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2014年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题

时间:2014-04-27


准考证号_________________________

2014 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛
暨 2014 年吉林省高中数学联赛试题
( 2014 年 4 月 27 日 星期日 上午 8:30---11:00) 题号 得分 评卷人 复核人 考生注意:本试卷共计 4 页,14 道题,满分 150 分 一 二 三(11 ) 三(12 ) 三(13) 三(14 ) 总 分

得分

一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分)
本题共有 5 个小题,每小题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个 是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内 .每小题选对得 6 分;不选、选错或 多选一律得 0 分.

姓名 性别 (密封装订线内不要答题)

?0 ? 1.已知函数 f ( x) ? ? ? ?x ? 1 ?
A. ? ? 1

x?0 x ? 0 ,则 f { f [ f (?1)]} 的值为 x?0
B.0 C .1
sin B 的值为 sin C 5 C. 3

( D. ?



2.在 ?ABC 中, ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 A.
8 5

( D.
3 5



B.

5 8

3.下列函数既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上单调递减的是
学校





A. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? ln
2? x 2? x

B. f ( x) ? ? x ? 1 D. f ( x) ?
1 x ? a ? a? x ? 2

4.某地举行一次民歌大奖赛,六个省各有一对歌手参加决赛,现要选出 4 名优胜者,则选出 的 4 名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为 A.
县) (区、 市
16 33

( D.
4 [ 11



B.

33 128

C.

32 33

2014 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 1 页(共 4 页) 1

5.若五项的数列 {a n } : a1 , a2 , a3 , a4 , a5 满足 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且对任意的 i, j (1 ? i ? j ? 5) ,均 有 a j ? a i 在该数列中. ① a1 ? 0 ; ② a5 ? 4a2 ; ③ {an } 为等差数列; ④ 集合 A ? {ai ? a j |1 ? i ? j ? 5} 含 9 个元素. 则上述论断正确的有( )个. A.1 B.2

C.3

D.4

得分

二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 6 分,满分 30 分) 请将答案写在题中横线上,各小题只要求直接写出结果.

6.函数 y=f (x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数,右图中表示的 是该函数在区间[?2, 1]上的图像,则
f (2014) 的值等于 f (5) ? f (15)



7.在 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 1 , AC cos B ? BC cos A , 则 AC ? AB ? 8.下图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为_______________.

9.给定平面上四点 O, A, B, C ,满足 OA ? 4, OB ? 3, OC ? 2, OB ? OC ? 3 ,则 ?ABC 面积的最大 值为 _________ .

? a ? b ? c ? d ? ?2 ? a ? _________ ? ab ? ac ? ad ? bc ? bd ? cd ? ?3 ? b ? _________ ? ? 10.方程组 ? 的一个实数解为 ? ? bcd ? acd ? abd ? abc ? 4 ? c ? _________ ? ? ?abcd ? 3 ?d ? _________
2014 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题第 2 页(共 4 页) 2

得分

三、解答题
(本题共 4 道大题,其中 12 题 15 分,13、14、 15 题每题 25 分,满分 90 分)

11 .设集合 A ? { x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0} , B ? { x | x 2 ? ax ? b ? 0} , (1) 若 (C R A) ? B ? { x | ?1 ? x ? 2}, (C R A) ? B ? R ,求 a , b 的值; (2) 若 b ? 1 ,且 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

12 . 函数 f ( x ) ? 2(2 cos x ? 1) sin2 x ? cos 3 x , x ? R .求函数 f ( x) 的最大值.

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13.直线 m 的方程为 y ? kx ? 1 , A, B 为直线 m 上的两点, 其横坐标恰为关于 x 的一元二次方程 (1 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 的两个 不同的负实数根.直线 l 过点 P(?2, 0) 和线段 AB 的中点,CD 是 y 轴上的一条动线段,考虑一切可能的直线 l ,当 l 和线段 CD 无公 共点时,CD 长的最大值是否存在?如果存在,求出最大值;如果 不存在,说明理由.

14 .若存在集合 A, B 满足: A B ? ? ,且 A B ? N? ,则称
( A, B) 为 N + 的一个二分划.

(Ⅰ)设 A ? {x | x ? 3k , k ? N+ }, B ? {x | x ? 3k ? 1, k ? N+ }, 判断 ( A, B) 是否 为 N + 的一个二分划,说明理由; (Ⅱ)是否能找到 N + 的一个二分划 ( A, B) 满足: ① A 中不存在三个成等比数列的数; ② B 中不存在无穷的等比数列. 说明理由.

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