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高考数学专题讲座--第1讲:选择题解法探讨


【备战 2014 高考数学专题讲座】 第 1 讲:选择题解法探讨
选择题的题型构思精巧,形式灵活,知识容量大,覆盖面广,一般不拘泥于具体的知识点,而是将数 学知识、方法等原理融于一体,突出对数学思想方法的考查,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本 技能,还能考查学生的思维敏捷性,是高考数学中的一种重要题型。近年来,高考数学试题推出了一些思 路开阔、情景新颖脱俗的选择题

,解决这类问题主要注意三个方面:一是提高总体能力;二是要跳出传统 思维定式,学会数学的合情推理;三是要熟练地进行数学图形、符号、文字三种语言的转换。在全国各地 高考数学试卷中,选择题约占总分的 30%~40%,因此掌握选择题的解法,快速、准确地解答好选择题是 夺取高分的关键之一。 选择题由题干和选项两部分组成,题干可以是由一个问句或一个半陈述句构成,选项中有四个答案, 至少有一个正确的答案,这个正确的答案可叫优支,而不正确的答案可叫干扰支或惑支。目前在高考数学 试卷中,如果没有特别说明,都是“四选一”的选择题,即单项选择题。 选择题要求解题者从若干个选项中选出正确答案,并按题目的要求,把正确答案的字母代号填入指定 位置。笔者将选择题的解法归纳为应用概念法、由因导果法、执果索因法、代入检验法、特殊元素法、筛 选排除法、图象解析法、待定系数法、分类讨论法、探索规律法十种,下面通过 2012 年全国各地高考的 实例探讨这十种方法。版权归锦元数学工作室,转载必究

一、应用概念法:应用概念法是解选择题的一种常用方法,也是一种基本方法。根据选择题的
题设条件,通过应用定义、公理、定理等概念直接得出正确的结论。使用应用概念法解题,要求学生熟记 相关定义、公理、定理等基本概念,准确应用。 典型例题: 例 1: (2012 年全国课标卷理 5 分) 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1 , 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为【 】

( A) 6

( B) 9

(C ) ??

( D) ??

【答案】 B 。 【考点】由三视图判断几何体。 【解析】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 。因此此几何体的体积为:

1 1 V ? ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 。故选 B 。 3 2
例 2: (2012 年全国课标卷文 5 分)在一组样本数据(x1,y1)(x2,y2) , ,…, n,yn) (x (n≥2,x1,x2,…,xn 1 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本 2 相关系数为【 (A)-1 【答案】D。 【考点】样本相关系数。 1 【解析】根据样本相关系数的概念,因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,即两变量 2 为完全线性相关,且完全正相关,因此这组样本数据的样本相关系数为 1。故选 D。 例 3: (2012 年广东省理 5 分)设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则 CU M ? 【 A.U 【答案】C。 【考点】补集的运算。 【解析】∵集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 },∴ CU M ? {3,5,6}。故选 C。 例 4: (2012 年北京市理 5 分)如图. ∠ACB=90? 。CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则 【 】 A. CE· CB=AD· DB B. CE· CB=AD· AB C. AD· AB=CD ? D.CE· EB=CD ? B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 】 】 (B)0 1 (C) 2 (D)1

【答案】C。 【考点】射影定理。 【解析】由射影定理可得 AD· AB=CD ? 。故选 C。

例 5: (2012 年安徽省理 5 分) 设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m , 直线 a 在平面 ? 内, 直线 b 在 平面 ? 内, 且 b ? m , 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的【 】

( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件
【答案】 A 。

( B) 必要不充分条件 ( D) 即不充分不必要条件

【考点】充分和必要条件,两直线垂直的判定和性质。 【解析】∵ ? ? ? ,b ? m ? b ? ? ? b ? a ,∴“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的充分条件。 ∵如果 a / / m ,则 a ? b 与 b ? m 条件相同,∴“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的不必要条件。 故选 A 。 例 6: (2012 年安徽省文 5 分)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象【 】

( A) 向左平移 1 个单位

( B) 向右平移 1 个单位

1 (C ) 向左平移 个单位 2
【答案】 C 。 【考点】函数图象平移的性质。 【解析】∵ y = cos(2 x ? 1)= cos 2 ? x ?

1 ( D) 向右平移 个单位 2

? ?

1? ?, 2?

∴只要将函数 y ? cos 2 x 的图象向左平移

1 个单位即可得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象。 故选 C 。 2


例 7: (2012 年北京市理 5 分)设 a,b∈R.“a=0”是?复数 a+bi 是纯虚数”的【 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B。 【考点】复数的概念,纯虚数的定义,充分必要条件的判定。 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】复数 a+bi 是纯虚数必须满足 a=0,b≠0 同时成立。当 a =0 时,如果 b =0,此时 a+bi 是实数,不 是纯虚数,因此不是充分条件:而如果 a + bi 已经为纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到 a=0。 因此,.“a=0”是?复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件。故选 B。 例 8: (2012 年湖南省理 5 分)命题“若 ? ?

?
4

,则 tan? ? 1 ”的逆否命题是【



A.若 ? ?

?
4

,则 tan? ? 1

B. 若 ? ?

?
4

,则 tan? ? 1

C. 若 tan? ? 1 ,则 ? ? 【答案】C 。 【考点】四种命题。

?
4

D. 若 tan? ? 1 ,则 ? ?

?
4

【解析】 因为“若 p , q ”的逆否命题为“若 ?p , ?q ”, 则 则 所以 “若 ? ?

?
4

, a ?1 ”的逆否命题是 “若 则t n ?

tan? ? 1 ,则 ? ?

?
4

”。 故选 C。 】

例 9: (2012 年辽宁省理 5 分)已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是【 (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 【答案】C。 【考点】含有量词的命题的否定。 【解析】命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题, 所以(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0。故选 C。

二、由因导果法:由因导果法,又称综合法,直接推演法,是解选择题的一种常用方法,也是
一种基本方法。它的解题方法是根据选择题的题设条件,通过应用定义、公理、公式、定理等经过计算、 推理或判断,得出正确的结论,再从四个选项中选出与已得结论一致的正确答案。由因导果法解题自然, 不受选项的影响,运用数学知识,通过综合法,直接得出正确答案。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年全国课标卷理 5 分)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y ) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;, 则 B 中所含元素的个数为【 】

( A) 3
【答案】 D 。 【考点】集合的运算。

( B) 6

(C ) ?

( D) ??

【解析】由 A ? {1, 2,3, 4,5} , , B ? {( x, y ) x ? A, y ? A, x ? y ? A} 得: x ? 2, y ? 1 ; x ? 3, y ? 1, 2 ;

x ? 4, y ? 1, 2,3 ; x ? 5, y ? 1, 2,3, 4 ,所以 B 中所含元素的个数为?? 。故选 D 。

例 2:2012 年全国课标卷理 5 分) F1 F2 是椭圆 E : ( 设

x2 y 2 3a 右焦点, 为直线 x ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 P 2 a b 2


上一点, ? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为【

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【答案】 C 。 【考点】椭圆的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义。 【解析】∵ F1 F2 是椭圆 E : ∴ F2 F1 ? 2c 。 ∵ ? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形, ∴ ?PF2 D ? 600 。 ∵ P 为直线 x ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

F2 D 3 3 3a 上一点,∴ F2 D ? OD ? OF2 ? a ? c 。∴ PF2 ? =2( a ? c) 。 0 cos 60 2 2 2

又∵ F2 F1 ? PF2 ,即 2c ? 2( a ? c) 。∴ e ?

3 2

c 3 ? 。故选 C 。 a 4

例 3: (2012 年全国课标卷文 5 分) 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 α 的距离为 2, 则此球的体积为 【 (A) 6π 【答案】B。 【考点】点到平面的距离,勾股定理,球的体积公式。 【解析】由勾股定理可得球的半径为 3,从而根据球的体积公式可求得该球的体积为: 】 (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π

4 V ? ?? ? 3

? 3 ? =4
3

3? 。故选 B。

例 4: (2012 年全国大纲卷理 5 分)已知 F1,F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上,

PF1 = 2 PF2 ,则 cos ?F1PF2 = 【
A.

