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(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练15 新人教A版


圆锥曲线(15)圆锥曲线中的最值问题 (1)利用基本不等式求最值, 例 1、已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为 2 , P 是椭圆在第一 2 象限弧上 一点,且 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交 ???? ???? ? 椭圆于 A、B 两点,求△ PAB 面积的最大

值。 解、设椭圆方程为 y2 x2 ? ? 1 ,由题意可得 a 2 b2 y2 x2 ? ?1 4 2 a ? 2, b ? 2, c ? 2 2 , 故椭圆方程为 设 AB 的直线方程: y ? 2 x ? m . ?y ? 2x ? m ? 2 2 由 ? x2 ,得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 , y2 ?1 ? ? ?2 4 2 2 由 ? ? (2 2m) ? 16(m ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2 P 到 AB 的距离为 d ? |m| , 3 则 S ?PAB ? |m| 1 1 1 | AB | ?d ? (4 ? m 2 ) ? 3 ? 2 2 2 3 ? 1 2 1 m2 ? m2 ? 8 2 m (?m 2 ? 8) ? ( ) ? 2。 8 8 2 当且仅当 m ? ?2 ? ? 2 2 ,2 2 取等号, ∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。 ? ? (2)利用函数求最值, 例 2.如图,椭圆 C : x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,左右顶点分别为 A1 , A ,上顶点为 B,抛物线 C1 , C2 分别 a2 2 以 A,B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O, C1 与 C2 相交于直线 y ? 2 x 上一点 P. (1)求椭圆 C 及抛物线 C1 , C2 的方程; (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同 的两点 M,N,已知点 Q(? 2,0) ,求 QM ? QN 的最小值. 解: (1)由题意 A(a,0), B(0, 2) , ???? ? ???? 故抛物线 C1 的方程可设为 y 2 ? 4ax ,C2 的方程为 x 2 ? 4 2 y ? y 2 ? 4ax ? ? 由 ?x 2 ? 4 2 y ? ? ? y ? 2x 所以椭圆 C: 得 a ? 4, P(8,8 2 ) x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C1: y 2 ? 16x, 抛物线 C2: x 2 ? 4 2 y 16 2 2 2 (2)由(1)知,直线 OP 的斜率为 2 ,所以直线 l 的斜率为 ? 设直线 l 方程为 y ? ? 2 x?b 2 ? x2 y2 ? ?1 ? ? 16 2 由? ,整理得 5x 2 ? 8 2bx ? (8b 2 ? 16) ? 0 ?y ? ? 2 x ? b ? 2 ? 因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? ? 128 b ? 20(8b ? 16) ? 0 2 2 解得 ? 10 ? b ? 10 设 M( x1 , y1 ) 、N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 8 2 8b2 ? 16 b, x1 x2 ? 5 5 2 2 1 2b b2 ? 8 2 y1 y 2 ? (? x1 ? b)(? x2 ? b) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? b ? 2 2 2 2 5 因为 QM ? ( x1 ? 2, y1 ),QN ? ( x

(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练15 新人教A版

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(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练10 新人教A版

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(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练11 新人教A版

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(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练1 新人教A版

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(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练9 新人教A版

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(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练4 新人教A版

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(新课标)名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练2 新人教A版

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