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数列及等差数列概念与应用的复习


2.2.1 数列及等差数列的复习

新马外国语国际学校

数学组

杨天进

2008.5.18

数 记作: a1,a2 ?an ?或 ?an ? 列 及 2.数列的通项公式: an ? f (n) 概 ?有穷数列 ? 项数的有限与无限 ? 念 ?无穷数列 ? 要 ? 3.分类

? ?递增数列 点 ? ? ? ? 按项与项之间的关系 递减数列 复 ? ? ?摆动数列 习 ?
?常数数列

1.数列定义:按一定顺序排列的一列数

题型一、求数列通项公式:一般有以下四种方法. 1.观察法
3 1 5 3 7 1.数列 , , , , , ?的一个通项公式为 ________ . 5 2 11 7 17

2.累加法 形如已知a1 ? b, an?1 ? an ? f (n),b为常数,f (n)为可求和。

2.数列 ,6, ?通项公式为________ 1 3,10 .
3.累乘法
an?1 形如已知a1 ? b, ? f (n), b为常数,f (n)为可求的积。 an an?1 n ? 1 3.已知数列 an }, a1 ? 1, { ? , 求其通项公式。 an n

4.利用Sn与an的关系法

例4.已知数列 an }前n项和为S n求下列通项公式; {

?2n ? 1, n ? 2 解:()an ? ? 1 ? 6, n ? 1

(1) S n ? n 2 ? 2n ? 3(2) S n ? 5n ?1 ? 5

(2)an ? 4 ? 5

n

题型二、等差数列性质的应用-------证明

例2.己知数列 {an} 的前n项和Sn=-n2-2n+1, 试判断数列{an}是不是等差数列? 思路: Sn → an →an-an-1= 常数? 答案:不是
判断方法
1.定义:an-an-1=d(d为常数)(n≥2)

2.中项公式法:.2an+1=an+an+2
3.an=pn+q,其中p,q为常数。 4.Sn=An2+Bn 注意:3与4只能当作结论用于填空, 不能用于证明

等 差 2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d 知三求一 数 列 通项公式变形1:an=dn+(a1-d ) d 要 通项公式变形2 :an=am+(n-m)· 点 说明:等差数列的通项公式是一次函数, 可设an=pn+q,其中p,q为常数。 复 习

1.定义:an-an-1=d(d为常数)(n≥2)

题型二、等差数列性质的应用-------求值

例3.若{an}是等差数列,根据条件解下列各题。

(1)a5 ? 11, a8 ? 5, 求an (2)a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450, 求a2 ? a8 . (3)b2 ? b5 ? b8 ? 9, b3b5b7 ? ?21, 求bn
主要应用以下两个性质: an ? am (1)an ? am ? (n-m)d ? d ? n?m

(2)m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq

(3)三个数设:a-d , a , a+d; 四个数:设a-3d , a-d , a+d , a+3d

等 3、如果a, A ,b 成等差数列,那么A叫做a与b 差 的 等差中项。即:2 A ? a ? b 或 A ? a ? b 2 数 4. 在等差数列 ?an ? 中,为公差, d 若 m, n, p 列 ,q? N 且 m ? n ? p ? q 要 那么: am ? an ? a p ? aq 点 推论: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ? 2 ? ?? 复 习

5.若数列 ?an ? 前n项和为 sn,则

n( a1 ? an ) n(n ? 1) 2.S n ? na1 ? d 1.S n ? 2 2
知三求二
n中的三个。

注意: 两个公式都表明要求 S 必须已知 n n, a , d , a
1

说明:对于公式2整理后是关于n的常数项为零 的二次函数;可设Sn=An2+Bn

题型三、等差数列的前n项和的应用
例4. 已知等差数列{an}的前 m项和为30, 前 2m项和为100,求它的前 3m项的和。 解: 在等差数列{an}中,有: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列. 公差为m2d 所以,由2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得: S3m=210
S m S 2 m S3m , 是等差数列吗?并说明 理由. 探究: , m 2m 3m

例5.在等差数列{an}的前n项和Sn=2n2 -30n
(1)求该数列的通项公式; (2)判断该数列是否为等差数列,并说明理由; (3)求Sn最小值及的序号n的值; (4)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

an ? 4n ? 32
7或8;192
解法一、 (利用函数方法求解) 解法二、 (利用等差数列的特 即利用an 点和性质求解)

? 0且an?1 ? 0

等差数列的前 n 项和性质:
(1).若数列 那么 Sk

?an ?是等差数列,S n 是其前n项的和,k ? N ,S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成公差为 k 2 d

*

的等差数列.。

(2)若{an }, {bn }是等差数列, n ? a1 ? a2 ? ? ? an A am A2 m?1 Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ; ? bm B2 m?1
(3)若a1 ? 0, d ? 0, Sn存在最大值 若a1 ? 0, d ? 0, Sn存在最小值 ; ;

例4:含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为(
A.

)

2n ? 1 n

B.

性质3、4:

n ?1 n

C.

n ?1 n

D.

n ?1 2n

3.等差数列的项数若为2n (n ? N ? )项,则

S偶 an S2 n ? n(an ? an?1 ),且S偶 ? S奇 ? nd, ? . S奇 an?1 ? 4.等差数列的项数若为2n+1 (n ? N ) 项,则 S偶 n S2n?1 ? (2n ? 1)an , 且S奇 ? S偶 ? an , ? . S奇 n ? 1

(其中S奇 ? nan , S偶 ? n ?1 an ) ( )

3(1 ? 3n ) 1.已知{an }的前n项和为S n ? , 通项公式an _________ . 2

练习

2. 已知a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7, a9 ? ________ .
3. 已知a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 36, 则a5 ? a8 ? _______ .
4.(2006年广东卷)已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15, 偶数项之和为30,则其公差是_________.

5.若{an }, {bn }是等差数列,设 n ? a1 ? a2 ? ? ? an,Bn ? b1 ? A An 7n ? 1 an ? b2 ? ? ? bn ; 满足关系式 ? (n ? N ), 求 . Bn 4n ? 7 bn

主要内容:

四、归纳小结

本节课主要复习了数列及等差数列的概念、 等差数列的通项公式与前n项和公式,以及 一些相关的性质。

应当掌握:
1、基本方法:掌握等差数列通项公式和前n 项和公式; 2、利用性质:掌握等差数列及前n项和的重 要性质;掌握一些比较有效的技巧;


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