】 C.

1 4

B.

3 5

3 4

D.

4 5

【答案】C。 【考点】双曲线的定义和性质的运用,余弦定理的运用。

【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 由 x2 ? y 2 ? 2 ? ∴ F1F2 =4 。 设 PF2 ? k , PF1 = 2k ,则 PF1 ? PF2 = k 。 ∴根据双曲线的定义,得 PF1 ? PF2 = k ? 2a ? 2 2 。 ∴ PF2 ? 2 2, PF1 = 4 2 。 在 ?PF1F2 中,应用用余弦定理得 cos ?F1PF2 =

x2 y 2 ? ? 1 可知, a ? b ? 2 ,∴ c ? a 2 ? b 2 ? 2 。 2 2

PF12 ? PF2 2 ? F1F2 2 32 ? 8 ? 16 3 ? ? 。故选 C。 2 PF1 ? PF2 32 4

例 5: (2012 年全国大纲卷文 5 分) )已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2,CC1 ? 2 2,E 为 CC1 的 中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为【 A.2 【答案】D。 【考点】正四棱柱的性质,点到面的距离,线面平行的距离,勾股定理。 【解析】连接 AC , AC 和 BD 交于点 O ,则在 ?ACC1 中, ∵ ABCD 是正方形,∴ BO ? OD , 又∵ E 为 CC1 的中点,∴ OE ∥ AC1 。 ∴则点 C1 到平面 BED 的距离等于 C 到平面 BED 的距离。 过点 C 作 CH ? OE 于点 H ,则 CH 即为所求。 ∵ ABCD 是正方形, AB ? 2 ,∴根据勾股定理,得 CO ? 2 。 ∵ E 为 CC1 的中点, CC1 ? 2 2 ,∴ CE ? 2 。∴ OE ? 2 。 在 Rt ?OCE 中,利用等面积法得 CH ? ? CO? ,即 2CH ? 2 ? 2 。∴ CH ? 1 。故选 D。 OE CE B. 3 】 C. 2 D.1

例 6: (2012 年安徽省文 5 分) log 2 9 ? log3 4 ? 【



( A)

1 4

( B)

1 2

(C ) ?

( D) ?

【答案】 D 。

【考点】对数的计算。 【解析】 log 2 9 ? log 3 4 ?

lg 9 lg 4 2 lg 3 2 lg 2 ? ? ? ? 4 。故选 D 。 lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

例 7: (2012 年广东省理 5 分)设 i 为虚数单位,则复数 A. 6 ? 5i 【答案】D。 【考点】复数的计算。 【解析】 B. 6 ? 5i C. ?6 ? 5i

5 ? 6i =【 i



D. ?6 ? 5i

5 - 6i 5i - 6i 2 5i + 6 = = = - 6 - 5i 。故选 D。 i i2 - 1

三、执果索因法:执果索因法,又称分析法,它与由因导果法的解题思路相反。它的解题方
法是从要求解的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,根据定义、公理、定理等,把要求 解的结论归结为判定一个明显成立的条件——四个选项之一。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年北京市理 5 分)某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果 看,前 m 年的年平均产量最高。m 值为【 A.5 B.7 C.9 D.11 】

【答案】C。 【考点】直线斜率的几何意义。 【解析】据图像识别看出变化趋势,利用变化速度可以用导数来解,但图 像不连续,所以只能是广义上的。实际上,前 n 年的年平均产量就是前 n 年的总产量 S 与 n 的商: 标之比。

S? n ? n

,在图象上体现为这一点的纵坐标与横坐

因此,要使前 m 年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大,即这一点与坐标 原点连线的倾斜角最大。图中可见。当 n=9 时,倾斜角最大。从而 m 值为 9。故选 C。

?1? 例 2: (2012 年北京市文 5 分)函数 f ? x ? =x 2 ? ? ? 的零点个数为【 ?2?
A.0 B.1 C.2 D.3

1

x



【答案】B。 【考点】幂函数和指数函数的图象。

?1? ?1? 【解析】函数 f ? x ? =x 2 ? ? ? 的零点个数就是 x 2 ? ? ? =0 (即 ?2? ?2? ?1? ?1? x 2 = ? ? )解的个数,即函数 g ? x ? =x 2 和 h ? x ? = ? ? 的交点个 ?2? ?2?
数。如图,作出图象,即可得到二者交点是 1 个。所以函数 f ? x ?
1 =x 2 1 x

1

x

1

x

1

x

?1? ? ? ? 的零点个数为 1。故选 B。 ?2?

x

例 3: (2012 年湖北省文 5 分)过点 P(1,1) 的直线,将圆形区域(x,y) x 2 ? y 2 ? 4} 分两部分,使得这两部 { | 分的面积之差最大,则该直线的方程为 【
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A. x ? y ? 2 ? 0 【答案】A。

B. y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 0

D. x ? 3 y ? 4 ? 0

【考点】分析法的应用,垂径定理,两直线垂直的性质,由点斜式求直线方程。 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达到最小,所以需该 直线与直线 OP 垂直即可。 又已知点 P(1,1) ,则 kOP ? 1 。故所求直线的斜率为-1。 又所求直线过点 P(1,1) ,故由点斜式得,所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ? x ? 1? ,即 x ? y ? 2 ? 0 。 故选 A。

? ? ? ? a b 例 4: (2012 年四川省理 5 分)设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的充分条件是 | a| | b|
【 】

A、 a ? ?b 【答案】C。

?

?

B、 a // b

? ?

C、 a ? 2b

?

?

D、 a // b 且 | a |?| b |

? ?

?

?

【考点】充分条件。

? ? ? ? ? ? ? ? a b a b 【解析】若使 ? ? ? 成立, 即要 a 、 b 共线且方向相同,即要 a ? ? b ? ? > 0 ? 。所以使 ? ? ? 成立 | a| | b| |a| |b|
的充分条件是 a ? 2b 。故选 C。

?

?

四、代入检验法:代入检验法的解题方法是将四个选项分别代入题设中或将题设代入选项中检
验,从而确定答案。当遇到定量命题时,常用此法。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】

, 例 1: (2012 年全国大纲卷理 5 分)已知集合 A ? 1,3, m , B ? ?1 m? , A ? B ? A ,则 m ? 【
A.0 或 3 【答案】B。 【考点】集合的概念和并集运算,集合的关系的运用,元素与集合的关系的综合运用。 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3

?

?



0? , 【解析】当 m ? 0 时, A ? ?1,3, , B ? ?1 0? , A ? B ? A ;
4 4 , 当 m ? 3 时, A ? 1,3, 3 , B ? 1 3 , A ? B ? 1,3, 3, 3 ? A ;

?

?

? ?

?

?

3? 当 m ? 3 时, A ? 1,3,3 , B ? ?1, , A ? B ? A 。
∴ m ? 0 或 m ? 3 。故选 B。 例 2: (2012 年安徽省理 5 分)下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是【 】

?

?

( A) f ( x) ? x
【答案】 C 。 【考点】求函数值。

( B) f ( x ) ? x ? x

(C ) f ( x) ? x ??

( D) f ( x) ? ? x

【解析】分别求出各函数的 f (2 x) 值,与 2 f ( x) 比较,即可得出结果:

( A) 对于 f ( x) ? x 有 f (2 x)= 2 x =2 x =2 f ( x) ,结论成立; ( B) 对于 f ( x) ? x ? x 有 f (2 x) ? 2 x ? 2 x =2 x ? 2 x =2 ? x ? x ? =2 f ( x) ,结论成立;
, (C ) 对于 f ( x) ? x ??有 f (? x) ? ? x ?? ? f ( x) ? ? x ? ? ,∴ f (2 x) ? 2 f ( x) ,结论不成立;

( D) 对于 f ( x) ? ? x 有 f (? x) ? ?? x=? f ( x) ,结论成立。
因此,不满足 f (2 x) ? 2 f ( x) 的是 f ( x) ? x ?? ,故选 C 。

例 3: (2012 年广东省理 5 分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是【 A. y ? ln( x ? 2) 【答案】A。 【考点】函数的图象和性质。 B. y ? ? x ? 1 C.y= ?



