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4.1.2圆的一般方程 丰顺县华侨中学

时间:2015-03-03


2 2 ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 x

复习

练习(1)
(3)

(2)

新课 例题解析
(1)(2)

小结
作业

复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的?

2 2 2

? ? ( x ? a) ( y ? b) r
其中圆心的坐标和半径各是什么?

?a, b ?

r

想一想:若把圆的标准方程
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

展开后,会得出怎样的形式?

2 2 2 2 2 x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0
令 ? 2a ? D,?2b ? E , a ? b ? r ? F得
2 2 2

2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

这样就得到:凡是圆的方程都可以化成:

2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 ? y x
这个方程有何特征? x2、y2的系数皆为 1 的二元二次方程 ,且不含xy 项 反过来,此方程都表示圆吗? 将方程
2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 ? y x

配方

D ? E (x? ) ( y ? ) 2 2

2

2

?E D ? 4

2

2

? 4F

与圆的标准方程比较,可知 (1)当 D2 ? E2 ? 4F ? 0

D (x? ) 2

2

E ? ( y? ) 2

2

?

D

2

? E ? 4F 4

2

( *)

E? ? D ? ? 时,方程(*)表示以 ? ? 2 , 2? ?

2 2 (2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(*)只有一个解,
E? ? D ? ? 表示一个点 ? ? 2 , 2? ?

1 2 2 D ? E ? 4 F 为半径的圆。 为圆心,以 2

2 2 (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(*)无解,不表示
任何图形

方程
2

2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

(D ? E ? 4F ? 0) 叫做圆的一般方程
D 圆心(- 2

E ,- ),半径 2

r=

1 D2 ? E 2 ? 4F 2

例1:已知三角形ABC顶点的坐标为A(4,3)、 B(5,2)、C(1,0),求三角形ABC外接圆 的方程,并求半径和圆心坐标。 2 2 设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 解: 因为点A、B、C在所求的圆上,固有 D= - 6 4D+3E+F+25=0

E= - 2 5D+2E+F+29=0 D+F+1=0 F= 5 故所求圆的方程是 x 2+y2 - 6x - 2y + 5=0
1 1 2 2 2 2 r ? ( ? 6 ) ? ( ? 2 ) ? 4?5 ? 5 D ? E ? 4 F ,得 由r ? 2 2 D E ? 3,? ? 1 ,得圆心坐标为(3,1)。 由 ? 2 2

解: 以线段AB所在直线为x轴,线段AB

例2:某圆拱桥梁的示意图如图所示。该圆拱的 跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每 隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长(精 确到0.01m). Y
P6 P2

的中点O为坐标原点建立直角 坐标系,那么A,B,P的坐标 O 分别为(-18,0)(18,0) A B -6 O x A2 (0,6)设圆拱所在的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0 因为点A、B、P在所求的圆上,故有 D=0 182+18D+F=0 故圆拱所在的方程 182 -18D+F=0 E=48 是x2+y2+48y-324=0 2 6 +6E+F=0 F=-324

将点P2的横坐标x=6代入上式,解得 y ? ?24 ? 12 6 ? 5.39 答:支柱A2P2的长约为5.39m.

练习:1、下列方程各表示什么图形? (1)x2+y2=0 表示点(0,0)

(2)x2+y2 -2x+ 4y - 6=0
可化为(x-1)2+(y+2)2=11 所以表示以点(1,-2)为圆心以 11 为半径 的圆

(3)x2+y2 +2ax-b2=0
可化为(x+a)2+y2=a2+b2

所以此方程表示以(-a,0)为圆 心,以为 a 2 ? b 2 半径的圆

2、求下列各圆的半径和圆心坐标。 (1)x2+y2-6x=0 即 (x-3)2+y2=9 圆心为(3,0) ,半径为 3 (2)x2+y2+2by=0 即x2+(y+b)2=b2 圆心为(0,-b) ,半径为 |b|

3、求经过点A(4,1)、B(-6,3)、C(3,0) 的圆的方程。
解:设所求的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
因为点A、B、C在所求的圆上,固有 4D+E+F+17=0 -6D+3E+F+45=0 3D+F+9=0

D=1

E=-9 F=-12

故所求圆的方程是 x 2+y2 +x - 9y -12=0

知a、b、r

(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程
配 方 互 化

X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F

D2+E2+4F>0

作业:P102

习题 4 、6