于是 P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? ? 4 C9 63 14

∴X 的概率分布列为
13 63 11 13 1 20 故 X 的数学期望 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 14 63 126 9

X P

2 11 14

3

4
1 126

38. (2014 江西理 6 文 7) 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名 中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是()
表1 成绩 性别 男 女 总计 不及 格 6 10 16 及格 14 22 36 总 计 20 32 52 视力 性别 男 女 总计 表2 不及 格 4 12 16 及 格 16 20 36 总 计 20 32 52 智商 性别 男 女 总计 表3 不及 格 8 8 16 及格 12 24 36 总 计 20 32 52 阅读量 性别 男 女 总计 表4 不及 格 14 6 20 及格 6 26 36 总 计 20 32 52

A.成绩 【解析】 D

B.视力

C.智商

D.阅读量

计算 K12 ?

52 ? ? 6 ? 22 ? 10 ? 14 ? 16 ? 36 ? 20 ? 32
2

2

,令

52 ? m ,则 16 ? 36 ? 20 ? 32
2 2

2 2 K12 ? 82 m , K2 ? m ? ? 4 ? 20 ? 12 ?16? ? 1122 m , K3 ? m ? ?8 ? 24 ? 8 ?12? ? 962 m , 2 2 2 2 K4 ? m ? ?14 ? 30 ? 6 ? 2? ? 4082 m ,∴K4 ? K2 ? K3 ? K12 ,则性别有关联的可能性最大的变量

是阅读量,故选 D. 39. (2014 江西理 12) 10 件产品中有 7 件正品, 3 件次品, 从中任取 4 件, 则恰好取到 1 件次品的概率是________. 1 【解析】 2 4 1 从 10 件产品中任取 4 件有 C10 种取法,取出的 4 件产品中恰有 1 件次品有 C3 种取法,则所 7 C3 求的概率 P ?
1 C3 1 7 C3 ? . 4 C10 2

40. (2014 江西理 21)

随机将 1,, 每组 n 个数,A 组 2 …, 2n n ? N*,n ≥ 2 这 2 n 个连续正整数分成 A ,B 两组, 最小数为 a1 ,最大数为 a 2 ; B 组最小数为 b1 ,最大数为 b2 ,记 ? ? a2 ? a1,? ? b2 ? b1 ⑴当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; ⑵令 C 表示事件“ ? 与 ? 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P ? C ? ;
C 表示 C 的对立事件, ⑶对⑵中的事件 C , 判断 P ? C ? 和 P C 的大小关系, 并说明理由.

?

?

? ?

【解析】 ⑴ 当 n ? 3 时, ? 的所有可能取值为 2,3,4,5.

? 将 6 个正整数平均分成 A , B 两组,不同的分组方法共有 C3 6 =20 种,所以 的分布列为 ?
2
1 5

3
3 10

4
3 10

5
1 5

P

1 3 3 1 7 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 5 10 10 5 2 ,n,n ? 1 , …, 2n ? 2 .又 ? 和 ? 恰好相等且等于 n ? 1 ⑵ ? 和 ? 恰好相等的所有可能取值为 n ? 1

时,不同的分组方法有 2 种;? 和 ? 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种;? 和 ? 恰好相等且等于 n ? k ? k ? 1 , 2, …,n ? 2?? n ≥ 3? 时,不同的分组方法有 2Ck 2 k 种. 所以当 n ? 2 时, P ? C ? ?
4 2 ? . 6 3

n?2 ? ? 2 ? 2 ? ? Ck 2k ? k ?1 ? 当 n ≥ 3 时, P ? C ? ? ? Cn 2n

1 ⑶ 由⑵ 知当 n ? 2 时, P C ? ,因此 P ? C ? ? P C , 3

? ?

? ?

而当 n ≥ 3 时, P ? C ? ? P C ,理由如下:
n?2 ? ? n P ? C ? ? P C 等价于 4 ? 2 ? ? C k 2 k ? ? C2 n k ?1 ? ?

? ?

? ?



用数学归纳法来证明: 1° 当 n ? 3 时, ① 式左边 ? 4 ? 2 ? C1 ① 式右边 ? C3 所以① 式成立. 6 ? 20 , 2 ? 4 ? ? 2 ? 2? ? 16 ,

?

