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随机变量及其分布列复习课


知识整合 1.熟记离散型随机变量的概念与分布列的性质.设离散 型随机变量 X 的分布列为: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则①pi≥0,i=1,2,?,n; ②p1+p2+?+pi+?+pn=1.

2.二点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 q

,其

中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参 数为 p 的二点分布,期望 E(X)=p,方差 D(X)=p· (1-p).

3.超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其
m n-m CM CN-M 中恰有件 X 次品,X 取值为 m 时的概率为 P(X=m)= Cn N

(0≤m≤l,l 为 n 和 M 中较小的一个).我们称离散型随机变量 nM X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布.期望 E(X)= N .

4.条件概率 在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率 P(B|A)= P?AB? . P?A? 5.如果事件 A,B 中一个是否发生对另一个发生的概率 没有影响,则称 A、B 相互独立,此时 P(AB)=P(A)· P(B).

6.独立重复试验与二项分布 一般地,如果在一次试验中事件 A 发生的概率是 p,那么 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)
k n k =Ck p (1 - p ) (k=0,1,2,?,n).称事件 A 发生的次数 X 服 n


从参数为 n、p 的二项分布. 若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p).

7.离散型随机变量的数字特征 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则 E(X) = x1p1 + x2p2 +?+ xipi +?+ xnpn , D(X) = (x1 - E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+?+(xn-E(X))2pn.

8.正态分布 数学期望为 μ,标准差为 σ 的正态随机变量概率密度函数 1 为 f(x)= 2πσ ,x∈R.

(1)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 ③曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1;

⑤当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移,如图① 所示;⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越小,曲线越 “瘦高”,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖”, 表示总体的分布越分散,如图②所示.

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 正态变量在区间(-μ-σ,μ+σ)内取值的概率为 68.3%; 正态变量在区间(-μ-2σ, μ+2σ)内取值的概率为 95.4%; 正态变量在区间(-μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率为 99.7%. 9.期望方差的性质 E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X).

举例应用

离散型随机变量的分布列、期望与方差
一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先 从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数 记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为 优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中 任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他 情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品 1 率为 50%, 即取出的产品是优质品的概率都为2, 且各件产品 是否为优质品相互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元, 且抽取的每件产品都 需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位: 元),求 X 的分布列及数学期望.

[解析]

(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为

事件 A,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 C,第二次 取出的 4 件产品都是优质品为事件 B,第二次取出的 1 件产品 是优质品为事件 D,这批产品通过检验为事件 E,依题意有 E =(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥, ∴ P(E) = P(AB) + P(CD) = P(A)P(B|A) + P(C)P(D|C) = C 3 4 13 1 14 14 1 3 ( ) × ×( ) +( ) × = . 2 2 2 2 2 64

(2)由题意知,需检验产品的件数分别为 4 件(n≤2),5 件 (n=4),8 件(n=3),故 X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X 1 1 4 11 3 1 3 =400)=1-C4( ) × -( ) = ,P(X=500)= 2 2 2 16 1 1 3 1 3 =C4( ) × = , 2 2 4 ∴X 的分布列为 X P 400 11 16 500 1 16 800 1 4 1 16,P(X=800)

11 1 1 E(X)=400× +500× +800× =506.25. 16 16 4

经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根 据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品. 以 X(单位: t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量, T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率;

(3)在直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表该 组的各个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中 点值的概率(例如:需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X =105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率). 求 T 的数学期 望.

[解析]

(1)当 X=[100,130)时,

T=500X-300(130-X) =800X-39000. 当 X∈[130,150]时, T=500×130=65000. 所以
? ?800X-39000,100≤X<130, T=? ? ?65000,130≤X≤150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一 个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T P 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4

所 以 E(T) = 45000×0.1 + 53000×0.2 + 61000×0.3 + 65000×0.4=59400.

[方法规律总结] 1.求复杂事件的概率的一般步骤: 1° 列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示; 2° 理清各事件之间的关系,列出关系式; 3° 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.

2.直接计算符合条件的事件的概率较繁时,可先间接地 计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 3.要准确理解随机变量取值的意义,准确把握每一个事 件所包含的基本事件,然后依据类型代入概率公式进行计算. 4.概率与统计知识结合的问题,先依据统计知识明确条 件,求出有关统计的结论,再将所求问题简化为纯概率及其分 布的问题,依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解.

独立重复试验与二项分布
为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员 学生的体身素质,学校对他们的体重进行了测量,将所得的 数据整理后,画出了频率分布直方图 (如图),已知图中从左 到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小组的 频数为 12.

(1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据, 若从全 省报考飞行员的学生中(人数很多)任选 3 人,设 X 表示体重超 过 60kg 的学生人数,求 X 的分布列和数学期望. [分析] 先由频率直方图中前三组频率的比及第 2 小组频

数及频率分布直方图的性质求出 n 的值和任取一个报考学生 体重超过 60kg 的概率.再由从报考飞行员的学生中任选 3 人 知,这是三次独立重复试验,故 X 服从二项分布.

[解析]

(1)设报考飞行员的人数为 n,前 3 个小组的频率

分别为 p1,p2,p3,则由条件可得: ?p2=2p1, ? ?p3=3p1, ?p +p +p +?0.037+0.013?×5=1. ? 1 2 3 =0.25,p3=0.375. 12 又因为 p2=0.25= n ,故 n=48.

解得 p1=0.125,p2

(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过 60kg 的概率为 5 P=p3+(0.037+0.013)×5=8, 5 k 5 k 3 3-k 由题意知 X 服从二项分布 B(3, ), P(x=k)=C3( ) ( ) (k 8 8 8 =0,1,2,3),

所以随机变量 X 的分布列为 X P 0 27 512 1 135 512 2 225 512 3 125 512

27 135 225 125 15 E(X)=0×512+1×512+2×512+3×512= 8 .

