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2015届高考调研文科9-7

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 7 课时

双 曲 线 (一)

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1.掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定 系数法求双曲线方程. 2.掌握双曲线的几何性质. 3.了解双曲线的一些实际应用.

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请注意!

除与椭圆有类同的重点及考点之外, 在高考中还经常考查双 曲线独有的性质渐近线,以双曲线为载体考查方程、性质,也是 高考命题的热点.

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1.双曲线的定义 平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值 等于常数

2a(2a<|F1F2|)

的点的轨迹叫做双曲线.

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2.双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)
标准 方程 图 形 x2 y2 0 ) a2-b2=1(a>0,b> y2 x2 0 ) a2-b2=1(a>0,b>

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高考调研 焦点 焦距 范围 对称性

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F1(-c,0),F2(c,0)
|F1F2|=2c |x|≥a,y∈R

F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2+b2 |y|≥a,x∈R

性 质

关于x轴、y轴和原点对称 (-a,0),(a,0)
c e=a(e>1) x y b a± b=0(或 y=± ax)
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顶点 轴 离心率 渐近线

(0,-a),(0,a)

实轴长2a,虚轴长2b

x y a b± a=0(或 y=± b x)
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3.归 纳 拓 展 1 ( ) 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 时 , 若 不 知 道 焦 点 的 位 置 , 可 直 接 设 曲 线 的 方 程 为 Ax2+By2=1 ( AB< 0 ) .

2 ( ) 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个 焦 点 、 两 个 顶 点 、 两 个 虚 轴 的 端 点 条 渐 近 线 ),“两 三 角 形 ),“四 线 ”(两 条 对 称 轴 、 两 ”(中 心 、 焦 点 以 及 虚 轴 端 点 构 成 的 三 角 )研 究 它 们 之 间 的 相 互

形 , 双 曲 线 上 一 点 和 两 端 点 构 成 的 三 角 形 关 系 .

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3 ( ) 与 双 曲 线 y2 -b2=λ(λ≠0 ). 4 ( ) 与 双 曲 线

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x2 y2 ( a>0, b> 0 ) 共 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 为 a2-b2=1

x2 a2

x2 y2 ( a>0,b> 0 ) 共 焦 点 的 圆 锥 曲 线 方 程 为 a2 -b2=1

x2 y2 2 2 - = 1 ( λ < a , 且 λ ≠- b ). 2 2 a -λ b +λ x2 y2 y2 x2 5 ( ) a2-b2=1 ( a>0, b> 0 ) 与b2-a2=1 ( a>0, b> 0 ) 互 为 共 轭 双 曲 线 ,有 相 同 的 渐 近 线 、 相 等 的 焦 距 .

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2 2 c - a b 6 ( ) 双曲线形状与 e 的关系: k = a = a =

c2 a2-1 =

e2-1,e 越 大 , 即 渐 近 线 的 斜 率 的 绝 对 值 就 越 大 , 这 时 双 曲 线 的 形 状 就 从 扁 狭 逐 渐 变 得 开 阔 , 即 双 曲 线 的 离 心 率 越 大 , 它 的 开 口 就 越 阔 . 7 ( ) 焦 点 三 角 形 =θ,b 为 虚 半 轴 长 θ △PF1F2 的面积:S△PF1F2=b c o · t 2(∠F1PF2
2

).

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1.(课本习题改编)若双曲线方程为 x2-2y2=1, 则 它 的 右 焦 点坐标为________.

6 答案 ( 2 ,0)

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2.2 ( 0 1 4 ·

长 沙 调 研

x2 y2 )设双曲线a2- 9 =1(a> 0 ) 的 渐 近 线 方 程 为

3x± 2y=0,则 a 的值为________.
答案 2

3 解析 渐近线方程可化为 y=± 2.∵双曲线的焦点在 x 轴上, 9 32 ∴a2=(± 2 . 由题意知 a>0,∴a=2. 2) ,解得 a=±

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3.2 ( 0 1 3 · ________.
答案 9

x 2 y2 5 陕西)双 曲 线 16-m =1 的离心率为4,则 m 等于

c 5 解析 由双曲线方程知 a=4.又 e=a=4, 解 得 m=25,m=9.

c=5.故 16+

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2 y 4.设 F1,F2 是双曲线 x2-24=1 的两个焦点,P 是双曲线

上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|=_ _ _ _ _ _ _ .
答案 8
? ?3|PF1|=4|PF2|, ? ? ?|PF1|-|PF2|=2×1,

解析 =8.

