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函数复习主要知识点 - 副本(1)


函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射 (1)映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个 元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。 注意点: (1)对映射定义的理解。 (2)判断一个对应是映

射的方法。一对多不是映射,多 对一是映射 2、函数 1、 函数的概念 定义:一般地,给定非空数集 A,B,按照某个对应法则 f,使得 A 中任一元 素 x,都有 B 中唯一确定的 y 与之对应,那么从集合 A 到集合 B 的这个对应,叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:x→y=f(x),x∈A.集合 A 叫做函数的定义域,记为 D,集合{y ∣y=f(x),x∈A}叫做值域,记为 C。定义域,值域,对应法则称为函数的三要素。一般书写 为 y=f(x),x∈D.若省略定义域,则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同 例 1、下列各对函数中,相同的是( A、 f ( x) ? lg x 2 , g ( x) ? 2 lg x C、 f (u ) ? ) B、 f ( x) ? lg

x ?1 , g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1) x ?1

例 2、 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

x2

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1;

函数定义域的类型和求法 一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法, 其解法是由解析式有意义列出关于自变量的 不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

例 1 求函数

的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足

例 2 求函数

的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足

评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个 抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知 的定义域,求 的定义域。

其解法是:已知 为所求的定义域。 例 3 已知

的定义域是[a,b]求

的定义域是解

,即

的定义域为[-2,2],求

的定义域。

解:

补充:已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

解:

(2)已知

的定义域,求 f(x)的定义域。

其解法是: 已知

的定义域是 [a, b] , 求 f(x)定义域的方法是: 由



求 g(x)的值域,即所求 f(x)的定义域。 例 4 已知 解: 的定义域为[1,2],求 f(x)的定义域。

补充:已知f(2 x- 1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域 解:

三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。 特别是对于已知定义域为 R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例 5 已知函数 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

分析: 函数的定义域为 R, 表明 项的系数是 m,所以应分 m=0 或 解: 进行讨论。

, 使一切 x∈R 都成立, 由

评注:不少学生容易忽略 m=0 的情况,希望通过此例解决问题。

例 6 已知函数 解:

的定义域是 R,求实数 k 的取值范围。

四、实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意,并形成意识。 例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式, 并求函数的定义域。 解:

例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长 为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并求定义域。

解:

五、参数型 对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例 9 已知 解: 的定义域为[0,1],求函数 的定义域。

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上 定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的 单调区间,必须先求定义域。 例 10 求函数 解: 的单调区间。

例.(05 江苏卷)函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为________________________

例 4:设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为__________ 2? x 2 x

变式练习: f (2 ? x) ?

4 ? x 2 ,求 f ( x ) 的定义域。

三、函数的值域
1 求函数值域的方法

求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关,是高中数学的重点和难点, 虽然没有固定的方法和模式,但常用的方法有: 1、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。 例 1:求函数 y ? x ? 1的值域。 解: 2、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如

F ( x)? a 2 f ( x) ? b f( x ? ) 的函数的值域问题,均可使用配方法。 c
例 2:求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 解: ,

3、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求 反函数的定义域,得到原函数的值域。 例 3:求函数 y ? 解:
1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x

4、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此 类问题一般也可以利用反函数法。 1? x 例 4:求函数 y ? 的值域。 2x ? 5 解:

5、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从 而求得原函数的值域, 形如 y ? ax ? b ? cx ? d( a 、b 、c 、d 均为常数, 且a ? 0) 的函数常用此法求解。 例 5:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:

6、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数 根,判别式 ? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如 y ? 同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。 例 6:求函数 y ?
x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不 a2 x 2 ? b2 x ? c2



7、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调 性,求出函数的值域。 例 7:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:

8、利用有界性:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 8:求函数 y ? 解:
x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

9、图像法(数型结合法) :函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合 的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。 例 9:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。 解:

9、 “对号函数” 法 因为图象像 “对号” , 所以我们习惯称函数 y=x+a/x(a>0) 为“对号函数” ,若函数能转化到它的形式,则求值域问题就可以参其图象轻松 解答了。 以上是我们学习函数之后, 关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进 一步深入,我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。 1 1. (直接法) y ? 2 2. f ( x) ? 2 ? 24 ? 2 x ? x 2 x ? 2x ? 3

3. (换元法) y ? ? x ? 2x ? 1

4. (Δ 法) y ?

3x x ?4
2

5. y ?

x2 ?1 x2 ?1

6. (分离常数法) ① y ?

x x ?1

②y?

3x ? 1 (?2 ? x ? 4) 2x ?1

7. (单调性) y ? x ?

3 ( x ? [?1,3]) 2x

10.(对号函数) y ? 2 x ?

8 ( x ? 4) x


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