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高中数学选修2-2导数导学案


§ 1.1.1
【学习要求】

函数的平均变化率导学案

2.一物体的运动方程是 s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________ 3.甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示,治污效果较好的是________.

1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的

平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.

【学法指导】
从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率,也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.

【课堂小结】
1.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢;平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率,在实际问 题中表示事物变化的快慢. 2.求函数 f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); Δy f ( x2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率 = . Δx x ?x
2 1

【知识要点】
1.函数的平均变化率:已知函数 y=f(x),x0,x1 是其定义域内不同的两点,记 Δx= = ,则当 Δx≠0 时,商 ,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0) .

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) =____叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+Δx 之间的 ?x

Δy 2.函数 y=f(x)的平均变化率的几何意义: =__________ Δx 表示函数 y=f(x)图象上过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的割线的 .

【拓展提高】
1.设函数 y ? f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 ? ?x 时,函数的改变量 ?y 为( A. f ( x0 ? ?x)
2

【问题探究】
在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用数学反映山坡 的平缓与陡峭程度呢?下面我们用函数变化的观点来研究这个问题. 探究点一 函数的平均变化率 问题 1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度? 问题 2 什么是平均变化率,平均变化率有何作用? 例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,试分别计算从出 生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率. 问题 3 平均变化率有什么几何意义? 跟踪训练 1 如图是函数 y=f(x)的图象,则: (1)函数 f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.



B. f ( x0 ) ? ?x

C. f ( x0 )?x

D. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )

2.质点运动动规律 s ? t ? 3 ,则在时间 (3,3 ? ?t ) 中,相应的平均速度为( ) 9 A. 6 ? ? t B. 6 ? ?t ? C. 3 ? ? t D. 9 ? ? t ?t

探究点二 求函数的平均变化率 例 2 已知函数 f(x)=x2,分别计算 f(x)在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]. 跟踪训练 2 分别求函数 f(x)=1-3x 在自变量 x 从 0 变到 1 和从 m 变到 n(m≠n) 化率. 问题 一次函数 y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?

时的平均变

探究点三 平均变化率的应用 例 3 甲、乙两人走过的路程 s1(t),s2(t)与时间 t 的关系如图,试比较两人的平均 速度哪个 大? 跟踪训练 3 甲用 5 年时间挣到 10 万元,乙用 5 个月时间挣到 2 万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

【当堂检测】
1.函数 f(x)=5-3x2 在区间[1,2]上的平均变化率为__________
1

§ 1.1.2
【学习要求】

瞬时速度与导数导学案

探究点三

导数的实际应用
0

例 3 一正方形铁板在 0℃时, 边长为 10 cm , 加热后铁板会膨胀.当温度为 t C 时, 边长变为 10(1+at) cm , a 为常数, 试求铁板面积对温度的膨胀率. 跟踪训练 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第 x h 时,原油的
0 温度(单位: C )为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意

1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义. 2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率. 3.理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法. 4.理解并掌握开区间内的导数的概念,会求一个函数的导数.

【学法指导】
导数是研究函数的有力工具, 要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系, 体会无限逼近的思想; 可以从物理意义, 几何意义多角度理解导数.

义.

【当堂检测】
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数定义中,自变量 x 在 x0 处的增量 Δx ( A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.不等于 0 )

【知识要点】
1.瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度称为 . 设物体运动路程与时间的关系是 s=s(t), 物体在 t0 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均变化

1 2.一物体的运动方程是 s= at2(a 为常数),则该物体在 t=t0 时的瞬时速度是 ( 2 A.at0 B.-at0 1 C. at0 2 D.2at0 )

)

s(t 0 ? ?t ) ? s (t 0 ) Δs 率 ,当 Δt→0 时的极限,即 v= lim =__________________ Δt ?t Δt→0
2.瞬时变化率:一般地,函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变化率是 lim
Δx→0

3 3.已知 f(x)=-x2+10,则 f(x)在 x= 处的瞬时变化率是 ( 2 A.3 4.已知函数 f(x)= B.-3 C.2 D.-2 1 ,则 f ?(1) =________ x

Δy =_________________. Δx

3.导数的概念:一般地,函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变化率是_________________,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处 Δy 的 ,记为 ,即 f′(x0)= lim =________________ Δx Δx→0 4.导函数:如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则称 f(x)在区间(a,b) .这样,对开区间(a,b)内每 个值 x,都对应一个确定的导数 f ?( x) ,于是在区间(a,b)内, f ?( x) 构成一个新的函数,把这个函数称为函数 y=f(x) 的 记为 . 或 y′(或 y′x).导函数通常简称为

【课堂小结】
1.瞬时速度是平均速度当 Δt→0 时的极限值;瞬时变化率是平均变化率当 Δx→0 时的极限值. 2.利用导数定义求导数的步骤: (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy (2)求平均变化率 ; Δx (2)取极限得导数 f′(x0)= lim
Δx→0

【问题探究】
探究点一 瞬时速度 问题 1 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h(单位:m )与起跳后的时间 t(单位: s)存在函数关系 h(t)=-4.9t2 +6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度 v 粗略地描述其运动状态? 问题 2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态? 问题 3 如何描述物体在某一时刻的运动状态? 例 1 火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到 100 m / s .试问熄火后多长时间火箭向上速度为 0? 问题 4 火箭向上速度变为 0,意味着什么?你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗? 跟踪训练 1 质点 M 按规律 s(t)=at2+1 做直线运动(位移单位: m ,时间单位: s ).若质点 M 在 t=2 时的瞬时速度为 8 m / s ,求常数 a 的值. 探究点二 导 数 问题 1 从平均速度当 Δt→0 时极限是瞬时速度,推广到一般的函数方面,我们可以得到什么结论? 问题 2 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用? 问题 3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系? 例 2 利用导数的定义求函数 f(x)=-x2+3x 在 x=2 处的导数. 跟踪训练 2 已知 y=f(x)= x+2,求 f′(2).
2