?1? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

【解析】利用对数函数的图象和性质可判断 A 正确;利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误;利用指数 函数的图象和性质可判断 C 正确;利用“对勾”函数的图象和性质可判断 D 的单调性: A. y ? ln( x ? 2) 在(-2,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上为增函数,A 正确; B. y ? ? x ? 1 在[-1,+∞)上为减函数,排除 B;

?1? C. y= ? ? 在 R 上为减函数;排除 C; ?2?
D. y ? x ? 故选 A。 例 4: (2012 年陕西省理 5 分) 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3,0) 的直线,则【
2 2

x

1 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除 D。 x



A. l 与 C 相交 【答案】A。

B. l 与 C 相切

C. l 与 C 相离

D. 以上三个选项均有可能

【考点】直线与圆的位置关系。 【解析】∵ 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ,∴点 P(3,0) 在圆 C 内部。故选 A。
2 2

例 5: (2012 年湖北省理 5 分)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f ? x ? ,如果对于任意给定的等比 数列 ? an ? , f ?an ? 仍是等比数列,则称 f ? x ? 为“保等比数列函数”。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)
2 x 上的如下函数:① f ? x ? =x ;② f ? x ? =2 ;③ f ? x ? =

?

?

x ;④ f ? x ? = ln x 。

则其中是“保等比数列函数”的 f ? x ? 的序号为【 A.①② 【答案】C。 【考点】等比数列的判定,新定义。 【解析】逐一检验: B.③④ C.①③ D.②④



令等比数列 ? an ? 的公比为 q , ①对 f ? x ? =x ,∵
2

f ? an +1 ? f ? an ?

a 2 ? a ? ? a qn ? = n +1 = ? n +1 ? = ? 1 n ?1 ? =q 2 ,∴ ? f ?an ?? 是等比数列; an 2 ? an ? ? a1q ?

2

2

②对 f ? x ? =2 ,∵
x

f ? an +1 ? f ? an ?

=

2an +1 an +1 ? an =2 不一定是常数,∴ ? f ?an ?? 不一定是等比数列; 2 an

③对 f ? x ? =

x ,∵

f ? an +1 ? f ? an ?

=

an +1 an

=
n

an +1 = q ,∴ ? f ?an ?? 是等比数列; an
n n

④对 f ? x ? = ln x ,举个特例,令 an =2 ,f ? an ? = ln 2 = ln 2 =n ln 2 是等差数列不是等比数列。 从而是“保等比数列函数”的 f ? x ? 的序号为①③,故选 C。 例 6: (2012 年湖北省理 5 分)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之, 九而一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似 公式 d ? 一个是【 A. d ?

3

16 V 。人们还用过一些类似的近似公式。根据 ? =3.14159…..判断,下列近似公式中最精确的 9


3

16 V 9

B. d ?

3

2V

C. d ?

3

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

【答案】D。 【考点】球的体积公式以及估算。 【解析】由球的体积公式 V = ? R 得 R = 3
3

4 3

3V 3V 3 6V = ,由此得 d =2 3 。对选项逐一验证: 4? 4? ?

对于 A. d ? 对于 B. d ? 对于 C. d ?

3

16 16 6 6?9 V 有 ? ,即 ? ? =3.375 ; 9 9 ? 16

3

2V 有 2 ?

6

?

,即 ? ?

6 =3 ; 2

3

300 300 6 6 ?157 V有 ? ,即 ? ? =3.14 ; 157 157 ? 300 21 21 6 6 ?11 V 有 ? ,即 ? ? ? 3.1429 ; 11 11 ? 21

对于 D. d ?

3

∴d ?

3

21 6V V 中的数值最接近 3 。故选 D。 11 ?


例 7: (2012 年辽宁省文 5 分)将圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是【 (A) x ? y ? 1 ? 0 【答案】C。 【考点】直线和圆的方程,曲线上点的坐标与方程的关系。 【解析】∵ x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 ? ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? =4 ,
2 2

(B) x ? y ? 3 ? 0

(C) x ? y ? 1 ? 0

(D) x ? y ? 3 ? 0

∴圆的圆心坐标为(1,2) 。 ∵将圆平分的直线必经过圆心,∴逐一检验,得 x ? y ? 1 ? 0 过(1,2) 。故选 C。 π 例 8: (2012 年福建省文 5 分)函数 f(x)=sin?x-4?的图象的一条对称轴是【 ? ? π A.x= 4 【答案】C。 【考点】三角函数的图象和性质。 【解析】因为三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点,所以可以把四个选项代入验证,知只有当 x= π π π π - 时,函数 f?-4?=sin?-4-4?=-1 取得最值。故选 C。 ? ? ? ? 4 π B.x= 2 π C.x=- 4 π D.x=- 2 】

五、特殊元素法:特殊元素法的解题方法是在有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围
有关,在解决这类解答题,可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值,代入原命题进行验证,从而确定 答案。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: 2012 年湖北省文 5 分) ( 已知定义在区间 (0.2) 上的函数 y ? f ? x ? 的图像如图所示, y ? ? f ? 2 ? x ? 则 的图像为【 】

【答案】B。 【考点】特殊值法的应用,求函数值。

【解析】取特殊值: 当 x ? 2 时, y ? ? f ? x ? 2 ? ? ? f ? 2 ? 2 ? ? ? f ? 0 ? ? 0 ; 当 x ? 1 时, y ? ? f ? x ? 2 ? ? ? f ? 2 ? 1? ? ? f ?1? ? ?1 。 符合以上结果的只有选项 B。故选 B。 例 2: (2012 年陕西省理 5 分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,CA ? CC1 ? 2CB , 则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为【 】

A.

5 5

B.

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5

【答案】A。 【考点】异面直线间的角的求法,特殊元素法的应用。 【解析】设 CA ? CC1 ? 2CB ? 2 ,则 AB1 = (- 2, 2,1), C1 B = (0, - 2,1) ,

????

????

???? ???? ???? ???? AB1 × 1B (- 2)? 0 2? ( 2) + 1 1 C 5 ∴ cos < AB1 , C1B > = ???? ???? = 。 =5 9? 5 AB1 C1B
又∵直线 BC1 与直线 AB1 夹角为锐角,∴余弦值为

5 。选 A。 5


例 3: (2012 年全国课标卷理 5 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为【 ln( x ? 1) ? x

( A)

( B)

(C )

( D)

【答案】 B 。 【考点】函数的图象。 【解析】当 x ? ?

1 1 1 1 时, f (? ) ? = <0; 2 2 ln(? 1 ? 1) ? 1 ? ln 2 ? 1 2 2 2
1 1 = < 0。 ln(1 ? 1) ? 1 ln 2 ? 1

当 x ? 1时, f (1) ?

因此排除 A, C , D 。故选 B 。 例 4: (2012 年福建省理 5 分)下列命题中,真命题是【 A.? x0∈ R , e x0 ≤0 B.? x∈ R ,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是 =-1 b D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 【答案】D。 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断,全称命题,特称命题,命题的真假判断与应用。 【解析】对于 A,根据指数函数的性质不存在 x0,使得 e x0 ≤0,因此 A 是假命题。 对于 B,当 x=2 时,2x=x2,因此 B 是假命题。 a 对于 C,当 a+b=0 时, 不存在,因此 C 是假命题。 b 对于 D,a>1,b>1 时 ab>1,所以 a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件,因此 C 是真命题。 故选 D。 】

1 例 5: (2012 年山东省理 5 分)设函数 f ? x ? = ,g ? x ? =ax 2 +bx ? a,b ? R,a ? 0 ? ,若 y ? f ? x ? 的图像与 x
y ? g ? x ? 图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是【
A. 当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 C. 当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 【答案】B。 【考点】导数的应用。 【解析】令 B. 当 a<0 时,x1+x2>0, y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0 】

1 ? ax 2 ? bx ,则 1 ? ax 3 ? bx 2 (x ? 0) 。 x

设 F(x) ? ax 3 ? bx 2 , F' (x) ? 3ax 2 ? 2bx 。

令 F' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 0 ,则 x ? ?