目前全世界都使用体重指数 (BMI) 来衡量一个人胖或不 胖,计算的方法是:BMI=体重(kg)除以身高(m)的平方,世界 卫生组织拟定的标准是:BMI 在 18.5-24.9 时属正常范围, BMI 大于 25 为超重,BMI 大于 30 为肥胖,在某所高中随机 抽取 16 名学生,测得身高、体重、BMI 值如下表:表中身高 单位为 cm,体重单位为 kg.

身高 体重 BMI 身高 体重 BMI

166 169 170 166 180 175 177 176 65 70 70 70 98 93 90 75

23.6 24.5 24.2 25.4 30.2 30.4 28.7 24.2 174 182 181 168 169 185 181 179 85 91 95 29 69 69 85 25 99 97

28.1 27.5

24.4 24.2

30.2 30.3

(1)若从这 16 人中随机选取 4 人,求至多有一人是肥胖的 概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计这所高中学校的整体数 据,若从该校任选 4 人,ξ 表示抽到肥胖学生的人数,求 ξ 的 分布列及数学期望.

[解析]

(1)因为这 16 个样本中有 4 个样本为肥胖,故所

1 3 C4 C 275 12 4C12 求概率 p=C4 + C4 =364. 16 16

1 (2)由于任取 1 人,此人肥胖的概率为 P= ,故 P(ξ=k) 4
k 1 k 3 4-k =C4( ) ( ) ,k=0,1,2,3,4

4 4

即分布列为 ξ P 0 81 256 1 108 256 2 54 256 3 12 256 4 1 256

81 108 54 12 1 E(ξ)=0× +1× +2× + 3× + 4× =1(或 256 256 256 256 256 1 E(ξ)=4×4=1).

[方法规律总结] 1.准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中, 试验结果只有发生与不发生两种情况;②在每次试验中,事件
k n k 发生的概率相同), 牢记公式 Pn(k)=Ck p (1 - p ) , k=0,1,2, ?, n


n,并深刻理解其含义,是解二项分布问题的关键. 2.对于复杂事件,要先辨析其构成,依据互斥事件,或 者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解, 还要注意含 “至多”, “至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求 解.

期望与方差的实际应用

某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两 2 种抽奖方案,方案甲的中奖率为3,中奖可以获得 2 分;方案乙 2 的中奖率为5,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且 只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后 凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖, 小红选择方案乙抽奖, 记他们 的累计得分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若小明、 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽 奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

[解析]

2 (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的 3

2 概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 5 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两 两互斥的事件, 2 2 1 因为 P(X=0)=(1- )×(1- )= , 3 5 5 2 2 2 P(X=2)=3×(1-5)=5,

2 2 2 P(X=3)=(1- )× = , 3 5 15 11 所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=15, 11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1, 都选择方案乙所获得的累计得分为 X2,则 X1,X2 的分布列如 下: X1 P 0 1 9 2 4 9 4 4 9

X2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

1 4 4 8 所以 E(X1)=0× +2× +4× = , 9 9 9 3 9 12 4 12 E(X2)=0×25+3×25+6×25= 5 . 因为 E(X1)>E(X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时, 累计得分的数学期望 较大.

某金融机构对本市内随机抽取的 20 家微小企业的产业结 构调整及生产经营情况进行评估,根据得分将企业评定为优 秀、良好、合格、不合格四个等级,并根据等级对企业提供相 应额度的资金支持.下表是本次评定所得的相关数据:

得分区间 评定等级 微小企业数 每家企业所获 资金额度(万元)

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 不合格 3 0 合格 8 1 良好 6 3 优秀 3 6

(1)作出频率分布直方图, 并由此估计该市微小企业所获资 金支持的均值; (2)从上述 20 家企业中随机抽取 2 家,设这 2 家企业获得 资金支持的总额为 X 万元,求 X 的分布列和数学期望 E(X). [分析] 解决本题时,一是抓住频率分布直方图中频率与

组距的比值是每个小矩形的高; 二是准确找出随机变量的可能 取值,并算出概率.

[解析]

(1)频率分布直方图如下:

3 8 6 估计企业所获资金支持的均值为 0× +1× +3× + 20 20 20 3 6×20=2.2 万元.

(2)由题意可知,X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6,7,9,12.
2 1 C3 3 C1 C 24 12 3 8 P(X=0)=C2 =190,P(X=1)= C2 =190=95, 20 20 2 1 C8 28 14 C1 C 18 9 3 6 P(X=2)= 2 = = ,P(X=3)= 2 = = , C20 190 95 C20 190 95 1 1 C8 C6 48 24 P(X=4)= C2 =190=95, 20 1 1 C3 C3+C2 24 12 6 P(X=6)= C2 =190=95, 20

1 1 C8 C3 24 12 P(X=7)= 2 = = , C20 190 95 1 1 C6 C3 18 9 P(X=9)= C2 =190=95, 20 2 C3 3 P(X=12)= 2 = . C20 190

故 X 的分布列为 X 0 1 2 14 95 3 9 95 4 24 95 6 12 95 7 12 95 9 9 95 12 3 190

3 12 P 190 95

3 12 14 9 24 12 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +6× + 190 95 95 95 95 95 12 9 3 7×95+9×95+12×190=4.4 万元.

[方法规律总结] 解决概率的实际应用问题,先通过审题,将条件翻译为解 题需要的数学语言,再依据条件判明概率类型、弄清随机变量 取值时所表示事件的含义,并把复杂事件进行合理的分拆,转 化为简单事件,最后代入对应公式进行计算.


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