依 题 意 有

解得|PF2|=6,|PF1|

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x2 y2 5.已知曲线方程 - =1,若方程表示双曲线,则 λ λ+2 λ+1 的取值范围是________.
答案 λ<-2 或 λ>-1

解析 1 > ) 0 , 解 得

x2 y2 ∵方程 - =1 表 示 双 曲 线 , λ+2 λ+1 λ<-2 或 λ>-1.

∴ (λ + 2 ( ) λ+

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例1 1 ( ) 在△ABC 中,B0 4 ) ( ,

,C(-4,0),动点 A 满 足 条 件

1 n i s B-n i s C=2n i s A 时,求点 A 的轨迹方程.

【解析】 设 A 的坐标为(x,y),在△ABC 中 , 由 正 弦 定 理 , 得n 接 圆 的 半 径 i s A=n i s B=n i s C=2R(其中 R 为△ABC 外 a b c ), 代 入

1 |AC| |AB| 1|BC| n i s B-n i s C=2n i s A,得 2R - 2R =2 2R .又∵|BC|=8,∴|AC|- |AB|=4, 因 此 A 的轨迹为以 B、C 为焦点的双曲线的右支(除去

右顶点),且 2a=4,2c=8,即 a=2,c=4,b2=c2-a2=12.
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x2 y2 所以所求 A 点的轨迹方程为 4 -12=1(x> 2 ) . x 2 y2 【答案】 4 -12=1(x> 2 )

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2 ( ) 设 F1、F2 为 曲 线 -y2=1 与 曲 线 为( ) 1 A.4 2 C.3 1 B.3 1 D. -3

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x2 y2 C1: 6 + 2 =1 的 焦 点 ,

P是 曲 线

x2 C2: 3

C1 的 一 个 交 点 , 则 向 量

→ 与PF →的 PF 角 的 余 弦 值 1 2 夹

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【 解 析 】 则 不 妨 设

C1、C2 共 焦 点 |PF1> | PF2|,有

F1(-0 2 ) ,

,F20 2 ) ( ,

, 由 对 称 性

? ?|PF1|+|PF2|=2 ? ? ?|PF1|-|PF2|=2

? 6, ?|PF1|= 6+ 3, ?? ? 3 ?|PF2|= 6- 3.

由 余 弦 定 理 , 得
【答案】 B

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 c o s θ= =3. 2 | PF1|| PF2|

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探究 1 容易用错双曲线的定义, 将点 M 的轨迹误认为是整 条 双 曲 线 , 从 而 得 出 方 程 后 没 有 限 制 条 件 , 故 在 使 用 圆 锥 曲 线 定 义求动点的轨迹方 程 时 , 一 定 要 注 意 定 义 中 的 限 制 条 件 , 同 时 要 结合具体问题的实际背景,对所要解决的问题做合理的限制.

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思考题 1 1 ( ) 已知两圆 C1:(x+4 ) 2+y2=2,C2:(x-4 ) +y2=2, 动 圆 方 程 是 ( ) x2 y 2 B. 2 -1 ( x≥ 2) 4 =1 x2 y 2 D. 2 -1 4 =1 或 x = 0 M与 两 圆 C1、C2 都 相 切 , 则 动 圆 圆 心 M的 轨 迹

2

A.x=0 x2 y2 C. 2 -1 4 =1

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【 解 析 】 如 右 图 , 动 圆 M与 两 圆

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C1、C2 都 相 切 , 有 四 种 ③

情 况 : ①动 圆 M与 两 圆 都 相 外 切 ; 动 圆 M与 圆 C1 外 切 、 与 圆 圆 C2 外 切 . 在

②动 圆 M与 两 圆 都 内 切 ;

C2 内 切 ; ④动 圆 M与 圆 C1 内 切 、 与 M的 轨 迹 方 程 为 x

① ②情 况 下 , 显 然 , 动 圆 圆 心 M的 半 径 为

=0; 在③的 情 况 下 , 设 动 圆 =r- 2.

r, 则|MC1|=r+ 2, |MC2|

故 得 |MC1|-|MC2|=2 2; 在④的 情 况 下 , 同 理 得 |MC2|-|MC1|=2 2.