2b 3a

要使 y ? f ? x ? 的图像与 y ? g ? x ? 图像有且仅有两个不同的公共点必须:

F(

?2b 2b 2b ) ? a(? )3 ? b(? )2 ? 1 ,整理得 4b3 ? 27a 2 。 3a 3a 3a

取值讨论:可取 a ? ?2,b ? 3 来研究。 当 a ? 2,b ? 3 时 , 2x3 ? 3x 2 ? 1 , 解 得 x1 ? ?1, x 2 ?

1 , 此 时 y1 ? ?1, y2 ? 2 , 此 时 2

x1 ? x 2 ? 0,y1 ? y2 ? 0 ;
当 a ? ?2,b ? 3 时 , ?2x 3 ? 3x 2 ? 1 , 解 得 x1 ? 1, x 2 ? ?

1 , 此 时 y1 ? 1, y2 ? ?2 , 此 时 2

x1 ? x 2 ? , y ? y ? 。故选 B。 0 1 0 2
例 6: (2012 年浙江省理 5 分)把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是【 】

【答案】A。 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1, 向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移 1 个单位长度得:y3=cos(x+1)。 取特殊值进行判断:令 x=0,得:y3>0;x= 故选 A。 例 7: (2012 年浙江省理 5 分)设 S n 是公差为 d ( d ? 0 )的无穷等差数列 ? an ? 的前 n 项和,则下列命题 错误的是【 .. 】

?
2

? 1 ,得:y3=0。比对所给选项即得答案。

A.若 d ? 0 ,则数列 {S n } 有最大项

B.若数列 {S n } 有最大项,则 d ? 0 C.若数列 {S n } 是递增数列,则对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 D.若对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 ,则数列 {S n } 是递增数列 【答案】C。 【考点】命题的真假判断与应用,数列的函数特性。 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,…,满足数列{S n}是递增数列,但是 S n>0 不成立。故选 C。 例 8: (2012 年江西省理 5 分)下列命题中,假命题为【 A.存在四边相等的四边形不是正方形 . B. z1 , z2 ? C , z1 ? z2 为实数的充分必要条件是 z1 , z2 互为共轭复数 C.若 x, y ? R ,且 x ? y ? 2, 则 x, y 至少有一个大于 1 D.对于任意 n ? N , Cn ? Cn ? ? ? Cn 都是偶数
0 1 n



【答案】B。 【考点】真假命题的判定,特称命题和全称命题,充要条件,共轭复数,不等式的基本性质,二项式定理。 【解析】对于 A 项,通过特例判断:例如菱形,满足四边相等的四边形不是正方形,所以 A 为真命题; 对于 B 项, 通过特例判断: z1 ? ?1 ? mi, z2 ? 9 ? mi ? m ? R ? ,显然 z1 ? z2 ? 8 ? R , z1 , z2 不 令 但 互为共轭复数,所以 B 为假命题; 对于 C 项,通过不等式的基本性质判断:显然正确(可用它的逆否命题证明) ,所以 C 为真命题; 对于 D 项,通过二项式定理系数的特例判断:根据二项式定理,对于任意 n ? N 有
0 1 n Cn ? Cn ? ? ? Cn = ?1+1? =2 n 为偶数,所以 D 为真命题。 n

综上所述,假命题为 B 项。故选 B。 例 9: (2012 年江西省理 5 分)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,

| PA |2 ? | PB |2 ?【 则 | PC |2
A.2 【答案】D。



B.4

C.5

D.10

【考点】两点间的距离公式。

【解析】对于非特殊的一般图形求解长度问题,由于是选择题,不妨将图形特殊化,用特殊元素法以方便 求解各长度: 不妨令 AC ? BC ? 4 ,则 AB ? 4 2 , CD ?

1 1 AB ? 2 2 , PC ? PD ? | CD |? 2 , 2 2

PA ? PB ? | AD |2 ? | PD |2 ?

?2 2 ? ? ? 2 ?
2

2

? 10 。

| PA |2 ? | PB |2 10 ? 10 ∴ ? ? 10 。故选 D。 | PC |2 2

六、筛选排除法:筛选排除法是解选择题的一种常用方法,使用排除法的前提条件是答案唯
一,它的解题方法是根据题设条件,结合选项,通过观察、比较、猜想推理和计算,进行排查,从四个选 项中把不正确的答案一一淘汰,最后得出正确答案的方法。筛选排除法可通过观察、比较、分析和判断, 进行简单的推理和计算选出正确的答案,特别对用由因导果法解之较困难而答案又模棱两可者更有用。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】

a 例 1: (2012 年北京市文 5 分)已知 ? n ? 为等比数列,下面结论中正确的是【
A. a1 ? a 3 ? 2a 2 【答案】B。 【考点】等比数列的基本概念,均值不等式。 B. a12 ? a 32 ? 2a 2 2 C.若 a1=a3,则 a1=a2



D.若 a3>a1,则 a4>a2

a 【解析】本题易用排除法求解:设等比数列 ? n ? 的公比为 q ,则
A,当 a1 < 0,q < 0 时, a1 < 0,a 2 > 0,a 3 < 0 ,此时 a1 ? a 3 < 2a 2 ,选项错误。 B. 根据均值不等式,有 a12 ? a 32 ? 2a1a 3 =2a 2 2 ,选项正确。 C. 当 q= ? 1 时,a1=a3,但 a1=a2


选项错误。

D. 当 q < 0 时, a1 > a 3 ? a1q < a 3q ? a 2 < a 4 ,选项错误。 故选 B。 例 2: (2012 年天津市文 5 分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为【 (A) y ? cos2x,x ? R (B) y ? log 2 x , x ? R 且 x ≠0 (D) y ? x +1,x ? R
3



e x ? e? x ,x ? R (C) y ? 2
【答案】B。

【考点】函数奇偶性的判断,函数单调性的判断。 【分析】利用函数奇偶性的定义可排除 C,D,再由“在区间(1,2)内是增函数”可排除 A,从而可得答 案: 对于 A,令 y =f ? x ? =cos2x ,则 f ? ? x ? =cos2 ? ? x ? =cos2x =f ? x ? ,∴函数为偶函数。 而 y ? cos2x 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,? ? 上单调递增, (1,2)中 ?1, ? ? ? ,? ? , 2 2 2 2

? ?

??
?

?? ?

? ?

? ?

??
?

?? ?

? ?

所以 y ? cos2x 在区间(1,2)内不全是增函数,故排除 A。 对于 B, 函数 y ? log 2 x 为偶函数, 且当 x ? 0 时, 函数 y ? log 2 x ? log 2 x 为增函数, 所以在 (1,2) 上也为增函数,故 B 满足题意。 对于 C,令 y =f ? x ? ? 排除 C 对于 D,为非奇非偶函数,可排除 D。 故选 B。 例 3: (2012 年全国课标卷理 5 分)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 取值范围是【 】

e x ? e? x ,x ? R ,则 f ? ? x ? = ? f ? x ? ,∴函数为偶函数为奇函数,故可 2

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 ? 的 4 2

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4
【答案】 A 。 【考点】三角函数的性质。

1 3 ( B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

( D) (0, 2]

【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判断:

5? 9? , ] ,不合题意,∴排除 ( D) 。 4 4 4 ? 3? 5? ∵ ? ? 1 时, (? x ? ) ? [ , ] ,合题意,∴排除 ( B)(C) 。故选 A 。 4 4 4
∵ ? ? 2 时, (? x ?

