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2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及参考答案


1.若20122 ? 2010 ? 2011? 2013 ? 2014 ? k 2 ? k ? 0 ? , 则k ? 解 : k ? 2012 ? 2010 ? 2011? 2013 ? 2014
2 2

.

? 20122 ? ? 2012 ? 1? ? ? 2012 ? 1? ? ? 2012 ? 2 ? ? ? 2012

? 2 ? ? 20122 ? ? 20122 ? 1? ? ? 20122 ? 4 ? ? ? 20122 ? 2 ? ,
2

所以k ? 20122 ? 2 ? 4048142.

?? ?? ? ? 2.函数f ? x ? ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? cos x ? 3的最小值为 6? 6? ? ? ?? ?? ? ? 解 : f ? x ? ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? cos x ? 3 6? 6? ? ?
? 2sin x cos

.

?
6

? cos x ? 3

? 3 sin x ? cos x ? 3

?? ? ? 2sin ? x ? ? ? 3 6? ? ? 1,
当x ? ?

?
3

? 2k? , k ? Z时等号成立,

?? ?? ? ? 即函数f ? x ? ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ?的最大值为1. 6? 6? ? ?
3.设f ? x ? ? bx ? 1 , a, b是常数, 且ab ? 2, 若f ? x ? ? 2x ? a ?1? f ? ? ? k 是常数, 则k ? ?x? .

bx 2 ? ? b 2 ? 1? x ? b ? 1 ? bx ? 1 b ? x 解 : f ? x? ? f ? ? ? ? ? ? k, ? x ? 2 x ? a 2 ? ax 2ax 2 ? ? a 2 ? 4 ? x ? 2a 若对于?x ? 0均有 则有 2ax 2 ? ? a 2 ? 4 ? x ? 2a bx 2 ? ? b 2 ? 1? x ? b ? k是常数,

b b2 ? 1 ? 2 ,即? ab ? 2 ?? a ? 2b ? ? 0, 2a a ? 4 因为ab ? 2, 所以a ? 2b, bx 2 ? ? b 2 ? 1? x ? b b 1 1 ?1? 于是f ? x ? ? f ? ? ? ? ? ,即k ? . 2 2 4 ? x ? 2ax ? ? a ? 4 ? x ? 2a 2a 4

4.若方程32 x ? 3x ?1 ? p有两个不相等的正实数根, 则p的取值范围为 解 : 令3 ? t ? 1, 则t ? 3t ? p ? 0,
x 2

.

设f ? t ? ? t 2 ? 3t ? p, ? f ?1? ? ?2 ? p ? 0, ? 于是 ? ? 3 ? 9 ? f ? 2 ? ? ? 4 ? p ? 0, ? ? ? 9 解得 ? ? p ? ?2. 4
5.如图是一个5 ? 5的数表, a11 a21 a31 a41 a51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54 a15 a25 a35 a45 a55

其中ai1 , ai 2 , ai 3 , ai 4 , ai 5 ?1 ? i ? 5 ? 成等差数列, a1 j , a2 j , a3 j , a4 j , a5 j ?1 ? j ? 5 ? 成等比数列, 每一列的公比都相等, 且a24 ? 4, a41 ? ?2, a43 ? 10, 则a11 ? a55 ? 解:d ? . a44 ? a42 ? 6, 于是a42 ? a41 ? d ? 4, a44 ? a43 ? d ? 16, a45 ? a44 ? d ? 22, 2 a 从而q 2 ? 44 ? 4, 于是q ? ?2, a24 可得a11 ? a41 ? q3 1 , a55 ? a45 ? q ? ?22, 2

所以a11 ? a55 ? ?11.

1 6.若点P在曲线y ? e x 上, 点Q在曲线y ? ln ? 2 x ? 上, 则 PQ 的最小值为 2 1 x 解 : 注意到y ? e 与y ? ln ? 2 x ?的图像关于直线y ? x对称, 2 只需考虑点Q到直线y ? x的距离, 其中d ? ln ? 2 x ? ? x 2 ? x ? ln ? 2 x ? 2 ,

.

1 令f ? x ? ? x ? ln ? 2 x ? , 则f ? ? x ? ? 1 ? , x 若x ? ? 0,1? , 则f ? ? x ? ? 0; 若x ? ?1, ?? ? , 则f ? ? x ? ? 0; 于是 min f ? x ? ? f ?1? ? 1 ? ln 2,
x?? 0, ?? ?

因此 min PQ ? 2 min d ? 2 ?1 ? ln 2 ? .