由③ ④ 得|MC1|-|MC2|=± 2 2.
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根据双曲线定义,可知点 M 的轨迹是以 C1(-4,0)、C20 4 ) ( , 为焦点的双曲线,且 a= 2,c=4,b2=c2-a2=14, 其 方 程 为 y2 -14=1.由①②③④可知,选择 D.
【答案】 D

x2 2

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2 ( ) 2 ( 0 1 3 · 的 两 个 焦 点 , 最 小 内 角 为 湖南)设 F1,F2 是 双 曲 线 P是C上 一 点 . 若 3 0 ° , 则 C的 离 心 率 为

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x2 y2 C:a2-b2=1 ( a>0,b> 0 )

|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的 _ _ _ _ _ _ _ _ .

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【 解 析 】 不 妨 设 |PF1> | PF2|, 由

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? ?|PF1|+|PF2|=6a, ? ? ?|PF1|-|PF2|=2a,

可 得

? ?|PF1|=4a, ? ? ?|PF2|=2a.

∵2a<2c,∴ ∠ PF1F2=3 0 ° . ∴c o 3 s 0 ° ?2c?2+?4a?2-?2a?2 = . 2×2c×4a

整 理 得 , c2+3a2-2 3a c =0, 即 e2-2 3e+3=0, ∴e= 3.
【答案】 3

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例2

根 据 下 列 条 件 , 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 . x2-4y2=4 有 共 同 渐 近 线 且 经 过 点 1 y=± 焦距 为 1 0; 2x, P(-2 3 , 7)和 Q(-6 2, -7 ); 2,且 2 ) ( , ;

1 ( ) 与 已 知 双 曲 线 2 ( ) 渐 近 线 方 程 为 3 ( ) 经 过 两 点

4 ( ) 双 曲 线 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 坐 标 轴 上 , 离 心 率 为 过 点 (4, - 1 0 ).

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高考调研 【 解 析 】
上 述 方 程 , 得

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1 ( ) 设 所 求 双 曲 线 方 程 为 22-2 4 · 2=λ,∴λ=-1 2 . y2 x2 . 3 -1 2 =1 x2 2 4 -y =λ,

x2-4y2=λ,将2 ) ( ,

代 入

∴所 求 双 曲 线 方 程 为 2 ( ) 设 所 求 双 曲 线 方 程 为

当 λ>0 时 , 双 曲 线 标 准 方 程 为 ∴c= 5λ.∴ 5λ=5,λ=5; 当 λ<0 时 , 双 曲 线 标 准 方 程 为

x2 y2 4λ- λ =1,

y2 x2 - =1, -λ -4λ

∴c= -5λ.∴ -5λ=5,λ= - 5;
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∴所 求 双 曲 线 方 程 为 3 ( ) 设 双 曲 线 方 程 为

x2 y2 y 2 x2 . 2 0 - 5 =1 或 5 -2 0 =1 mx2-n y 2=( 1 . m,n> 0 )

1 ? -7 ? ?m= 8 n=1, 5, ?9m-2 ∴? 解 之 得 ? ? 1 2 m-4 9 n=1, ?7 ?n= -2 5. ? ∴双 曲 线 方 程 为 y2 x2 . 2 5 -7 5 =1

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4 ( ) 依 题 意 ,

x2 y2 e= 2?a=b.设方程为 a - a =1,

16 10 x2 y2 则 a - a =1,解得 a=6.∴ 6 - 6 =1.