?

) ?[

例 4: (2012 年浙江省理 5 分)设 a , b 是两个非零向量【 A.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b B.若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | C.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 ? ,使得 b ? ?a



D.若存在实数 ? ,使得 b ? ?a ,则 | a ? b |?| a | ? | b | 【答案】C。 【考点】平面向量的综合题。 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的: ∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实数 λ,使得 a=λb, ∴选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量,不正确; 选项 B:若 a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|,不正确; 选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|,不正 确。 故选 C。 例 5:2012 年湖南省理 5 分) ( 某几何体的正视图和侧视图均如图所示, 则该几何体的俯视图不可能是 【 】

【答案】D。 【考点】组合体的三视图。 【解析】由几何体的正视图和侧视图均如图所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面 是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是该几何体的俯视图,D不 可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形。故选 D。 例 6: (2012 年江西省理 5 分)下列函数中,与函数 y ? A. y ?

3

1 定义域相同的函数为【 x
x



1 sin x

B. y ?

ln x x

C. y ? xe

D. y ?

sin x x

【答案】D。 【考点】函数的定义域。 【解析】 求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。 其求解根据一般有:(1) 分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于 0: (4)实际问题还需要考虑使题

目本身有意义。由函数 y ? 答案:

3

1 的意义可求得其定义域为 {x | x ? R,x ? 0} ,于是对各选项逐一判断即可得 x

1 的其定义域为 {x | x ? k?,k ? Z} ,故 A 不满足; sin x ln x 对于 B, y ? 的定义域为 {x | x ? R,x > 0} ,故 B 不满足; x
对于 A, y ? 对于 C, y ? xe 的定义域为 {x | x ? R} ,故 C 不满足;
x

对于 D, y ?

sin x 的定义域为 {x | x ? R,x ? 0} ,故 D 满足。 x
3

综上所述,与函数 y ?

1 sin x 定义域相同的函数为: y ? 。故选 D。 x x


例 7: (2012 年四川省理 5 分)下列命题正确的是【

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C。 【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。 【解析】采用排除法: 若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所 以 A 错; 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故 B 错; 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错; 故选项 C 正确。故选 C。 例 8: (2012 年四川省理 5 分)函数 y ? a ?
x

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是【 a



A、

B、

C、

D、

【答案】D。 【考点】函数图像。 【解析】采用排除法:函数 y ? a x ?

1 ,选项只有 D 符合,故选 D。 (a ? 0, a ? 1) 恒过(-1,0) a

例 9: (2012 年江西省理 5 分)如下图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动 点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记 SE ? x(0 ? x ? 1), 截面下面部分的体积为

V ( x), 则函数 y ? V ( x) 的图像大致为【



【答案】A。 【考点】棱锥的体积公式,线面垂直,函数的思想。 【解析】对于函数图象的识别问题,若函数 y ? f ? x ? 的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,可采 用定性排它法:

1 时,随着 x 的增大, V ? x ? 单调递减,且递减的速度越来越快,不 2 1 是 SE ? x 的线性函数,可排除 C,D。当 ? x ? 1 时,随着 x 的增大, V ? x ? 单调递减,且递减的速度 2
观察图形可知,当 0 ? x ? 越来越慢,可排除 B。只有 A 图象符合。故选 A。 如求解具体的解析式,方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一 步的计算错误而造成前功尽弃,并且作为选择题也没有太多的时间去解答。 我们也解答如下: 连接 AC,BD,二者交于点 O,连接 SO,过点 E 作底面的垂线 EH。 当 E 为 SC 中点时,∵SB=SD=BC=CD,∴SE⊥BE,SE⊥DE。

∴SE⊥面 BDE。 ∴当 SE ? x ?

1 时,截面为三角形 EBD,截面下面部分锥体的底为 BCD。 2
2 2 。此时 EH ? 。 2 4

又∵SA=SC=1,AC= 2,SO= ∴ V ( x) ?

1 1 2 2 ? ?1 ? ? 。 3 2 4 24

当 0 < SE ? x ? <

1 时,截面与 AD 和 AB 相交,分别交于点 F、D, 2 1 S BCDFG ? EH 。 3
2 , CS ? 1 得 2

设 FG 与 AC 相交于点 I,则易得 V ( x) ?

由 EH∥SO, SE ? x,CE ? 1 ? x, SO ?

2 2 :EH ? 1: ? x ? ,即 EH ? ?1 ?1 ? x ? 。 2 2
由 EI∥SA,SE ? x,CS ? 1, AC ? 2 得 x:AI ? 1:2 ,即 AI ? 2 x 。易知 ?AFG 是等腰直角三角 形,即 FG ? 2 AI ? 2 2 x 。∴ S AFG ? ∴ V ( x) ? 当

1 1 ? FG ? AI ? ? 2 2 x ? 2 x ? 2x 2 。 2 2

1 1 1 2 2 S BCDFG ? EH ? ? ? S ABCD ? S?AFG ? ? EH ? ? ?1 ? 2x 2 ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? 2x2 ? ?1 ? x ? 。 3 3 3 2 6

1 < SE ? x ? < 1 时,截面与 DC 和 BC 相交,分别交于点 M、N, 2 1 S?CMN ? EH 。 3
2 , CS ? 1 得 2

设 MN 与 AC 相交于点 J,则易得 V ( x) ?

由 EH∥SO, SE ? x,CE ? 1 ? x, SO ?

2 2 :EH ? 1: ? x ? ,即 EH ? ?1 ?1 ? x ? 。 2 2
由 EJ∥SA, SE ? x,CE ? 1 ? x, CS ? 1, AC ? 2 得 ?1 ? x ?:CJ ? 1:2 ,即 CJ ? 2 ?1 ? x ? 。易知

1 1 2 ?CMN 是等腰直角三角形,即 MN ? 2CJ ? 2 2 ?1 ? x ? 。∴ S?CMN ? ? MN ? CJ ? ? 2 2 ?1 ? x ? ? 2 ?1 ? x ? ? 2 ?1 ? x ? 。 2 2
∴ V ( x) ?

1 2 2 2 3 2 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? 。 3 2 3

? 2 ?1 ? 2x 2 ? ?1 ? x ? ? 0 < x < 1 ? ? ? ? 2? ? ? 6 ? 2? 1? ? 综上所述, V ( x) ? ? 。 ? x= ? 24 ? 2 ? ? ? 2 3 1 ? ?1 ? x ? ? < x < 1? ? ? ?2 ? ? 3 ?
结合微积分知识,可判定 A 正确。 例 10: (2012 年江西省文 5 分)如下图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角为

? ,以 A 6

? 为圆心,AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 OA 延长线交与点 C.甲。乙两质点同时从点 O 出发,甲先以速度 1 ? (单位:ms)沿线段 OB 行至点 B,再以速度 3(单位:m/s)沿圆弧 BDC 行至点 C 后停止,乙以速率 2(单
位:m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止。设 t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面 积为 S t) S 0) 0) ( 的图像大致是【 ( (( ? ,则函数 y ? S t) 】

A. 【答案】A。 【考点】函数的图象。

B.

C.

D.