7.在一个4 ? 4的16个小方格中填入2个a和2个b, 每个小方格至多填一个字母, 若相同的字母既不在同一行也不在同一列, 共有 16 ? 9 ? 72种排法, 2 种排列方式. 解 : 先填入第一个a, 有16种填法, 再填入第二个a, 有9种排法, 考虑到两个a是相同的, 共有 现在填入第一个b, 1? 若第一个b填入后, 两个a分别与第一个b同行或同列, 则第二个b有9种填法, 此时有 9? 2 ? 9种填法, 2 2 ? 若第一个b填入后, 有且仅有一个a与第一个b同行或同列,

则第二个b有8种填法, 此时有

8?8 ? 32种填法, 2 3? 若第一个b填入后, 两个a均与第一个b不同行且不同列, 7?4 ? 14种填法, 2

则第二个b有7种填法, 此时有 这里共有55种填法,

根据乘法原理,共有72 ? 55=3960种填法.
8.在一个直角梯形中, 上底长小于下底长, 若以它的下底为轴旋转所得旋转体的 体积为80? ,以上底为轴旋转所得体积为112? ,以直角腰为轴旋转所得体积为156? , 则直角梯形周长为 . 解 : 设上底长为a, 下底长为b, 高为h, 1 则有? h 2 a ? ? h 2 ? b ? a ? ? 80? , 3 1 ? h 2b ? ? h 2 ? b ? a ? ? 112? , 3 1 ? ? a 2 ? ab ? b 2 ? h ? 156? , 3 解得a ? 3, b ? 9, h ? 4, 从而非直角腰的长为2 13, 于是直角梯形周长为16 ? 2 13.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. ? 本小题16分 ?已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1, ? a ? b ? 0 ? , 点A, B分别为椭圆的左, 右顶点, a 2 b2 P是椭圆上异于A, B的一点, 满足 AP ? OA , 证明 : 直线OP的斜率满足 k ? 3. 则 OP ? a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? a 2 ? ? a 2 ? b 2 ? sin 2 ? ? a, 又 OA ? AP ? a, 于是 OP ? OA ? AP , 从而?OAP ? ?OPA ? ?AOP, 可知?OAP ? , 3 ? ? ?OAP ? ? ? ?OAP ? 于是?OPA ? ? , ?OPA ? ? , 2 3 2 2 所以 k ? tan ? ? tan ?OPA ? 3.

证明 : 设点P坐标为 ? a cos ? , b sin ? ? ,

?

求S ? ? a 2 ? ab ? b 2 ?? b 2 ? bc ? c 2 ?? c 2 ? ca ? a 2 ?的最大值. 解:不妨设a ? b ? c, 则b 2 ? bc ? c 2 ? b 2 , c 2 ? ca ? a 2 ? a 2 , 于是S ? a 2b 2 ? a 2 ? ab ? b 2 ? , ? a?b? ? a?b?c ? 9 2 设a ? b ? p ? 3, ab ? q ? ? ? ?? ? ? , 且p ? 4q, 2 4 ? 2 ? ? ? 于是S ? a 2b 2 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ? q 2 ? p 2 ? 3q ? ? q 2 ? 9 ? 3q ? , 令f ? q ? ? q 2 ? 9 ? 3q ? , 则f ? ? q ? ? 9q ? 2 ? q ? , ? 9? 若q ? ? 0, 2 ? , 则f ? ? q ? ? 0; 若q ? ? 2, ? , 则f ? ? q ? ? 0, ? 4? 从而 max f ? q ? ? f ? 2 ? ? 12, 9
q?? ?0, 4 ? ? 2 2

2. ? 本小题20分 ? 令a, b, c是非负实数, a ? b ? c ? 3,

于是S的最大值为12, 在a ? 2, b ? 1, c ? 0及其轮换时取得.

3. ? 本题满分20分 ? 求所有函数f : N * ? N *, 使得对任意x, y ? N *, 均有

? f ? x ??

2

? y被f ? y ? ? x 2整除.

解:令x ? y ? 1, 可得f ?1? ? 1| f 2 ?1? ? 1? 这里a | b表示b被a整除 ? , 即f ?1? ? 1| f ?1? ? ? f ?1? ? 1? ?, 显见 ? f ?1? ? 1, f ?1? ? ? 1, 从而f ?1? ? 1| f ?1? ? 1, 只能是f ?1? ? 1, 令x ? 1, y ? n ? n ? N *? , 可得f ? n ? ? 1| f 2 ?1? ? n, 从而f ? n ? ? 1 ? f 2 ?1? ? n, 即f ? n ? ? n, 又令x ? n ? n ? N *? , y ? 1? n ? N *? , 可得f ?1? ? n | f 2 ? n ? ? 1, 从而f 2 ? n ? ? 1 ? f ?1? ? n 2 , 即f ? n ? ? n, 于是f ? n ? ? n, 经检验, f ? x ? ? x ? x ? N *? 满足题意.


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