y2 x2 x2 y 2 y2 x2 y2 【答案】 1 ( ) 3 -12=1 2 ( ) 20- 5 =1 或 5 -20=1 3 ( ) 25 x2 x2 y2 -75=1 4 ( ) 6 - 6 =1

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探 究 2

求 双 曲 线 的 标 准 方 程 的 方 法 :

1 ( ) 定 义 法 : 由 题 目 条 件 判 断 出 动 点 轨 迹 是 双 曲 线 , 由 双 曲 线 定 义 , 确 定 2a、2b 或 2c,从而 求 出 a2、b2, 写 出 双 曲 线 方 程 . y轴 , 设 出 标 准 方 程 , ”, 如 果 焦 点 位

2 ( ) 待 定 系 数 法 : 先 确 定 焦 点 在 再 由 条 件 确 定 a2、b2 的 值 , 即

x轴 还 是 “先 定 型 , 再 定 量

置 不 好 确 定 , 可 将 双 曲 线 方 程 设 为 求λ的 值 .

x2 y2 ), 再 根 据 条 件 m2-n2=λ(λ≠0

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注意:①双 曲 线 与 椭 圆 标 准 方 程 均 可 记 为 1 ( mn≠0 ), 其 中

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mx2 + n y 2= mn<0 时 表

m>0 且 n>0, 且 m≠n 时 表 示 椭 圆 ;

示 双 曲 线 , 合 理 使 用 这 种 形 式 可 避 免 讨 论 . ②常 见 双 曲 线 设 法 : ( ⅰ) 已 知 a=b 的 双 曲 线 设 为 ( ⅱ) 已 知 过 两 点 的 双 曲 线 可 设 为 ( ⅲ) 已 知 离 心 率 为 x2-y2=λ(λ≠0 ); Ax2-By2=1 ( AB> 0 ) ;

e的 双 曲 线 方 程 可 设 为

x2 y2 y2 x2 a2-?e2-1?a2=1 或a2-?e2-1?a2=1; ( ⅳ) 已 知 渐 近 线 x y 双 曲 线 方 程 可 设 为 m± n=0 的

x 2 y2 ). m2-n2=λ(λ≠0
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思 考 题 焦 点 为 F0 3 ) ( ,

2 1 ( ) 2 ( 0 1 3 · , 离 心 率 等 于

广东)已 知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 3 则 C的 方 程 是 2, x2 y 2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 2 - =1 5 ( )

C 的右

x2 y2 A. 4 - =1 5 x2 y2 C. 2 - 5 =1

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【解析】 由曲线 C 的右焦点为 F0 3 ) ( ,

,知 c=3.

3 c 3 由离心率 e=2,知a=2,则 a=2,故 b2=c2-a2=9-4=5. x2 y2 所以双曲线 C 的方程为 4 - 5 =1. 【答案】 B

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2 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

天津)已 知 双 曲 线

x2 y2 C1:a2-b2=1(a>0,b> 0 ) 与 双 曲

x2 y2 线 C2: 4 -16=1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0), 则 a=________,b=________.
【解析】 x2 y 2 b 双曲线 4 -16=1 的渐近线为 y=± 2x,则a=2, a=1,b=2.

即 b=2a,又 c= 5,a2+b2=c2, 所 以
【答案】 1 2

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例3 1 ( ) 2 ( 0 1 3 · 其 渐 近 线 方 程 为 A.y=± 2x 1 C.y=± 2x (

北 京 )若 双 曲 线 )

x2 y2 离 心 率 为 a2-b2=1 的

3, 则

B.y=± 2x 2 D.y=± 2 x

【解析】

由离心率为 3,可知 c= 3a,∴b= 2a.

b ∴渐近线方程为 y=± ax=± 2x,故选 B.
【答案】 B
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2 ( ) 2 ( 0 1 3 · C2 的 公 共 焦 点 , 四 边 形 浙江)如 图 , F1,F2 是 椭 圆 A, B分 别 是

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x2 2 C1: 4 +y =1 与双曲线

C1, C2 在 第 二 、 四 象 限 的 公 共 点 . 若 C2 的 离 心 率 是 _ _ _ _ _ _ _ _ .