【解析】由题设知,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),两者行一秒后,甲行到 B 停止,乙此时行到 A, 故在第一秒内,甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S t) ( 的值增加得越来越快, 一秒钟后,随着甲的运动,所围成的面积增加值是扇形中 AB 所扫过的面积,由于点 B 是匀速运动,故一 秒钟后,面积的增加是匀速的,且当甲行走到 C 后,即 B 与 C 重合后,面积不再随着时间的增加而改变, 故函数 y ? S t) ( 随着时间 t 的增加先是增加得越来越快,然后转化成匀速增加,然后面积不再变化,考察 四个选项,只有 A 符合题意。故选 A。

七、 图象解析法: 图象解析法的解题方法解选择题的一种常用方法,它是根据数形结合的原理,
先画出示意图,再观察图象的特征作出选择的方法。对于一些具有几何背景的数学题,如能构造出与之相应 的图形进行分析,则能在数形结合,以形助数中获得形象直观的解法。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年全国课标卷文 5 分)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若 点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是【 (A)(1- 3,2) 【答案】A。 【考点】简单线性规划,等边三角形的性质,勾股定理。 【解析】求 z=-x+y 的取值范围,则求出 z=-x+y 在正三角形 ABC 边际及内的区域的最大值和最小值即 可。 由 A(1,1),B(1,3),根据正三角形的性质可求 C 在第一象限的坐标为 (1+ 3,2) 。 作图,可知约束条件对应正三角形 ABC 内的区域: A(1,1),B(1,3), C(1+ 3,2) 。 当 x=1,y=3 时,z=-x+y 取得最大值 2;当 1+ 3,y=2 时,z=-x+y 取得最小值 1- 3。 ∴z=-x+y 的取值范围为(1- 3,2)。故选 A。 例 2: (2012 年全国课标卷文 5 分)当 0<x ? (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2 (B)(0,2) (C)( 3-1,2) 】 (D)(0,1+ 3)

1 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是【 2
(D)( 2,2)



(C)(1, 2)

【答案】B。 【考点】指数函数和对数函数的性质。 【解析】设 f ? x ? =4x , g ? x ? =log a x ,作图。

1 时, 4x ? loga x , 2 1 ∴在 0<x ? 时, g ? x ? =log a x 的图象在 f ? x ? =4 x 的图象上方。 2
∵当 0<x ? 根据对数函数的性质, a ? 1 。∴ g ? x ? =log a x 单调递减。

2 1 1 ∴由 x ? 时, 4x ? loga x 得 4 2 ? log a ,解得 a ? 。 2 2 2
∴要使 0<x ?

1

2 1 时, 4x ? loga x ,必须 a > 。 2 2
2 ,1) 。故选 B。 2 】

∴a 的取值范围是(

例 3: (2012 年全国大纲卷理 5 分)已知函数 y =x3 ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c= 【 A. ?2 或 2 【答案】A 【考点】导数的应用。 【解析】若函数图像与 x 轴有两个不同的交点,则需要满足其中一个为零即 可。因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可知 只有在极大值点或者极小值点有一点在 x 轴时满足要求(如图所示) 。 ∵ y =x3 ? 3x ? c ,∴ y' =3x 2 ? 3=3 ? x ? 1?? x ? 1? 。 ∴当 x= ? 1 时,函数取得极值。 由 yx =1 =0 或 yx =-1 =0 可得 c ? 2=0 或 c ? 2=0 ,即 c= ? 2 。故选 A。 B. ?9 或 3 C. ?1 或 1 D. ?3 或 1

?0 ? x ? 2 例 4: (2012 年北京市理 5 分)设不等式组 ? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点。则 ?0 ? y ? 2
此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是【 A. 】

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

【答案】 D。 【考点】几何概率。

?0 ? x ? 2 【解析】 不等式组 ? 表示的平面区域 D 是一个边长为 2 的正方形, ?0 ? y ? 2
如画图可知,区域内到坐标原点的距离大于 2 的点为红色区域,它的面积

1 为正方形的面积减四分之一圆的面积: 22 ? ? ? ? 22 =4 ? ? 。 4 4 ?? ∴此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 。故选 D。 4
例 5: (2012 年全国大纲卷理 5 分)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,

AE ? BF ?

3 , 动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动, 每当碰到正方形的边时反弹, 反弹时反射角等于入射角。 7
】 D.10

当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为【 A.16 【答案】A。 B.14 C.12

【考点】反射原理,正方形的性质,三角形相似的判定和性质。 【解析】结合已知中的点 E , F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利 用平行关系,作图,可以得到回到 E 点时,需要碰撞 14 次即可。

也可以通过三角形相似的相似比求解:如图, 为便是于计算, 将正方形 ABCD 的边长扩大 7 倍, 这样边长为 7,AE ? BF ? 3 ,BE ? CF ? 4 。

BE 4 ? 。 BF 3 5 CF 4 3 16 16 5 DH DH 3 ∴ ? ? ? DH ? ; ? ? ? GC ? ? DG ? 7 ? ? ; 5 4 4 GC GC 4 3 3 3 DG 3
∴这些三角形相似的两边长之比

CI ? DH ? 7

CI ?

5 4 ? 3 ? CI ? 13 ? BI ? 7 ? 13 ? 1 ; 7 4 2 2 2

1 BI 3 2 2 19 ? 2 ? ? BJ ? ? AJ ? 7 ? ? ; BJ BJ 4 3 3 3

9 AK AK 3 19 19 9 DK 3 ? ? ? AK ? ? DK ? 7 ? ? ; ? 4 ? ? DL ? 3 。 19 4 AJ 4 4 4 DL DL 4 3
∴经过 7 次碰撞,到达与点 E 成轴对称的点 L 处,根据正方形的对称性,再经过 7 次碰撞,到 达点 E ,共 14 次碰撞。故选 A。

例 6: (2012 年湖南省理 5 分)已知两条直线 l1 : y ? m 和 l 2 : y ?

8 ? m > 0 ? , l1 与函数 y ? log 2 x 2m+1

的图像从左至右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a , b ,当 m 变化时, A. 16 2 【答案】B。 【考点】数形结合,函数的图象,基本不等式的应用。 【解析】 如图, 在同一坐标系中作出 y ? m ,y ? B. 8 2 C. 8 3 4 D. 4 3 4

b 的最小值为【 a



[来源%&:中国~*教育# 出版网]

8 ? m > 0? , 2m+1

y ? log 2 x 图像,
?m m 由 log 2 x =m ,得 x1 ? 2 , x2 ? 2 ,

8 8 ? 8 2 m?1 2 m?1 由 log 2 x ? ,得 x3 ? 2 。 , x4 ? 2 2m+1
8

根据题意得 a ? 2? m ? 2

?

8 2 m ?1

, b ? 2m ? 2 2 m?1 ,

8

b ? a

2m ? 2 2 m?1 2
?m

?2

?

8 2 m ?1

? 2m 2 2 m?1 ? 2

8

m?

8 2 m ?1



∵m?

7 b 8 1 4 1 1 7 ? m? ? ? ? 4 ? ? ,∴ ( ) min ? 2 2 =8 2 。故选 B。 a 2m ? 1 2 m? 1 2 2 2 2

例 7: (2012 年江西省理 5 分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 ? 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为【 A.50,0 【答案】B。 【考点】建模的思想方法,线性规划知识在实际问题中的应用。 】 B.30,20 C.20,30 D.0,50

【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为

z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y .
? x ? y ? 50 ? x ? y ? 50 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 ? 4 x ? 3 y ? 180 ? ? 线性约束条件为 ? ,即 ? 。 ?x ? 0 ?x ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x ? y ? 50 ? 4 x ? 3 y ? 180 ? 如图,作出不等式组 ? 表示的可行域,易求得点 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
A ? 0, 50? , B ? 30, 20? , C ? 0, 45 。 ?
平移直线 x ? 0.9 y ? 0 ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20 ? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最 大值,且 zmax ? 48 (万元) 。故选 B。

八、待定系数法:待定系数法是一种常用的数学方法,对于某些数学问题,如果已知所求结果
具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和 结果之间的恒等式,得到以待定系数为元的方程(组)或不等式(组),解之即得待定的系数。对于待定 系数法方法的使用,笔者将另文详细解析。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年全国课标卷理 5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x
2

的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为【



( A) 2
【答案】 C 。

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

【考点】双曲线和抛物线的性质。 【解析】 y ? 16 x 的准线 l : x ? ?4 。
2 2 ∵ C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,

∴ A(?4, 2 3) , B(?4, ?2 3) 。 设 C : x ? y ? a (a ? 0) ,则 a ? (?4) ? (2 3) ? 4 ,得 a ? 2 , 2a ? 4 。故选 C 。
2 2 2

2

2

2

? 1 ? 例 2: (2012 年全国大纲卷理 5 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,a5 =5,S5 =15 , 则数列 ? ?的 ? an an ?1 ?
前 100 项和为【 A. 】 B.

