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四川省绵阳市2014届高三第一次诊断性考试数学(文)试题 Word版含答案


1、若集合 A=[2,4] ,集合 B=[1,4] ,则 A、 [1,2] B、{1,2} C、 [1,2) D、 (1,2] 2、对于非零向量 a,b, “a∥b”是“a+b=0”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 3、下列不等式中,正确的是 A、sin1<sin1° B、cos1>cos1° C、sin ? °< cos ? 4

、若命题“ p ? q ”为假命题,则 A、 p ? q 为假命题 B、 p ? q 真命题 C、 (?p) ? (?q) 为假命题 D、 (?p) ? (?q) 为假命题

D、sin ? < cos ? °

5、若向量 a=(1,2) ,b=(1,-1) ,则 2a+b 与 b 的夹角为 A、0 B、

? 2

C、

? 3

D、 ?

6、已知 tan ? ? 3, ? ? ? ?

3 ? , 则 cos ? ? sin ? ? 2

7、已知函数 f(x)=k a ? a (a>0且a ? 1) 在 R 上是奇函数,且是增函数,则函
x

?x

数 g(x)=loga(x-k)的大致图象是

8、已知正实数 a,b 满足 lna+lnb=ln(a+b) ,则 4a+b 的最小值为 A、1 B、4 C、9 D、10 9、已知 ? , ? 都是锐角,且 cos ? ?

5 4 ,sin(? ? ? ) ? ,则 tan ? 为 5 5
D、

2 或-2 11 ???? ??? ? ???? 1 10、已知 O 为△ABC 的外心, cos A ? , 若 AO ? ? AB ? ? AC , 则? ? ? 的最大值为 3 1 1 2 3 A、 B、 C、 D、 3 2 3 4
A、2 B、- C、-

2 11

2 或2 11

11、设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ? n ,中 a5 =___
2

12、化简:

(用分数指数幂表示)

13、已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为___

14、已知 f(x)是 R 上的减函数,A(3,-1) ,B(0,1)是其图象上两个点,则不等式 |f(1+lnx)|<1 的解集是____ 15、已知函数 若命题

为假命题,则实数 m 的取值范围为_____

16、 (本题满分 12 分) 设函数 (I)求 f(x)的最小正周期; (II)讨论 f(x)在 的单调性。

17、 (本题满分 12 分) 已知{ an }为等差数列,且 a4 ? 14, a5 ? a8 ? 48 。 (I)求{ an }的通项公式; (II)设 S n 是等比数列{ bn }的前 n 项和,若 成等差数列,求 S4。

18、 (本题满分 12 分) 已知函数 (I)若函数 f(x)的图象在(1,f(1) )处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值; (II)若 f(x)≥0 对任意 x>0 恒成立,求 a 的最小值。

19、 (本题满分 12 分) 安通驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路 OASBCD, 道路的平面图如图所示 (单位: km) ,已知曲线 ASB 为函数 的图象,且

最高点为 S(1,2) ,折线段 AOD 为固定线路,其中 AO= 3学科网 ,OD=4,折线段 BCD 为可变线路,但为保证驾驶安全,限定∠BCD=120°。 (I)求 的值;

(II)应如何设计,才能使折线段道路 BCD 最长?

20、 (本题满分 13 分) 已知函数 (I)若函数 f(x)满足 f(1+x)=f(2-x) ,求使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值 集合; (II)若函数 h(x)=f(x)+g(x)+2 在(0,2)上有两个不同的零点 求实数 b 的取值范围。

21、 (本题满分 14 分) 已知函数 (I)若 a<0,求 f(x)在[-2,0]上的最大值; (II)如果函数 f(x)恰有两个不同的极值点 ①证明 ②求 的最小值,并指出此时 a 的值。

绵阳市高 2011 级第一次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBDDB AACAD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.9 12. a
5 6

13.5

1 14. ( , 2 ) 15.m<0 或 m>2 e e 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解: (I) f ( x) ? 2(sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

) cos x

? sin x cos x ? 3 cos2 x

?

1 3 (1 ? cos 2 x) sin 2 x ? 2 2

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
? sin( 2 x ?

?
3

)?

3 ,?????????????????6 分 2

∴ T?

2? ? ? ,即 f(x)的最小正周期为 π. ?????????????7 分 2

π π π π 5π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 12 2 2 12 π π 3π 5π 11π 由 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 2 2 12 12 π 5π 即函数 f(x)的单调递减区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 ?π 11π 单调递增区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 5π 5π π ∴ f (x)在[ 0, ]上是减函数,在[ , ]上是增函数. ??????12 分 12 ?? 2 17.解: (I)设{an}的公差为 d,则由题知
(II)由 2kπ ?

?a1 ? 3d ? 14, 解得 a1=2,d=4. ??????????????4 分 ? ?a1 ? 4d ? a1 ? 7 d ? 48,
∴an=2+4(n-1)=4n-2.??????????????????????6 分 (II)设{bn}的公比为 q, 若 q=1,则 S1=b1,S2=2b1,S3=3b1, 由已知 2 ? 2S2 ? 3S1 ? S3 ,代入得 8b1=4b1,而 b1≠0,故 q=1 不合题意.??7 分 若 q≠1,则 S1=b1, S 2 ?
b1 (1 ? q 2 ) b (1 ? q 3 ) , S3 ? 1 , 1? q 1? q

18.解: (I)∵ f ?( x) ?

