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安徽省安庆一中、安师大附中、马鞍山二中2014届高三上学期12月联考 数学理试题 Word版含答案


三校 2014 届十二月联考
数学试卷(理科) 试题
满分 150 分,考试时间为 120 分钟 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. (1)已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d . 则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 (A)充分而不必要条件

(C)充要条件 (A)4 (B)-2 ( ).

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 w ( (C)0 (D)2 ).

(2)已知 f ( x) ? x2 ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(1) 等于

(3) 一支田径队有男运动员56 人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个 容量为28的样本,则样本中男运动员的人数为 (A)16 (B)14 (C)12 (D)10 ( ). (4)已知 {a n } 是等差数列,若 a1 ? a9 ? 10, a4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 (A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 3 ). ( ).

(5)已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ( x) ? a x 与函数 g ( x) ? ? logb x 的图象可能是 (

(6)动圆 M 过定点 A 且与定圆 O 相切,那么动圆 M 的圆心的轨迹是 (A)圆,或椭圆 (C)椭圆,或双曲线,或直线 (B)圆,或双曲线,



).

(D)圆,或椭圆,或双曲线,或直线

?x ? y ? 3 ? 0 ? (7)已知直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的取值范围 ?x ? m ?
是 (A) (??, ?1] ( (B) [?1, ??) (C) [2, ??) (D) (??,1] ).

(8)如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 120 ? ,点 C 在 ? AB uuu r uur uu u r 上,且 ?COB ? 30? ,若 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ? ? ? ? ( ).

(A) 3

(B)

3 3

(C)

4 3 3

(D) 2 3

(9)已知直线 3x ? y ? 2m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? n2 相切,其中 m, n ? N * ,且 n ? m ? 5 ,则 满足条件的有序实数对 (m, n) 共有的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( ).

(10)设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e x .若对任意的 x ? [a, a ? 1] ,不等 式 f ? x ? a? ? f (A) ?
2

? x ? 恒成立,则实数 a 的最大值是
(B) ?

( (D) 2

).

3 2

2 3

(C) ?

3 4

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1, 或x ? } , 则不等式 f (lg x) ? 0 的解集为 .

1 2

(12)如图,直角 VPOB 中, ?PBO ? 90? ,以 O 为圆心、 OB 为 半径作圆弧交 OP 于 A 点.若圆弧 ? AB 等分 VPOB 的面积, 且 ?AOB ? ? 弧度,则
2

tan ?

?
2

=
2

.

(13)在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是________.

[ ] ( 14 ) 设 [ x ] , y 分 别 表 示 不 大 于 x , y 的 最 大 整 数 , 如 [1.3] ? 1,[?0.3] ? ?1 . 则 集 合

S ? {( x, y) |[ x]2 ? [ y]2 ? 1} 表示的平面区域的面积为

.

(15) 对于平面直角坐标系内任意两点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 定义它们之间的一种“折线距离”: 则下列命题正确的是 d ( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | . 序号) ①若 A ? -1,3? , B ?1,0? ,则 d ( A, B) ? 5 ; ②若点 C 在线段 AB 上,则 d ( A, C ) ? d (C, B) ? d ( A, B) ; ③在 ?ABC 中,一定有 d ( A, C ) ? d (C, B) ? d ( A, B) ; ④若 A 为定点, B 为动点,且满足 d ( A, B) ? 1 ,则 B 点的轨迹是一个圆; ⑤若 A 为坐标原点, B 在直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上,则 d ( A, B) 最小值为 5 . .(写出所有正确命题的

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在 答题卡上的指定区域内. (16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos ( x ?
2

1 ) ? 1 , g ( x) ? sin 2 x . 12 2

?

(Ⅰ)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域.

(17) (本小题满分 12 分) 前不久,省社科院发布了 2013 年度“安徽城市居民幸福排行榜”,芜湖市成为本年度安徽最“幸 福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取 16 名, 如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一 位数字为茎,小数点后的一位数字为叶): (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度 为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (Ⅲ)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

(18) (本小题满分 12 分) 已知 a , b 是不相等的正常数,实数 x, y ? (0, ??) .

a 2 b2 (a ? b)2 (Ⅰ)求证: ,并指出等号成立的条件; ? ? x y x? y
(Ⅱ)求函数 f ( x) ?