AF1BF2 为 矩 形 , 则

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【 解 析 】 又 因 为 四 边 形

椭 圆 C1 中 , |AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2 3. AF1BF2 为 矩 形 , 所 以 ∠F1AF2=9 0 ° .

所 以 |AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2. 所 以 |AF1|=2- 2,|AF2|=2+ 2. 所 以 在 双 曲 线 C2 中 , 2c=2 3,2a=|AF2|-|AF1|=2 2.

3 6 c 故 e=a= = 2 . 2

【答案】

6 2

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探 究 3 1 ( ) 求 双 曲 线 离 心 率 或 离 心 率 范 围 的 有 两 种 : 一 种 是 直 接 建 立 e的 关 系 式 求 e或e的 范 围 ; 另 一 种 是 建 立 a、b、c 的 a 或 a2 化为 e 的

齐 次 关 系 式 , 将 关 系 式 , 进 而 求 解 .

b 用 a、c 表 示 , 令 两 边 同 除 以

2 ( ) 渐 近 线 的 求 法 : 求 双 曲 线 方 法 是 令

x2 y2 ( a>0, b> 0 ) 的 渐 近 线 的 a2-b2=1 x y b a± b=0 或 y=± ax.

x2 y2 即 得 两 渐 近 线 方 程 a2-b2=0,

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思考题 3 1 ( ) 2 ( 0 1 3 · 线的距离等于________.

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x2 2 福建)双曲线 4 -y =1 的顶点到其渐近

x2 2 【解析】 双曲线 4 -y =1 的顶点为± ( 0 2 ) ,

, 渐 近 线 方 程 为

1 y=± 2x,即 x-2y=0 和 x+2y=0.故其顶点到渐近线的距离 d= ± 2 | 2 2 = =5 5. 5 1+4
2 5 【答案】 5

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2 ( ) 设 双 曲 线 x2 y2 0 ( < a2-b2=1

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a<b)的 半 焦 距 为 l的 距 离 为

c, 直 线

l 过(a ,0 )、

(0,b)两 点 , 已 知 原 点 到 直 线 为( ) A.2 C. 2

3 则 双 曲 线 的 离 心 率 4 c,

B. 3 2 3 D. 3

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【解析】 直角三角形斜边为 c, 3 ab 斜边上的高为 c = 4 c,4ab= 3c2. a 1 结合 0<a<b 得b= .∴e=2. 3
【答案】 A

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双 曲 线 类 型 问 题 与 椭 圆 类 型 问 题 类 似 , 因 而 研 究 方 法 也 有 许 多 类 似 之 处 , 如 系 数 法 求 曲 线 方 程 “利 用 定 义 ”,“方 程 观 点 ”,“直 接 法 或 待 定

”,“数 形 结 合

”等 . 但 双 曲 线 多 了 渐 近 线 ,

问 题 变 得 略 为 复 杂 和 丰 富 多 彩 . 复 习 中 要 注 意 如 下 两 个 问 题 : 1 ( ) 已 知 双 曲 线 方 程 , 求 出 它 的 渐 近 线 方 程 ; 2 ( ) 求 已 知 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 ; 已 知 渐 近 线 方 程 为 0 时 , 可 设 双 曲 线 方 程 为 a x± b y=

a2x2-b2y2=λ(λ≠0 ), 再 利 用 其 他 条 件

确 定 λ的 值 , 此 方 法 的 实 质 是 待 定 系 数 法 .
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1. 已 知 平 面 内 有 一 条 线 段

AB, 其 长 度 为

4, 动 点 ( )

P 满足|PA|

-|PB|=3,O 为 AB 的中点,则|OP|的 最 小 值 为 A.1 C.2
答案 B

3 B.2 D.3
以 AB 中点为原点,中垂线为 y 轴建立直角坐标系,

解析

P 点的轨迹为双曲线 c=2,a=1.5,∴|OP|n m i =a=1.5.

