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高考求函数值域及最值得方法及例题


x ? ? ? ? ?1? 2. 若集合 S ? ? y | y ? ? ? ? 1, x ? R ? , T ? ? y | y ? log2 ( x ?1), x ? ?1 ? ,则 S ? T 等于 2 ? ? ? ? ? ?

A.{0}

B. { y | y ? 0}

C.S

D.T<

br />
3. 下列函数中值域是(0,+∞)的函数是 A. y ? 5 2? x
1

B. y ? ( )

1 2

1? x

C. y ? 1 ? 2x

D. y ?

1 ?1 2x

4. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为[ a ,b],则 f ( x ? 1) 的值域为 A.[ a ,b] B.[ a +1,b+1] C.[ a -1,b-1] D.无法确定

6. 函数 y ? lg[ x 2 ? (k ? 3) x ? 4] 的值域为 R,则实数 k 的取值范围是 A. ? 7 ? k ? 1 B. k ? ?7 或 k ? 1 C. ? 1 ? k ? 7 D. k ? ?7 或 k ? 1

7. 已知函数 f ( x) 满足2 f ( x) ? f ( ) ?

1 x

1 , 则 f ( x) 的最小值是 | x|
C.

A.2

B. 2 2

2 3

D.

2 2 3

8. 函数 y ?| x ? 3| ? | x ? 1| A.最小值为 0,最大值为 4 C.最小值为-4,最大值为 4 B.最小值为-4,最大值为 0 D.没有最大值,也没有最小值

9. 已知 f (2 x ? 1) 的最大值为 2, f (4 x ? 1) 的最大值为 a ,则 a 的取值范围是 A. a ? 2 B. a ? 2 C. a ? 2 D.以上三种均有可能

10.已知 a ? 0, b ? 0, a 、b 的等差中项是 A.3 B.4

1 1 1 , 且? ? a ? , ? ? b ? , 则? ? ? 的最小值是 2 a b
C.5 D.6

? 2x, f [ g ( x)] ? 11. 已 知 g ( x) ? 1
A . 15 12. 设函数 f ( x) ? ? A. a 二、填空题: B. 1

1 1 ? x2 ( x ? 0) , 则 f ( ) = 2 2 x
C. 3 D . 30

??1 ( x ? 0) ( a ? b) ? ( a ? b) ? f ( a ? b) (a ? b) 的值为 ,则 2 ?1 ( x ? 0)
C. a 、b 中较小的数 D. a 、b 中较大的数

B. b

14. 定 义 在 R 上 的函 数 f ( x) 满 足 关 系 式 : f ( ? x) ? f ( ? x) ? 2 , 则 f ( ) ? f ( )

1 2

1 2

1 8

2 8

7 ? ? ? f ( ) 的值等于________ 8

15. 已知函数 f ( x ) 对一切实数 a, b , 均满足 f ( a ? b) ? f ( a) ? f ( b),且 f (1) ? 2.则

f (2) f (3) f (4) ? ? ? f (1) f (2) f (3)
16. 设 f ( x ) ?

?

f (2007) ? f (2006)

ax ? b ( a >0)的值域为[-1,4],则 a ,b 的值为_________ x2 ?1

x?0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 1 的最大值是 17.函数 y ? ? x ? 3 ?? x ? 5 x ?1 ?
18.已知 a,b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则 5a ? b ? 三、解答题: 19. 求下列函数的值域 (1) y ?

4 ; x ? 4x ? 5
2

(2) y ? ? x ? 1 ? 2x ;

(3) y ?

2x ? 1 x

2 x 2 ? bx ? c (b ? 0) 的值域为[1,3] 20. 已知函数 f ( x) ? ,求实数 b、c 的值。 x2 ? 1
一、选择题 题号 答案 2 C 3 B 4 A 6 B 7 D 8 C 9 C 10 C 11 A 12 C

9.提示:令 g ( x) ? f (2 x ? 1) ? g (2 x) ? f (4 x ? 1) ,实际是将原函数图象的点的横坐标 缩短变为原来的二分之一,纵坐标不变。故最值不变。 10. 提示:由 a ? b ? 1 ? 1 ? a ? b ? 2 ab ? ab ?

1 1 ? ?4, 4 ab

? ? ? ? ( a ? b) ? ? ? 1 ?
二、填空题 14.7; 15.4012; 15.提示:

1 a

1 b

1 ? 1? 4 ? 5 ab
17. 4; 18.2。

16. a =4, b=3;

f ( a ? b) ? f (a) 用赋值法或令 f ( x) ? 2x f (b)

三、解答题 19. [解析]先确定函数的定义域,正确选择方法,并作出相应的数式变换. (1)函数的定义域为 x ? ?1, 且x ? 5 , 令 u ? x ? 4x ? 5 ? ( x ? 2) ? 9,?u ? ?9且u ? 0 ,
2 2

即u ? 0或 ? 9 ? u ? 0 ?

4 4 4 ? 0或 ? ? , u u 9

∴函数的值域为 (??,? ] ? (0,??) ;

4 9

(注)这里运用了不等式性质: ?

?a ? b 1 1 ? ? ; a b ?ab ? 0

[解法二]原函数等价于 y( x 2 ? 4x ? 5) ? 4,即yx 2 ? 4 yx ? (5 y ? 4) ? 0 , 当 y ? 0 时,得-4=0,矛盾,? y ? 0 ,

? x ? R( x ? ?1, 且x ? 5) ,

? ? ? 16y 2 ? 4 y(5 y ? 4) ? 0 ? y(9 y ? 4) ? 0 ,
解得函数的值域为 (??,? ] ? (0,??) .

4 9

1 1? t 2 (t ? 0) , (2)函数的定义域为 (?? , ] .作换元,令 1 ? 2 x ? t ? x ? 2 2

?y ?

t 2 ?1 1 ? t ? (t ? 1) 2 ? 1,? f (t )在[0,??) 上为增函数, 2 2

1 1 ? y ? f (0) ? ? ,∴函数的值域为 [? ,?? ) ; 2 2
[解法二]令 f1 ( x) ? ? x, f 2 ( x) ? 1 ? 2x ,∴原函数 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) , ∵ f1 ( x)与f 2 ( x) 在定义域内都是减函数, ∴原函数 y ? f ( x) 在定义域 (?? , ] 是减函数,? y ? f ( ) ? ? 而当 x ? ?? 时, y ? ?? ,∴函数的值域为 [? (3)函数的定义域为 x ?

1 2

1 2

1 , 2

1 ,?? ) . 2

1 , 2

?y ?

2x ? 1 1 2 1 1 ? ? 2 ? ? ? ( ? 1) 2 ? 1(0 ? ? 2) , 2 x x x x x

由二次函数性质知函数的值域为[0,1]; [解法二]令 t ?

2x ? 1 , ? x ?

t 2 ?1 (t ? 0) , 2

? y ? f (t ) ?

2t 2t ? ? 1,? 0 ? y ? 1 , t ? 1 2t
2

即函数的值域为[0,1] 20.由 y=

2 x 2 ? bx ? c 2 得 (2-y)x +bx+c-y=0,(*) 2 x ?1
2

当 y-2≠0,由 x∈R,有Δ =b -4(2-y)·(c-y)≥0 即 4y -4(2+c)y+8c-b ≤0,由已知得 2+c=1+3 且
2 2

8c ? b 2 =1×3 4

∴b=±2,c=2 又 b<0,∴b=-2,c=2, 而 y-2=0,b=-2,c=2 代入(*)式得 x=0 ∴b=-2,c=2 为所求


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