2 1 1 ? , x ? (0, ) 的最小值,并指出此时 x 的值. x 1? 2x 2

(19) (本小题满分 12 分)

x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ), 直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 经过椭圆 C 的上顶点 B 和左焦 a b
点 F ,设椭圆右焦点为 F ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 P 是椭圆 C 上动点,求 | 4 ? (| PF ? | ? | PB |) | 的取值范围,并求取最小值时点 P 的坐标.

(20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? a ln x . (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)试问:对某个实数 m ,方程 f ( x) ? m ? cos 2x 在 x ? (0, ??) 上是否存在三个不相等的 实根?若存在,请求出实数 a 的范围;若不存在,请说明理由.

(21) (本小题满分 14 分)
2 设 n ? N ,圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn ( Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?
*

x 的交点

为 N ( , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) . (Ⅰ)用 n 表示 Rn 和 an ; (Ⅲ)设 Sn ?
n

1 n

(Ⅱ)求证: an ? an?1 ? 2 ;

n 7 S ? 2n 3 1 ? . , ,求证: ? n a T ? ? ? i n 5 Tn 2 i ?1 i ?1 i

理科数学参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 D 8 A 9 D 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. {x | 1 ? x ? 10} ; 10 12. 2 ; 13. (0, ? ] ;

3

14. 5;

15. ①②⑤.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定 区域内. (16) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)由题知 所以 2 x0

f ( x) ?

1 ? 1 cos(2 x ? ) ? ,因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, 2 6 2

?

?
6

? k? (k ? Z ) ,即 2 x0 ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

……………………3 分

故 g ( x0 ) ?

1 ? 1 1 1 ? sin 2 x0 ? sin(k? ? ) ,当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? sin(? ) ? ? , 2 6 4 2 2 6
2 6 4
……………………6 分

当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 sin ? ? 1 ; (Ⅱ)由题知 h( x)

? f ( x) ? g ( x) ?

1 ? 1 1 cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x 2 6 2 2

1 ? 1 1 3 1 1 1 ? 1 ? [cos(2 x ? ) ? sin 2 x] ? ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? ,……………10 分 2 6 2 2 2 2 2 2 3 2
所以 h( x) 的值域为 [?1, 0] . (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)众数:8.6;中位数:8.75 ; (Ⅱ)设 ……………………3 分

……………………12 分

Ai

表示所取 3 人中有

i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则
……………………7 分

P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?

3 1 2 C12 C4 C12 1 2 1 ; ? ? 3 3 140 C16 C16

(Ⅲ) ξ 的可能取值为0,1,2,3.高…考.资.源+网

高.考.资.源+网

27 ; 3 27 ; 1 1 3 2 P (? ? 1) ? C 3 ( ) ? P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

1 3 9 1 1 . ; P(? ? 3) ? ( ) 3 ? P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? 4 4 64 4 64

ξ 的分布列为: ξ
P

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

所以 E?

? 0?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64
所以 E? = 3 ?

……………………12分

另解: ξ 的可能取值为0,1,2,3.高..考.资., 则?

1 1 3 ~ B(3, ) , P (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k . 4 4 4

1 ? 0.75 . 4

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 a , b 是不相等的正常数,实数 x, y ? (0, ??) ,应用均值不等式,得:

(

ya 2 xb 2 a 2 b2 ya 2 xb2 ? )( x ? y) ? a 2 ? b2 ? ? ? a 2 ? b2 ? 2 ? x y x y x y
a 2 b2 (a ? b)2 ,………………………………………5 分 ? ? x y x? y
………………………………………………7 分

? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 ,即有
a b ya 2 xb 2 ,即 ? ? x y x y

当且仅当

时上式取等号;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

22 12 (2 ? 1)2 f ( x) ? ? ? ? 9, 2 x 1 ? 2 x 2 x ? (1 ? 2 x)