1 a , ? x x2

∴ 由题意知 f ?(1) ? 2 ,即 1-a=2,解得 a=-1. 于是 f(1)=-1-2=-3, ∴ -3=2×1+b,解得 b=-5. (II)由题知 ln x ? ???????????????????6 分

a ? 2 ≥0 对任意 x>0 恒成立,即 a≥ 2x ? x ln x , x 令 g ( x) ? 2x ? x ln x ,
∴ g ?( x) ? 2 ? (ln x ? 1) ? 1 ? ln x . ??????????????????8 分 显然当 0<x<e 时, g ?( x) ? 0 ,即得 g(x)在(0,e)上是增函数,

? 当 x≥e 时, g ?( x) ≤0,即得 g(x)在 ? e, ? ? 上是减函数.
∴ g ( x) max ? g (e) ? e . ∴ a≥e,即 a 的最小值为 e.??????????????????12 分 19.解: (I)由已知 A=2, 且有 2 sin(? ? 0 ? ? ) ? 3 ,即 sin ? ? 由| ? |<
3 , 2

? ? 得? ? . 3 2

又∵ 最高点为(1,2),

? ) ? 2,解得 ? ? . 6 3 ? ? ∴ y ? 2 sin( x ? ) .??????????????????????6 分 6 3 π π (II)∵ B 点的横坐标为 3,代入函数解析式得 yB ? 2sin( ? 3 ? ) =1, 6 3
∴ 2 sin(? ? ∴ BD ? 12 ? (4 ? 3) 2 ? 2 .???????????????????8 分 在△BCD 中,设∠CBD=θ,则∠BDC=180?-120?-θ=60?-θ. 由正弦定理有 ∴ CD ?
BD CD BC ,? ? ? sin 120? sin ? sin(60? ? ? )

?

2 6 2 6 sin ? , BC ? sin(60? ? ? ) , ?????????????9 分 3 3 2 6 [sin ? ? sin(60? ? ? )] 3

∴ BC ? CD ?

?

2 6 3 1 [sin ? ? cos ? ? sin ? ] 3 2 2

?

2 6 ? sin(? ? ) . 3 3

∴ 当且仅当 ? ?

?
6

时,折线段 BCD 最长,最长为

2 6 千米.?????12 分 3

20.解: (I)由于 f(1+x)=f(2-x)知函数 f(x)关于 x ? 即?

3 对称, 2

b 3 2 ? ,解得 b=-3,于是 f(x)=x -3x+2.????????????3 分 2 2

? x 2 ? 1,x ? ?1或x ? 1, ? g ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x , 1 ? x ? 1, ?
当 x≤-1,或 x≥1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥x2-1,解得 x≤1, ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1,或 x=1. 当-1<x<1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥1-x2,解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤
1 . 2

1 或 x≥1, 2

∴ 综上知,使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤

1 或 x=1}. 2 ????????????????????????

7分

?2 x 2 ? bx ? 3,x ? ?1或x ? 1, (II) h( x) ? ? ? 1 ? x ? 1, ?bx ? 5, ?2 x 2 ? 3,x ? ?1或x ? 1, 若 b=0 时, h( x) ? ? 显然 h(x)>0 恒成立,不满足条件. ? 1 ? x ? 1. ?5,
?????????????????????????9 分 若 b≠0 时,函数 ? (x)=bx+5 在(0,1)上是单调函数, 即 ? (x)在(0,1)上至多一个零点,不妨设 0<x1<x2<2. ①如果 0<x1<1,1≤x2<2 时,则 ? (0)? (1) ? 0 ,且 h(1)h(2) ≤0,即

?b ? 5 ? 0, 11 解得 ? ≤ b ? ?5 . ? 2 ?(b ? 5)(2b ? 11) ? 0,
经检验 b ? ?

10 11 11 时, h(x) 的零点为 ,2(舍去) ,∴ ? < b ? ?5 . 2 11 2

②若 1≤x1<x2<2 时,

? h(1) ? 1, ?b ? 5 ? 0, ? h(2) ? 0, ?2b ? 11 ? 0, ? ? ? 即? 得:-5≤ b ? ?2 6 . b ? ?? 8 ? b ? ?4, ?1 ? ? 4 ? 2, ?b ? ?2 6或b ? 2 6, ? 2 ? ?b ? 24 ? 0, ?
∴ 综上所述 b 的取值范围为 ?

11 ? b ? ?2 6 . ???????????12 分 2

21.解: (I)∵ f ?( x) ? e x ? 2 x ? a(a ? 0) , ∴ 当 x∈[-2,0]时, f ?( x) ? 0 ,即 f (x)在[-2,0]上是增函数, ∴ f ( x) max ? f (0) ? 1 . ??????????????????????4 分 (II)∵ 函数 f(x)恰有两个不同的极值点 x1,x2, ∴ 方程 ex-2x-a=0 有两个不同的零点 x1,x2. 令 h(x)=ex-2x-a. ① h?( x) ? e x ? 2 , 当 x ? ln 2 时, h?( x) ? 0 , h(x)是减函数; 当 x ? ln 2 时, h? (x)>0,h(x)是增函数, ∴ h(x) 在 x=ln2 时取得最小值. ∴ x1<ln2.???????????????????????????9 分 ②∵ h(x1)=0,即 e x1 ? 2 x1 ? a ? 0 , ∴ a ? e x1 ? 2 x1 .
2 2 于是 f ( x1 ) ? e x1 ? x1 ? (e x1 ? 2 x1 ) ? x1 ? (1 ? x1 )e x1 ? x1 ,

∴ f ?( x1 ) ? x1 (2 ? e x1 ) . ∵ x1<ln2, ∴ 2 ? e x1 ? 0 . ∴ 当 x1<0 时, f ?( x1 ) ? 0 ,f(x1)是减函数; 当 0≤x1<ln2 时, f ?( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) 是增函数. ∴ f (x1)在(-∞,ln2)上的最小值为 f(0)=1,此时 a=1.???????14 分


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