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2.3 空间中的垂直关系


2.3 空间中的垂直关系
教学目标 根据《数学课程标准》对《立体几何初步》部分的要求“以立体几何的定义公理和定理位出 发点、通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质 与判定” 根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要,制定教学目标如下: 1、知识与技能 (1)通过观察图片和折纸试验,使学生理解直线与平面垂直的定义,归纳和确认直线与平

面垂直的判定定理,并能简单应用定义和判定定理; (2)通过对判定定理的探究和运用,初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力; (3)通过对探索过程的引导,努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯, 培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 (1)通过推导思路的形成让学生对创新、探索的过程有所体验,使学生学会用联系的观点 看问题,培养学生探索数学规律的能力。通过问题的解决,树立自信心,体会成功与快乐, 学会探究,学会自主学习。 (2)培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 教学重点、难点 依据课程标准和教材知识内容的特点, 确定本节重点是对直线与平面垂直的定义和判定 定理的理解及其简单应用,通过练习,提高学生灵活运用线面垂直判定定理解决问题的能 力 。 在本节教学中,探究、归纳直线与平面垂直的判定定理,体会定义和定理中所包含的转 化思想是教学难点。 学情分析 学生刚刚学习过空间中的平行关系, 其研究思想与空间中的垂直关系研究方法一致, 而 且学生对生活中出现的线面垂直的实例有过直观感受,但他们的逻辑推理能力仍有待提高,

因此, 引导学生不仅要能够直观感受, 还应能运用数学语言描述线面垂直的关系以及对其推 论进行严谨的证明。 教法分析 本节课采用启发式教学方法, 通过问题激发学生求知欲, 使学生主动参与数学实践活动, 引导学生在直观感知的基础上展开讨论和交流,在教师的指导下发现、分析和解决问题,建 立空间感,培养学生空间想象能力和逻辑推理能力 教学内容分析 空间中的垂直关系是立体几何的重要内容之一, 本节课是在学生已学习完空间平行关系 的基础上,研究垂直关系的第一节,它为以后各节的学习在数学研究思想、方法方面打好基 础。因此这节课有承前启后的作用,是本章的重点内容之一 教学过程 (一)创设情景,揭示课题 通过复习空间直线与平面的位置关系, 让学生举例感知生活中直线与平面相交的位置关 系,其中最特殊、最常见的一种就是线面的垂直关系,从而引出课题. 教师首先提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如: “旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系” ,你能举出一些类似的例子吗?然后让学 生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 设计意图:希望通过学生的生活经验,提高学生学习数学的兴趣和自觉性. (二)研探新知 一、线面垂直的定义 1.给出学生非常熟悉的校园图片,引导他们观察直立于操场上篮球架的立柱与它在地 面影子的关系,然后将其抽象为几何图形,再用数学语言对几何图形进行精确描述,引出直 线与平面垂直的定义. 即: 如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与 平面 ? 互相垂直.

设计意图:通过从“具体形象——几何图形——数学语言”的过程,让学生体 会定义的合理性.

2.简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷” . 设计意图:通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷,让学生感受数学的应用价值,提高 学生学习数学的热情.同时,引出探究判定定理的必要性. 3.从平面内两条直线垂直的定义出发,引导学生感受空间两条直线垂直的位置关系, 并给出其定义,为定义直线与平面互相垂直做好铺垫。为使学生学会从“感性认识”到“理 性认识”过程中获取新知,可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。 为使学生从感性认识逐步上升到理性认识,展开以下问题:阳光下,旗杆与它在地面上 的影子成多少度角?随着时间的变化, 影子的位置会移动, 而旗杆与影子所成的角度是否会 发生改变呢? 然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题:从直线与直线垂直、直线与平面平 行等的定义过程得到启发, 能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个 平面垂直呢? 教师演示 A, B 两点关于一条直线 l 对称的模型,请学生观察并提出以下问题:如果 A, B 是空间中的两点, 试问在空间中线段 AB 的垂直平分线有多少条? AB 的这些垂直平分线构 成的集合是怎样的图形?固定线段 AB ,让 l 保持与 AB 垂直并绕直线 AB 在空间旋转,轨 迹是怎样的图形?组织学生交流讨论,概括直线与平面垂直定义。 如果一条直线( AB )与一个平面(α )相交于一点 O ,并且和这个平面内过交点 O 的 任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫做平面的垂线,这个 平面叫做支线的垂面,交点叫做垂足。 结合前面空间直线垂直的定义师生共同得到线面垂直的一条性质: 如果一条直线垂直于 一个平面,那么它就和这个平面内任意一条直线垂直。 直线 l 垂直于平面 ? 记作 l ⊥ ? ,并对画示表示进行说明。 二、线面垂直的判定定理 老师提出问题,让学生思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有 没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)通过试验,探究定理 准备一个三角形纸片,三个顶点分别记作 A , B , C .如图,过△ ABC 的顶点 A 折叠纸 片,得到折痕 AD ,将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上. (使 BD 、 DC 边与桌面接触)

l

?

P

A

A

B

D 图1

C

B 图2

D

C

问题 1:折痕 AD 与桌面一定垂直吗? 又问:为什么折痕不一定与桌面垂直?(引导学生根据定义进行回答) 设计意图:从另一个角度理解定义:如果想说一条直线与平面不垂直,只需要在平面内找到 一条直线与它不垂直就够了. 问题 2:如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 ? 垂直? 又问:为什么折痕与桌面是垂直的?(引导学生根据定义进行确认) 以折痕 AD 为轴转动纸片,来说明 AD 与平面 ? 内过 D 点的所有直线都垂直,平面 ? 内不 过 D 点的直线,可以通过平移到 D 点,说 明它们与 AD 都垂直,于是符合直线与平面 垂直的定义. 教师再用课件将上述过程进行动画演 示(如右图) ,然后引导学生归纳出直线与 平面垂直的判定定理.进一步引导学生对判 定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认. (3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面) ,进 行合情推理,获得判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此 平面垂直。 问题 3: (1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直,能判断此直线和平面垂直吗? (2)定理条件中的两条直线必须相交吗? 要求学生摆出反例模型进行说明,让学生在操作过程中,确认并理解判定定理的条件. 设计意图:通过折纸试验,让学生在发现定理的过程中,不仅有直观上的感知,提高了几何 直观能力,而且通过理性的说理,增加了逻辑思维的成分.