……………………10 分

当且仅当

1 2 1 ? ,即 x ? 时上式取最小值,即 f ( x)min ? 9 . 3 2x 1? 2x
1) , F (? 3 , 0) ,
所以 b

………………12 分

(19) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)依题意, B(0 ,

? 1 , c ? 3 , a ? b2 ? c2 ? 2 ,

…………3 分

所以椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

……………………5 分

(Ⅱ)由椭圆定义知 | PF

|? 4? | PF ? | ,则 | 4 ? (| PF ? | ? | PB |) |?|| PF | ? | PB || ,

………7 分

而 0 ?|| PF | ? | PB ||?| BF | ,当且仅当 | PF |?| PB | 时, || PF | ? | PB ||? 0 ,
当且仅当 P 是直线 BF 与椭圆 C 的交点时,

|| PF | ? | PB ||?| BF | =2, 2] .
, 由? …………………………9 分

所以 | 4 ? (| PF ? | ? | PB |) | 的取值范围是 [0 , 设 P(m ,

n) ,由 | PF |?| PB | 得 3m ? n ? 1 ? 0

?m2 ? n2 ? 1 , ? 4 ? 3m ? n ? 1 ? 0 ?
. ………………………12 分

8 3 ?m ? 0 ? m?? 解得 ? 或? ? 13 ?n ? ?1 ? 11 ?n ? ? 13 ?

,所求 P(0 ,

? 1) 和 P(? 8 3 , 11)
13 13

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (0, ??) ,由已知得

f ' ( x) ? 4 x ?

4 4( x 2 ? 1) , ? x x

………………………2 分

则当 0 ? 当x

x ? 1 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,

? 1 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数,

故函数

f ( x) 的极小值为 f (1) ? 2 .

……………………………………………5 分

(Ⅱ)假设方程 设 F ( x) ? 2 x 则F
'

f ( x) ? m ? cos 2 x 在 x ? (0, ??) 上存在三个不相等的实根,

2

? a ln x ? cos 2x ? m ,由于 F ( x) 在 x ? (0, ??) 上图象连续不断,
a ? 2sin 2 x( x ? 0) 有两个不同的零点. x
………………………8 分

( x) ? 4 x ?
2

即 a ? 4x
'

? 2x sin 2x( x ? 0) 有两个不同的解,设 G( x) ? 4x2 ? 2x sin 2x( x ? 0) ,

则 G ( x) ? 8x ? 2sin 2 x ? 4 x cos 2 x ? 2(2 x ? sin 2 x) ? 4 x(1 ? cos 2 x) , 设 h( x) ? 2 x ? sin 2 x ,则 h ( x) ? 2 ? 2cos 2 x ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
'

则当 x

? 0 时 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 2 x ? sin 2 x ,

…………………………………11 分

又 1 ? cos 2 x 则 a ? 4x
2

? 0 ,则 G' ( x) ? 0 故 G ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,

? 2x sin 2x( x ? 0) 至多只有一个解,
………………………13 分

故不存在. (21) (本小题满分 14 分)

1 1 ), y ? x 上可得 N ( , n n 1 2 1 n ?1 n ?1 2 又点在圆 Cn 上,则 Rn ? ( ) ? ? , , Rn ? 2 n n n n
解:(Ⅰ)由点 N 在曲线 从而 MN 的方程为

……………………2 分

x y ? ?1, an Rn

由点 N (

1 1 1 1 ? ? 1, , ) 在 MN 上得: nan n n n ? Rn
. ……………………5 分

将 Rn

?

1 1 n ?1 代入化简得: an ? 1 ? ? 1 ? n n n

(Ⅱ) ?1 ? 1 ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,??n ? N * , an

n

n

1 1 ? 1? ? 1? ? 2 n n ,

………………7 分

又?1 ?

1 1 1 1 ,? a ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? a , ? 1? , 1? ? 1? n n ?1 n n ?1 n n ?1 n n n ?1 n ?1
……………………9 分

所以

an ? an?1 ? 2 ;
x ? 1 时, 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

(Ⅲ)先证:当 0 ?

x . 2

不等式 1 ? (

2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?
2 2

x x ? [1 ? ( 2 ? 1) x]2 ? 1 ? x ? (1 ? ) 2 2 2

x2 x2 2 2 ? 1 ? 2( 2 ? 1) x ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? (2 2 ? 3) x ? ( 2 ? 1) x ? 0 ? 4 4
后一个不等式显然成立,而前一个不等式 ? 故当 0 ?

x 2 ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1.
x 成立. 2
……………………12 分

x ? 1 时,

不等式 1 ? (

2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

1 1 1 , ?1 ? ( 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 ? n n 2n 1 1 1 3 (等号仅在 n ? 1 时成立) ? 2 ? 2 ? ? an ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? n n n 2n
求和得:

3 2n ? 2 ? Tn ? S n ? 2n ? ? Tn 2
……………………14 分

S ? 2n 3 7 ? ? 2? n ? . 5 Tn 2


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