100 101

99 101

C.

99 100

D.

101 100

【答案】A。 【考点】等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,裂项求和的综合运用。 【解析】通过已知 a5 =5,S5 =15 ,列式求解,得到公差与首项,从而得 ?an ? 的通项公式,进一步裂项求和: 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则由 a5 =5,S5 =15 可得

?a1 ? 4d =5 ?a =1 ? ? ? 1 ? an =n 。 ? 5? 4 ?5a1 ? 2 d =15 ?d =1 ?


1 1 1 1 。 = = ? an an ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 ? 1 100 ? 1? ?1 1? ? 1 ∴ S100 = ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 。故选 A。 ??? ? = ? =1 ? 101 101 ? 2? ? 2 3? ? 100 101 ?
例 3:2012 年湖北省理 5 分) ( 已知二次函数 y =f ? x ? 的图像如图所示 , 则它与 x 轴所围图形的面积为 【 】

A.

2? 5

B.

4 3

C.

3 2

D.

? 2

【答案】B。 【考点】待定系数法求函数解析式,定积分在求面积中的应用。 【解析】先根据函数的图象用待定系数法求出函数的解析式,然后利用定积分表示所求面积,最后根据定 积分运算法则求出所求: 根据函数的图象可知二次函数 y =f ? x ? 图象过点(-1,0)(1,0)(0,1) , , ,用待定系数法可求 得二次函数解析式为 f ? x ? =1 ? x 。
2

设二次函数 y =f ? x ? 的图像与 x 轴所围图形的面积为 S ,

? 1 31? 4 则 S = ? ?1-x ?dx =2 ? ?1-x ?dx =2 ? x- x ? = 。故选 B。 -1 0 ? 3 0? 3 ? ?
1 2 1 2

例 4: (2012 年湖北省理 5 分)设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a +b +c =10,x +y +z =40,ax +by +cz =20 , 则

2

2

2

2

2

2

a +b+c =【 x +y +z
A.



1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

【答案】C。 【考点】柯西不等式不等式的应用,待定系数法的应用。
2 2 2 【解析】由柯西不等式知 a +b +c

?

?? x

2

+y 2 +z 2 ? ? ? ax +by +cz ? =400 ,
2

而此时 a +b +c

?

2

2

2

?? x

2

a b c +y 2 +z 2 ? =400 恰好满足取等条件 = = 。 x y z



a b c = = =k ? k >0 ? ,则 a=kx, b=yk , c=zk 。 x y z
2 2 2
2

代入到 a +b +c =10 中得 k ∵ k >0 ,∴ k =

?x

2

+y 2 +z 2 ? =10 ,再将 x 2 +y 2 +z 2 =40 代入得 k 2 =

1 。 4

a +b+c kx +ky +kz 1 1 。∴ = =k = 。故选 C。 x +y +z x +y +z 2 2

例 5: (2012 年四川省文 5 分)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? 【 A、 2 2 【答案】B。 【考点】抛物线的定义。 【解析】设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? ,则焦点坐标为( ∵点 M 在该抛物线上, B、 2 3 C、 4 】 D、 2 5

p p ,准线方程为 x= ? 。 ,0 ) 2 2

p 2 p 2 2 ∴点 M 到该抛物线焦点的距离等于到准线的距离,即 ( ? ) ? y0 ? ( ? ) ? 3 , 2 2 2 2

( ) 解得, p ? 1, y0 ? 2 2 。∴ M 2,2 2 。
∴ | OM |? 22 ? (2 2) 2 ? 2 3 。故选 B。

九、分类讨论法:在解答某些问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐
类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也 是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数 学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时,我 们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进 行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获 取阶段性结果;最后进行归纳,综合得出结论。对于分类讨论法方法的使用,笔者将另文详细解析。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年全国课标卷理 5 分) 已知 ? an 为等比 数列,a4 ? a7 ? 2 ,a5 a6 ? ?8 , a1 ? a ?【 则 1 0

?



( A) 7
【答案】 D 。 【考点】等比 数列。

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

【解析】∵ ? an 为等比 数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ,∴ a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 。 由 a4 ? 4, a7 ? ?2 得 a1 ? ?8, a10 ? 1 ,即 a1 ? a10 ? ?7 ; 由 a4 ? ?2, a7 ? 4 得 a1 ? 1, a10 ? ?8 ,即 a1 ? a10 ? ?7 。故选 D 。

?

1) 1 例 2:(2012 年全国课标卷文 5 分)数列 ?a n ? 满足 a n ?1+(- n a n=2n- ,则 ?a n ? 的前 60 项和为【
(A)3690 【答案】D。 【考点】分类归纳(数字的变化类) ,数列。 (B)3660 (C)1845 (D)1830



1) 1 【解析】求出 ?a n ? 的通项:由 a n ?1+(- n a n=2n- 得,
当 n=1 时, a 2 ? 1 ? a1 ;当 n=2 时, a 3 ? 3 ? a 2 =2 ? a1 ;当 n=3 时, a 4 ? 5 ? a 3 =7 ? a1 ; 当 n=4 时, a 5 ? 7 ? a 4 =a1 ;当 n=5 时, a 6 ? 9 ? a 5 =9 ? a1 ;当 n=6 时, a 7 ? 11 ? a 6 =2 ? a1 ; 当 n=7 时, a 7 ? 13 ? a 6 =15 ? a1 ;当 n=8 时, a 8 ? 15 ? a 7 =a1 ;·· ·· ··

a 当 n=4m+1 时, 4m? 2 ? 8m ? 1 ? a1 ; n + 当 =2 4 m

a 时, 4m?2 ? 2 ? a1 ; n + 当 =3 4 m

a 时, 4m? 4 ? 8m ? 7 ? a1 ;

当 n=4m+4 时, a 4m?5 ? a1 ( m=0,1, 2, 。 ?????? ) ∵ a 4m ? a 4m?5 ? a1 , ∴ {a n } 的 四 项 之 和 为 a 4m?1 ? a 4m ? 2 ? a 4m ?3 ? a 4m ? 4 =a1 ? ?8m ? 1 ? a1 ? ? ? 2 ? a1 ? ? ?8m ? 7 ? a1 ? =16m ? 10 ( m=0,1, 2, 。 ?????? ) 设 bm ? a 4m?1 ? a 4m? 2 ? a 4m?3 ? a 4m? 4 =16m ? 10 ( m=0,1, 2, 。 ?????? ) 则 {a n } 的前 60 项和等于 {b m } 的前 15 项和,而 {b m } 是首项为 10,公差为 16 的等差数列,

∴ {a n } 的前 60 项和= {b m } 的前 15 项和=

10 ? ?16 ?14 ? 10 ? 2

?15 ? 1830 。故选 D。

例 3: (2012 年全国大纲卷文 5 分)6 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不 同的演讲次序共有【 A. 240 种 【答案】C。 【考点】排列组合的应用。
1 【解析】根据特殊元素优先的原则,选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,在其余 4 个次序演讲有 C4 种 1 5 组合,则其余 5 位选手进行全排列。因此,不同的演讲次序共有 C4 ? A5 ? 480 种。故选 C。

】 C.480 种 D.720 种

B.360 种

例 4: (2012 年北京市理 5 分)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位 数.其中奇数的个数为【 A. 24 【答案】B。 【考点】排列组合问题。 【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇。如果是第一种奇 偶奇的情况,可以从个位开始分析(3 种情况) ,之后十位(2 种情况) ,最后百位(2 种情况) ,共 12 种; 如果是第二种情况偶奇奇:个位(3 种情况) ,十位(2 种情况) ,百位(不能是 O ,一种倩况) ,共 6 种。 因此总共有 12 + 6 = 18 种情况。故选 B。 例 5: (2012 年重庆市理 5 分)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f' ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f' ( x) 的图 B. 18 】 C. 12 D. 6