最后,引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定 定理. 文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 符号语言: l ? a , l ? b , a ? ? , b ? ? , a ? b ? A ? l ? ? . 图形语言:

l
a

?

b

A

(4)知识升华:如果直线 l 与平面 ? 垂直,改变直线的位置,是否仍保持垂直的关 系?如何移动直线,直线始终和平面垂直?引出推论: 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。 老师特别强调:①把该定理内容用符号语言书写应如何写? ②定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; ③定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数 学思想。 (三) 、应用定理,加深理解 例 1 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)正方体 ABCD ? A B C D 中,棱 BB 和底面 ABCD 垂直.
' ' ' '
'

(2)正三棱锥 P ? ABC 中, M 为棱 BC 的中点,则棱 BC 和平面 PAM 垂直.

D' A' B'

C'

P

D A B

C

A M B

C

设计意图:此题两问都是对判定定理的直接应用,第一问定理条件通过观察即可得到,目的

是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述; 第二问定理条件需要用平面几 何的知识才能得到. 例 2 求证:如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与该平面垂直. 分析:首先需要把文字语言叙述的命题分别用符号语言和图形语言叙述出来. 欲证线面垂直,需证线与面内两条相交直线垂直;而已知线面垂直,可得线线垂直,所以, 在平面内两条相交直线

m, n 作为辅助线,命题可证.

a

已知: a // b , a ? ? , 求证: b ? ? . 证明:在平面 ? 内作两条相交直线

b

m, n .

因为直线 a ? ? ,根据直线与平面垂直的定义知

m

a ? m, a ? n .
又因为 a // b ,所以

?

n

A

b ? m,b ? n .

又因为 m ? ? , n ? ? , m , n 是两条相交直线, 所以 b ? ? . 设计意图:此题是课本上的一个例题,使用时改用文字语言叙述,目的是让学生在文字 语言、符号语言、图形语言的转化上得到训练;此题重视对学生思维策略的引导和启发,培 养学生的逻辑推理能力;同时规范证明题的书写. 例 3 如图, AC 是 Rt△ ABC 的斜边,过 A 点作△ ABC 所在平面的垂 线 PA ,连 PB 、 PC .问:图中有多少个直角三角形? 分析:说明 ?PAB 、 ?PAC 为直角是比较容易的. 证明 ?PBC 是直角有两种方法:一是通过线线与线面之间垂直关系的 相互转化得出 ?PBC 是直角;二是依据勾股定理的逆定理,通过计算 证明△ PBC 是直角三角形. 设计意图:通过对△ PBC 是直角三角形进行证明,意在培养学生熟练进行线线和线面之间 垂直关系的转化,从而准确和灵活地应用判定定理和定义. (四)归纳小结,课后思考

P

A B

C

小结:采用师生对话形式,完成下列问题: ① 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。 ② 直线与平面垂直的判定定理,体现的教学思想方法是什么? (五)课后作业: (1)阅读课本相关内容进行复习; (2)教材 55 页练习 B:3、4 题 (3)思考题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和这个平面 垂直,这个结论对吗?为什么? 教学反思 通过教学我清楚的认识到学生在学习之前已经储备了很多立体几何知识, 他们有能力参 加教学,学生的知识虽然很多,但有局限性。通过老师的教,使知识得以扩展。本节课中, 已充分地认识到这一点, 所以在教学中尽量发挥了学生想象能力, 也体现了新课程中新的理 念。 (一)对情境创设的反思 本节课是新授课,以问题形式创建的情境,其中以幻灯片媒介,通过生活中的实例引出 线面垂直的定义,再进一步探讨线面垂直的性质,从而揭示只限于平面垂直的本质,因此带 着疑问开始了这节课,紧紧的吸引了学生的兴趣。 (二)对学生回答踊跃,师生合作的反思 让学生发现问题并提出疑问,教师引导回答,有利于提高学生进取精神。本节课中,我 提出问题, 学生立刻展开激烈讨论, 便于学生对问题有着更深刻的理解, 在解决问题的同时, 学生又会发现新的问题,然后积极探索,大胆猜想,寻找解决问题的方案,充分调动了学生 的思维,培养了学生分析问题、解决问题的能力。 (三)对于评价学生的反思 对于学生的回答一定要鼓励与肯定,而对于学生错误的回答,既要指出不足,但不可损 伤其自尊心和自信心。例如,在解决某一问题时,很可能有学生想不到简单的算法而走了弯 路,老师要给予肯定,并加以讲解使其理解预期要求的算法。在新课标下,我们的学生应该 是自由的、真实的、快乐的、幸福的。我们的数学课堂教学,我们老师也应该从数学的实际 出发给我们的孩子自由、真实、快乐、幸福。 总之,本节课已达到了预期效果,学生已经能利用线面垂直的判定定理解决问题,对于

激发学习兴趣起到良好作用,但是还有许多不足的地方,例如,学生没有动手自己画图的主 动性,对自己的判断不敢做正确评价只是小声嘀咕,自信心不是很足,在以后地教学中教师 应多鼓励。


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