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2015年高考数学文科预测试卷及答案(天津卷)

时间:2015-06-05


2015 年天津市高考数学(文科)模拟试卷
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.i 是虚数单位, A. 1 ? 2i

5i ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2?i
B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D. ?1 ? 2i

? x ? y ? 3, ? 2.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 ? y ? 1, ?
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2

3.设集合 A ? x ? R x ? 2 ? 0 , B ? x ? R x ? 0 , C ? x ? R x ? x ? 2 ? ? 0 “ x ? C ”的( ). A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.已知 a=21.2, b ? ( A.c<b<a C.b<a<c

?

?

?

?

?

?

,则“ x ? A

B ”是

B .必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ?0.8 ) ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( 2
B.c<a<b D.b<c<a

)

5.设 ?an ?是首项为 a1 , 公差为 ? 1 的等差数列, 若 S1,S2,S4, 成等比数列, 则 a1 = ( Sn 为其前 n 项和, A.2 B.-2 C.



1 2

D .

1 2


6.已知抛物线 C: y 2 ? x 的焦点为 F,A ( x0 , y0 ) 是 C 上一点,|AF|= x0 , x0 =( A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

7.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a=(

).

1 A. ? 2

B.1

C.2

1 D. 2


8.若函数 f(x)=kx﹣lnx 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,﹣1] C. [2,+∞)

D. [1,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡的相应位置. 9.集合 A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为__________.

10.一个几何体的三视图如右图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为

m3 .

11. 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 方 程 是 y ? 3x , 它 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 a 2 b2

y 2 ? 16 x 的焦点相同。则双曲线的方程为

12.数列{an}满足 an+1=

,a8=2,则 a1=



13.若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ?

1 2 CB ? CA ,则 MA ? MB ? _________ 6 3

14.设函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 编号分别为 A 1, A 2, 运动员编号 得 分

, A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

运动员编号 得 分

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

(Ⅰ) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: 区间 人数 (Ⅱ) 从得分在区间 ?20,30? 内的运动员中随机抽取 2 人, (ⅰ) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ) 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

?10,20?

?20,30?

?30,40?

16.(本小题满分 13 分) 在 ? ABC 中,

AC cos B ? 。 AB cos C
1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

17.(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 平 面 A B C D,

AD ? CD , DB 平分 ?ADC , E 为的 PC 中点, AD ? CD ? 1, DB ? 2 2
(1)证明: PA // 平面 BDE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明: AC

? 平面 PBD

(3)求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正切值

18.(本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 5 ? 2 ? 1 a>b>0),点 P( a )在椭圆上. a, 2 a b 2 5

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点.若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率的值.

19.(本小题满分 14 分)

? x3 ? ? a ? 5? x,x ? 0, ? 设 a∈[-2,0],已知函数 f ? x ?=? 3 a ? 3 2 x ? ax,x ? 0. ?x ? ? 2
(1)证明 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增; (2)设曲线 y=f(x)在点 Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且 x1x2x3≠0.证明 x1+x2+x3> ?

1 . 3

20.(本小题满分 14 分) 已知首项为

3 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. 2

(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明 S n ?

1 13 ? (n∈N*). Sn 6

2015 年天津市高考数学(文科)模拟试卷参考答案
1.【答案】D 2.【答案】B

3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】-3 10.【答案】4

x2 y2 ? ?1 11.【答案】 4 12
1 12.【答案】 2
13.【答案】-2 14.【答案】x≤8 15.【解析】(Ⅰ) 区间 人数

?10,20?
4

?20,30?
6

?30,40?
6

(Ⅱ) (ⅰ)得分在区间 ?20,30? 内的运动员编号为

A3 , A4 , A5 , A10 , A11 , A13 .
从得分在区间 ?20,30? 内的运动员中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果为

? A3 , A4? , ? A3 , A5? , ? A3 , A10? , ? A3 , A11? , ? A3 , A13? , ? A4 , A5? , ? A4 , A10? , ? A4 , A11? , ?A4 , A13? , ? A5 , A 1?0, ? A5 , A11? , ? A5 , A13? , ?A1 ,0 A ?1 , 1 ?A 10 , A 13? , ?A1 ,1A ?1 . 3
共 15 种. (ⅱ) 记“从得分在区间 ?20,30? 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50 ”为事件 B . 这 2 人得分之和大于 50 的所有可能结果有 ? A4 , A5? ,? A4 , A 10 ? ,? A 4, A 11? ,? A 5, A 10 ? ,? A 10 , A 11?

共 5 种. 所以 P ? B ? ?

5 1 ? . 15 3
sin B cosB = .于是 sin B cos C ? cos B sin C ? 0 , sin C cosC

16. 【解析】 (Ⅰ) 证明: 在△ABC 中, 由正弦定理及已知得 即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C.

(Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)= ? cos A = 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

7 4 2 2 2 ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 Bcos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 。 18

17.【解析】证明:设 AC ? BD ? H ,连结 EH,在 ?ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分 ?ADC ,所以 H 为 AC 的中点,又有题设,E 为 PC 的中点,故 EH // PA ,又

HE ? 平面BDE, PA ? 平面BDE,所以 PA // 平面BDE
(2)证明:因为 PD ? 平面ABCD , AC ? 平面ABCD ,所以 PD ? AC 由(1)知, BD ? AC , PD ? BD ? D, 故 AC ? 平面PBD (3)解:由 AC ? 平面PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以 ?CBH 为直线与平面 PBD 所成的 角。 由 AD ? CD ,

AD ? CD ? 1, DB ? 2 2 , 可得DH ? CH ?

2 3 2 , BH ? 2 2

在 Rt ?BHC 中,

tan ?CBH ?

1 CH 1 ? BH 3 ,所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 3 。

b2 5 a2 a2 2 5 a )在椭圆上,故 2 ? 2 ? 1 ,可得 2 ? . a, a 8 5a 2b 2 5 2 2 2 a ?b b 3 6 2 ? 1 ? 2 ? ,所以椭圆的离心率 e ? 于是 e ? . 2 a a 8 4
18.【解析】(1)因为点 P(

(2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx,设点 Q 的坐标为(x0,y0).

? y0 ? kx0 , ? 由条件得 ? x 2 y 2 消去 y0 并整理得 0 0 ? ? 1, ? 2 b2 ?a a 2b 2 x0 2 ? 2 2 .① k a ? b2
x0 ?

由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及 y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2,整理得(1+k2)x02+2ax0=0,而 x0≠0,故
2 ?2a 2 2 2 a ,代入 ① ,整理得 (1 + k ) = 4 k · +4. 1? k 2 b2 32 2 a2 8 由(1)知 2 ? ,故(1+k2)2= k +4, 5 b 5

即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5. 所以直线 OQ 的斜率 k ? ? 5 .

19.【解析】证明:(1)设函数 f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)= x ?
3

①f1′(x)=3x2-(a+5),由 a∈[-2,0],从而当-1<x<0 时,f1′(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函 数 f1(x)在区间(-1,0]内单调递减. ②f2′(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于 a∈[-2,0],所以当 0<x<1 时,f2′(x)<0;当 x>1 时, f2′(x)>0.即函数 f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. 综合①,②及 f1(0)=f2(0),可知函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知 f′(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间 ? 0,

a?3 2 x ? ax (x≥0), 2

? ?

a ?3? ? a?3 ? , ? ? ? 内单 ? 内单调递减,在区间 ? 6 ? ? 6 ?

调递增. 因为曲线 y=f(x)在点 Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而 x1,x2,x3 互不相等,且 f′(x1)=f′(x2) =f′(x3).不妨设 x1<0<x2<x3,由 3x12 -(a+5)= 3x22 -(a+3)x2+a= 3x32 -(a+3)x3+a, 可得 3x22 ? 3x32 -(a+3)(x2-x3)=0,解得 x2+x3= 设 g(x)=3x2-(a+3)x+a,则 g ?

a?3 a?3 ,从而 0<x2< <x3. 3 6

? a ?3? ? <g(x2)<g(0)=a. ? 6 ? 2a ? 5 由 3x12 -(a+5)=g(x2)<a,解得 ? <x1<0, 3 2a ? 5 a ? 3 所以 x1+x2+x3> ? , ? 3 3 3t 2 ? 5 2a ? 5 设 t= ,则 a= , 2 3 ? 3 15 ? , 因为 a∈[-2,0],所以 t∈ ? ?, 3 ? ? 3 1 3t 2 ? 1 1 1 1 ? (t ? 1) 2 ? ? ? ,即 x1+x2+x3> ? . 故 x1+x2+x3> ?t ? 3 6 2 3 3
20.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3,于是 q ?

a4 1 ?? . a3 2

又 a1=

3 3 ? 1? ,所以等比数列{an}的通项公式为 an ? ? ? ? ? 2 2 ? 2?
n

n ?1

? (?1)n?1 ?

3 . 2n

? 1? (2)证明: Sn ? 1 ? ? ? ? , ? 2?
1 ? 2 ? n n ?1 ,n为奇数, ? 1 1 ? 2 ?2 ? ? 1? ?? Sn ? ? 1 ? ? ? ? ? n 1 Sn ? 2? ? 1? ?2 ? ,n为偶数. 1? ? ? ? n n ? ? 2 ? 2 ? 1? ? 2? 1 1 1 13 当 n 为奇数时, Sn ? 随 n 的增大而减小,所以 Sn ? ? S1 ? = . Sn Sn S1 6 1 1 1 25 当 n 为偶数时, Sn ? 随 n 的增大而减小,所以 Sn ? ? S2 ? = . Sn Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N*,有 S n ? ? . Sn 6
n


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