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2.2 ( 0 1 y2 π 3 ·湖北)已 知 0 < θ<4, 则 双 曲 线
2

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C1:c o s

x2

2

θ-n i s

y2

2

θ=1

x2 与 C2:n i s 2θ-n i s 2θa n t A. 实 轴 长 相 等 C. 焦 距 相 等
答案 D

θ=1 的(

) B. 虚 轴 长 相 等 D. 离 心 率 相 等

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解 析 c2 1=1; 对 于 双 曲 线 x2 C2 :n i s 2θ -n i s 2θa n t y2
2

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对 于 双 曲 线

C1: c o s

x2

2

θ-n i s

y2

2

2 = 1 , a o s 1=c θ

2

θ, b2 i s 1=n

2

θ,

2 = 1 , a i s 2 =n θ

2

θ,b2 2=
2

n i s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n i s θa n t θ, c2=n i s θ+n i s θa n t θ=n i s θ(1+a n t θ)=n i s θ(1+c o s n i s =c o s
2

θ 2 ) θ

θ t 2 =a θ n

2

θ. π 2 2 2 2 2 θ=kπ+4(k∈Z)时 , a2 1=a2或 b1=b2或 c1=c2,

∵只 有 当

π 而0 < θ<4,∴排 除 A B C .
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设双曲线 C1,C2 的离心率分别为 e1,e2,则 a n t n i s θ 1 2 = θ c o s 2θ. 故 e1=e2, 即 两 双 曲 线的离心率相等.
2

e2 1=

1

c o s

2

2 , e θ 2=

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2 y 3.设 P 为双曲线 x2-12=1 上的一点,F1、F2 是该双曲线

的左、右焦点,若△PF1F2 的面积为 12,则∠F1PF2=________.

π 答案 2

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解 析

由 题 可 知 ,

F1(- 1 3 ,0 ) ,F2( 1 3 ,0 ) ,|F1F2|=2 1 3.
2 1 1 2 2 × 2 1 3 | y | = 1 2 , 故 y 0 0= 2 1 3 ,

设 P(x0,y0), 则 △PF1F2 的 面 积 为 将P点 坐 标 代 入 双 曲 线 方 程 得

2 5 2 x0 =

不 妨 设 点 1 3,

5 1 3 1 2 1 3 P( 1 3 ,1 3 ),

-1 8 1 3 -1 2 1 3 -1 2 1 3 8 1 3 → → 则 PF1 = ( 1 , 1 ) , PF2 = ( 1 ) ,可得 3 3 3 , 1 3 π → → PF1· PF2=0, 即 PF1⊥PF2, 故 ∠F1PF2=2.

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x2 y2 4.P 是双曲线a2-b2=1 ( a>0,b> 0 ) 的右支上一点,F1,F2 分 别 为 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 , 焦 距 为 圆 心 横 坐 标 为 A. -a C. -c
答案 B

2c,则△PF1F2 的 内 切 圆 的

(

) B.a D.c

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解 析 由 切 线 性 质 , 得 如 图 所 示 , 内 切 圆 与 三 条 边 的 切 点 分 别 为

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A、B、C,

|F1C|=|F1A|,|PC|=|PB|,|F2A|=|F2B|.

由 双 曲 线 定 义 知 ,

|PF1|-|PF2|=2a,

即(|PC|+|CF1)| -(|PB|+|BF2|)=2a. ∴|CF1|-|BF2|=2a 即|F1A|-|F2A|=2a. ∵|F1A|+|F2A|=2c,∴|F1A|=a+c.∴A(a ,0 ). 故 选 B.

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5.2 ( 0 1 4 ·

兰 州 高 三 诊 断

x2 y2 )双曲线a2-b2=1(a>0,b> 0 ) 一 条 渐

2 a +e π 近线的倾斜角为3,离心率为 e,则 b 的最小值为________.

2 6 答案 3 解 析 由 题 意 , 可 得

π b k=a=a n t 3= 3. b2 1+a2=2 .

2 b ∴b= 3a, 则 a2= 3 ,∴e=

b2 a2+e 3 +2 b 2 ∴ b = b =3+b≥2 当 且 仅 当

b 2 2 6 3×b= 3 .

b2=6,a2=2 时 取 “=”.
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课时作业(五十七)

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