像如题图所示,则下列结论中一定成立的是【 (A)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)



【答案】D。 【考点】函数在某点取得极值的条件,函数的图象。 【分析】由图象知, y ? (1 ? x) f' ( x) 与 x 轴有三个交点,-2,1,2, ∴ f' (?2)=0,f' (2)=0 。 由此得到 x , y , 1 ? x , f' ( x) 和 f ( x) 在 (??, ? ?) 上的情况:

x

(??, ?2)

-2

(?2,1)

1

(1, 2)

2

(2, ??)

y
1? x

+ +

0 +

- +

0 0

+ -

0 -

- -

f' ( x)



0







0



f ( x)



极大 值



非极 值



极小 值



∴ f ( x) 的极大值为 f (?2) , f ( x) 的极小值为 f (2) 。故选 D。 例 6: (2012 年浙江省理 5 分)若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则 不同的取法共有【 】

A.60 种 【答案】D。

B.63 种

C.65 种

D.66 种

【考点】分类讨论,计数原理的应用。 【解析】1,2,2,…,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其和为偶数,则 取法有: 4 个都是偶数:1 种;
2 2 2 个偶数,2 个奇数: C5 C4 ? 60 种;

4 4 个都是奇数: C5 ? 5 种。

∴不同的取法共有 66 种。故选 D。 例 7: (2012 年广东省理 5 分)从概率位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概 率是【 A. 】 B.

4 9

1 3

C.

2 9

D.

1 9

【答案】D。 【考点】分类讨论的思想,概率。 【解析】由题意知,个位数与十位数应该一奇一偶。 ①个位数为奇数,十位数为偶数共有 5× 5=25 个两位数; ②个位数为偶数,十位数为奇数共有 5× 4=20 个两位数。 两类共有 25+20=45 个数,其中个位数为 0,十位数为奇数的有 10,30,50,70,90 共 5 个数。 ∴概率位数为 0 的概率是

5 1 = 。故选 D。 45 9
2 2

例 8: (2012 年四川省理 5 分)方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,在 所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有【 A、60 条 【答案】B。 【考点】分类讨论的思想,抛物线的定义。
2 【解析】将方程 ay ? b x ? c 变形得 x ?
2 2

】 D、80 条

B、62 条

C、71 条

a c y ? 2 ,若表示抛物线,则 a ? 0, b ? 0 2 b b

∴分 b =-3,-2,1,2,3 五种情况:

?a ? ?2, c ? 0, 或1, 或2, 或3 ? ?a ? 1, c ? ?2, 或0, 或2, 或3 (1)若 b =-3, ? ; (2)若 b =3, ?a ? 2, c ? ?2, 或0, 或1, 或3 ?a ? 3,c ? ?2, 或0, 或1, 或2 ?
以上两种情况下有 9 条重复,故共有 16+7=23 条; 同理当 b =-2,或 2 时,共有 23 条; 综上,共有 23+23+16=62 条。故选 B。 当 b =1 时,共有 16 条。

?a ? ?2, c ? 0, 或1, 或2, 或3 ? ?a ? 1, c ? ?2, 或0, 或2, 或3 ? ?a ? 2, c ? ?2, 或0, 或1, 或3 ?a ? 3,c ? ?2, 或0, 或1, 或2 ?

例 9: (2012 年陕西省理 5 分) 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现 的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有【 A. 10 种 【答案】D。 【考点】排列、组合及简单计数问题,分类计数原理。 【解析】根据分类计数原理,所有可能情形可分为 3:0,3:1,3:2 三类,在每一类中可利用组合数公式计数, 最后三类求和即可得结果: 当比分为 3:0 时,共有 2 种情形; 当比分为 3:1 时,共有 C4 A2 = 8 种情形; 当比分为 3:2 时,共有 C5 A2 = 20 种情形。 总共有 2 + 8 + 20 = 30 种。故选 D。 例 10: (2012 年湖北省理 5 分)函数 f ? x ? =x cos x 在区间[0,4]上的零点个数为【
2



B.15 种

C. 20 种

D. 30 种

1

2

2

2



A.4 【答案】C。

B.5

C.6

D.7

【考点】函数的零点与方程,三角函数的周期性。
2 【解析】由 f ? x ? =x cos x =0 得 x =0 或 cos x =0 。
2

当 x =0 时, f ? 0 ? =0 ,∴ x =0 是函数 f ? x ? =x cos x 在区间[0,4]上的一个零点。
2

当 cos x =0 时,∵ 0<x ? 4 ,∴ 0<x ? 16 。
2 2

∵使余弦为零的角的弧度数为 k? +

?
2

,k ? Z ,∴令 k? + 2 , 2 ,

?
2 ,

? 16 。 2 , 2
均 满 足 条 件 , 当 k =5 时 ,

则 k =0,k =1,k =2,k =3,k =4 时 对 应 角 分 别 为

? 3? 5 ? 7 ? 9 ?
2

11? >16 不满足条件。 2
综上所述,函数 f ? x ? =x cos x 在区间[0,4]上的零点个数为 6 个。故选 C。
2

十、探索规律法:探索规律法的解题方法是直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、
归纳和判断,从而选出正确的结果。当遇到寻找规律的命题时,常用此法。 典型例题: 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例 1: (2012 年江西省理 5 分)观察下列各式:a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7, a ? b ? 11,?
2 2 3 3 4 4 5 5

则a ?b ? 【
10 10

】 B.76 C.123 D.199

A.28 【答案】C。

【考点】归纳推理的思想方法。 【解析】观察各等式的右边,它们分别为 1,3,4,7,11,…,发现从第 3 项开始,每一项就是它的前两 项之和,故等式的右边依次为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,故 a ? b ? 123 。故选 C。
10 10

例 2: (2012 年江西省文 5 分) 观察下列事实 x ? y ? 1 的不同整数解 x, y) 的个数为 4 , x ? y ? 2 的不 ( 同整数解 x, y) 的个数为 8, x ? y ? 3 的不同整数解 x, y) 的个数为 12 ….则 x ? y ? 20 的不同整数解 ( ( 的个数为【 (x, y) A.76 【答案】B。 【考点】归纳推理,等差数列的应用。 【解析】观察可得不同整数解的个数 4,8,12,…可以构成一个首项为 4,公差为 4 的等差数列,通项公 式为 an ? 4n ,则所求为第 20 项,所以 a20 ? 4 ? 20 ? 80 。故选 B。 nπ 例 3: (2012 年福建省文 5 分)数列{an}的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于【 2 A.1006 【答案】A。 【考点】规律探索题。 π 3π 【解析】寻找规律:a1=1cos =0,a2=2cosπ=-2,a3=3cos =0,a4=4cos2π=4; 2 2 B.2012 C.503 D.0 】 B.80 】 C.86 D.92

5π 7π 8π a5=5cos =0,a6=6cos3π=-6,a7=7cos =0,a8=8cos =8; 2 2 2 ·· ·· ··

9 ?? ∴该数列每四项的和 ak +ak +1 +ak +2 +ak +3 =2 k =1,5,, , 4r,r ? N ? 。
∵2012÷ 4=503,∴S2 012=2× 503=1006。故选 A。

?

?


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高考数学二轮增分策略:第2篇第1讲《选择题的解法技巧(含答案)

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第1讲 高考数学选择题的解题策略

第1讲 高考数学选择题解题策略 一、知识整合 1.高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现 以考查“三基”为重点的导向,...

高考数学专题讲座--第28讲:高频考点分析之选修系列探讨

【备战 2014 高考数学专题讲座】 第 28 讲:高频考点分析之选修系列探讨 1~2 讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8 讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12 ...

2013年中考数学复习专题讲座一:选择题解题方法(含答案)

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高考数学专题讲座--第14讲:高频考点分析之复数探讨

【备战 2014 高考数学专题讲座】 第 14 讲:高频考点分析之复数探讨 1~2 讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8 讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12 讲对...