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惠州一中2017届高二下学期期中考试理科数学试题


惠州一中 2017 届高二下学期期中考试理科数学试题
命题:陈义
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

/>审题:袁佳利

第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1、 ? (2 x ? e x )dx ? (
0 1

) C.e
1? z ? i ,则 z =( 1? z

A.e+2

B.e+1

D.e-1 ) D. 2 ) D. m 与的 n 大小关系不确定

2、设 i 是虚数单位,复数 z 满足 A. 1 B.

2

C.

3

3、若m= a ? a ? 1, n ? a ? 2 ? a ? 3 ( a ? 3 ),则 ( A.m>n B.m=n C.m<n )

1 1 1 4、设 a, b, c ? (0, ??), 则 a ? , b ? , c ? ( b c a

A. 都小于 2

B. 都大于 2

C. 至少有一个不小于 2

D. 至少有一个不大于 2

5、六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法 共有( ) B.216 种 C.240 种 D.288 种

A.192 种

6、从边长为 10 cm× 16 cm 的矩形纸板的四角上截去四个相同的小正方形,做成一个无 盖的盒子,则盒子容积的最大值为( A.12 cm3
5

) C.144 cm3 D.160 cm3 )

B.72 cm3

7、设 ? 2 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a5 x 5 ,那么

a0 ? a2 ? a4 的值为( a1 ? a 3

第 1页

共4页

A. ?

122 121

B. ?

61 60

C. ?

244 241

D. ?1

8、现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( A.232 B.252 C.472 D.484 )

9、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则 A. ?
2 3

a 的值为( b



B. ? 2

C. ?

2 或?2 3

D.不存在

10、面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任 a1 a2 a3 a4 一点 P 到第 i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4),若 1 = 2 = 3 = 4 =k,则 h1+2h2+3h3 2S +4h4= k .根据以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4), 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4), S1 S2 S3 S4 若 1 = 2 = 3 = 4 =k,则 H1+2H2+3H3+4H4=( V A. k 3V B. k 4V C. k ) 8V D. 5

11、某大学的信息中心 A 与大学各部门,各院系 B,C,D,E,F, G,H,I 之间拟建立信息联网工程,实际测算的费用如图所示(单 位:万元) 。请观察图形,可以不建部分网线,而使得信息中心与各 部门、各院系都能连通(直接或中转) ,则最少的建网费用是( A、12 万元 B、13 万元 C、14 万元 D、16 万元
f ( x) ? x ? 1 ,则下列结论正 f ?( x)



12、已知 f ( x) 是定义在 R 上的减函数,其导函数 f ?( x ) 满足 确的是( )

A. ?x ? R , f ( x) ? 0 C.当且仅当 x ? (??,1) 时, f ( x) ? 0

B. ?x ? R , f ( x) ? 0 D.当且仅当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0

第 II 卷
第 2页 共4页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
13、 ? [ 1 ? x 2 ? x]dx =________.
0 1

z 14、已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数 ( z ? a ? i)2 在复平面内对 2-i 应的点在第一象限,则实数 a 的取值范围为________. 15、使 (3 x ?
1 x x ) n (n ? N ? ) 的展开式中含有常数项的最小的 n 为________.

16、一般地,给定平面上有 n 个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比 记为 ?n ,已知 ?4 的最小值是 2 , ?5 的最小值是 2sin
3 ? , ?6 的最小值是 3 .试猜想 10

?n (n ? 4) 的最小值是________.(这就是著名的 Heilbron 猜想,已被我国的数学家攻克)

三.解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。
17、 (本小题满分 12 分) 已知顶点在单位圆上的 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别 为 a 、 b 、 c ,且 2a cos A ? c cos B ? b cos C . (1)求 cos A 的值; (2) 若 b 2 ? c 2 ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18、 (本小题满分 10 分) 由下列不等式: 1?
1? 1 1 1 1 1 1 3 , 1? ? ? 1 , 1? ? ??? ? , 2 2 3 2 3 7 2

1 1 1 5 1 1 1 ? ? ,你能得到一个怎样的一般不等式?并用数 ? ? ? ? ? 2 ,1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 15 2 3 31 2

学归纳法加以证明.

19、 (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点, 2 AA1=AC=CB= 2 AB. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的余弦值.

20、 (本小题满分 12 分)
第 3页 共4页

已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 1, (a ? 0), g ( x) ? x 3 ? bx (1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a 2 ? 4b 时,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ??, 0? 上的最大值.

21、 (本小题满分 12 分)
3 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 经过点 P(1, ) , 2

1 离心率为 ,直线 l 的方程为 x ? 4 . 2
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设 AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M, 记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 .问: 是否存在常数 ? , 使得 k1 ? k 2 ? ? ? k3 ?若存在, 求 ? 的值;若不存在,说明理由.

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? kx ? k ? R ? , g ? x ? ? ln x . (1) 若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象有公共点,求实数 k 的取值范围; (2 ) 设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , ?a, b ? 0 ? a ? b ? ,若 ?c ? 0 ,使得 h ' ? c ? ? 求证: ab ? c ?
a?b 2

h ? a ? ? h ?b ? a ?b

.

第 4页

共4页


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