?

m?2 ? ? m n ? m ? 1 时, 2° 假设 n ? m ? m ≥ 3? 时① 式成立,即 4 ? 2 ? ? Ck 2 k ? ? C 2 m 成立,那么,当 k ?1 ? ? m ?1? 2 m?2 ? ? ? k ? m ?1 m m ?1 左边 ? 4 ? 2 ? ? Ck 2 k ? ? 4 ? 2 ? ? C2 k ? ? 4C 2? m ?1? ? C 2 m ? 4C 2? m ?1? k ?1 k ?1 ? ? ? ?

?

? m ? 1?!? m ? 1?! 2 ? m ? 1? ? 2m ?? 2m ? 2 ?!? 4m ? 1? ? m ? 1? ? 2m ?? 2m ? 2 ?!? 4m ? ? ? ? m ? 1?!? m ? 1?! ? m ? 1?!? m ? 1?!
m !m !
2

? 2m ? !

?

4 ? ? 2m ? 2 ?!

?1 ? Cm ? 2? m ?1?

? 2m ? 1?? 2m ? 1?

2 ? m ? 1? m

m ?1 ? C2 ? m ?1? =右边.

即当 n ? m ? 1 时① 也成立. 综合 1° ,2° 得,对于 n ≥ 3 的所有正整数,都有 P ? C ? ? P C 成立. 41. (2014 江西文 3) 掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( 1 1 1 A. B. C. 18 6 9 【解析】 B

? ?

) D.
1 12

42. (2014 辽宁理 6) 6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为() A.144 B.120 C.72 D.24 【解析】 D 43. (2014 辽宁理 14) 正方形的四个顶点 A ? ?1,? 1? ,B ?1,? 1? , C ?1, 1? ,D ? ?1, 1? 分别在抛物线 y ? ? x 2 和 y ? x 2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 ____.
y y=x2

1 D C

1 A 1

O

1 B

x

y= x2

2 3 44. (2014 辽宁理 18) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.

【解析】

频率 组距 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002

O

50

100

150

200

250

日销售量/个

将日销售落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立。 ⑴求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; ⑵用 X 表示在未来 3 天里日销售不低于 100 个的天数, 求随机变量 X 的分布列, 期望 E ? X ? 及 方差 D ? X ? . 【解析】 ⑴ 设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”, A2 表示事件“日销售量低于 50 个”. B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个”,因此 P( A1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 . P( A2 ) ? 0.003 ? 50 ? 0.15 .
P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108 .

⑵ X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为 0 2 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 . P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.6(1 ? 0.6) ? 0.288 .
2 3 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 (1 ? 0.6) ? 0.432 . P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.216 .

分布列为

X P
因为 X ~ B(3,0.6) ,

0
0.064

1
0.288

2
0.432

3
0.216

所以期望 E ( X ) ? 3 ? 0.6 ? 1.8 .方差 D( X ) ? 3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? 0.72 . 45. (2014 辽宁文 6) C D 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中, 其中 AB =2, BC =1,则质点落在以 AB 为直径的半圆 内的概率是( ) π π π π A. B. C. D. 2 4 6 8 B A 【解析】 B 46. (2014 辽宁文 18) 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果 如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100

⑴根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方

面有差异” ; ⑵已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生 中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 附: ? 2 ?
n(n11n22 ? n12 n21 )2 , n1? n2 ? n?1n?2

P( ? 2 ≥ k ) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635

【解析】 ⑴ 将 2× 2 列联表中的数据代入公式计算,得 n(n11n22 ? n12 n21 )2 100 ? (60 ? 10 ? 20 ? 10) 2 100 ?2 ? ? ? ? 4.762 n1? n2? n?1n?2 70 ? 30 ? 80 ? 20 21 由于 4.762 ? 3.841 ,所以有 95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方 面有差异. ⑵ 从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 ? ? {a1 , a2 , b1} , {a1 , a2 , b2 } , {a1 , a2 , b3} , {a1 , b1 , b2 } , {a1 , b2 , b3} , {a2 , b1 , b3 } , {a2 , b1 , b2 } , {a2 , b2 , b3 } , {a2 , b1 , b3 } , {b1 , b2 , b3 } 其中 ai 表示喜欢甜品的学生, i ? 1 , 2 . b j 表示不喜欢甜品的学生, j ? 1 , 2 , 3

? 由 10 个基本事件组成,这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则
A ? {a1 , b1 , b2 } , {a1 , b2 , b3} , {a1 , b1 , b3} , {a2 , b1 , b2} , {a2 , b2 , b3} ,{a2 , b1 , b3} , {b1 , b2 , b3} 7 事件 A 是由 7 个基本事件组成,因而 P( A) ? . 10


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