Δy . Δx

【拓展提高】
1. 设f ??3? ? 4, 则 lim
h ?0

f ?3 ? h ? ? f ?3? 为( 2h

) D.1 )

A.-1

B.-2

C.-3

1 4 3 2 2.一质点做直线运动,由始点起经过 t s 后的距离为 s ? t ? 4t ? 16t ,则速度为零的时刻是 ( 4
A.4 s 末 B .8 s 末 C.0 s 与 8 s 末 D.0 s ,4 s ,8 s 末

§ 1.1.3
【学习要求】

导数的几何意义导学案

1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义. 2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.

【学法指导】
前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想,本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想,并进一步 体会另一种重要思想——以直代曲.

【知识要点】
1.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y=f(x)的图象如图所示,AB 是过点 A(x0,f(x0))与点 B(x0+Δx,f(x0+Δx)) Δy 的一条割线,此割线的斜率是 =__________________. Δx 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB 绕点 A 转动,它的最终位置为直线 AD,这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处 的 .于是,当 Δx→0 时,割线 AB 的斜率无限趋向于在点 A 的切线 AD 的斜率 k ,即 k = = ___________________. (2)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 .也就是说,曲线 y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 .相应地,切线方程为_______________________. 2.函数的导数 当 x=x0 时, f′(x0)是一个确定的数, 则当 x 变化时, f ?( x) 是 x 的一个函数, 称 f ?( x) 是 f(x)的导函数(简称导数). f ?( x) 也记作 y′,即 f ?( x) =y′=_______________

探究点二 求切线的方程 问题 1 怎样求曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程? 问题 2 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同? 例 2 已知曲线 y=x2,求: (1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)曲线过点 P(3,5)的切线方程. 跟踪训练 2 已知曲线 y=2x2-7,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x-y-2=0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程.

【当堂检测】
1.已知曲线 f(x)=2x2 上一点 A(2,8),则点 A 处的切线斜率为 ( ) A.4 B.16 C.8 D.2 2 2.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 ( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 2 3.已知曲线 y=2x +4x 在点 P 处的切线斜率为 16,则 P 点坐标为_______

【课堂小结】
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k= lim
Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? =f′(x0),物理意 Δx

【问题探究】
探究点一 导数的几何意义 问题 1 如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么?

义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切 关系,f′(x0)是其导数 y=f′(x)在 x=x0 处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.

【拓展提高】
,f (1)) 处的切线方程是 y ? 1.已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1
问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点? 例 1 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图象. 根据图象, 请描述、比较曲线 h(t)在 t0,t1,t2 附近的变化情况. 跟踪训练 1 (1)根据例 1 的图象,描述函数 h(t)在 t3 和 t4 附近增(减)以及增(减)快慢的情况. (2)若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能 是 ( )
2

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2

2.设 P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,则点 P 横坐标的取 4 值范围为

? ?? ? ?

3

例 1 求下列函数的导数:

§ 1.2.1 § 1.2.2
【学习要求】

常数函数与幂函数的导数导学案 导数公式表及数学软件的应用导学案

π (1)y=sin ; 3

(2)y=5x;

1 (3)y= 3; x

4 (4)y= x3;

(5)y=log3x.

跟踪训练 1 求下列函数的导数: (1)y=x8; 1 (2)y=( )x; 2 (3)y=x x; (4) y ? log1 x
3

1 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y= 的导数. x
2

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

【学法指导】
1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式,类推一般多项式 函数的导数公式,体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础,记准公式是学好本章内容的关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系.

探究点二 求某一点处的导数 例 2 判断下列计算是否正确. π? ? π? π π 3 cos ′=-sin =- . 求 f(x)=cos x 在 x= 处的导数,过程如下:f′? = 3 3 ? ? ? ? 3 3 2 跟踪训练 2 求函数 f(x)= 1 3 在 x=1 处的导数.

x 上求一点 P, 使△ABP

【知识要点】
1.几个常用函数的导数 原函数 f(x)=c f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)= x f(x)= x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 y=c y=xn(n∈N+) y=x (x>0,μ≠0 且 μ∈Q) y=sin x y=cos x y=a (a>0,a≠1) y=ex y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=ln x
x μ

导函数 f′(x)=___ f′(x)=___ f′(x)=___ f′(x)=_____ f′(x)=_______ 导函数 y′=____ y′=______ y′=_______ y′=________ y′=________ y′=________ y′=_____ y′=______ y′=______

探究点三 导数公式的综合应用 例 3 已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交于 A、 B 两点, O 是坐标原点, 试在抛物线的弧 的面积最大. 跟踪训练 3 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.

【当堂检测】
1.给出下列结论: 1 3 13 1 3 - ①若 y= 3,则 y′=- 4;②若 y= x,则 y′= x;③若 y= 2,则 y′=-2x 3;④若 f(x)=3x,则 f′(1)=3. x x 3 x 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C .3 D.4 2.函数 f(x)= x,则 f′(3)等于 ( A. 3 6 B.0 ) C. 1 3 D. 2 2 x 3.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是 π 3π A.[0, ]∪[ ,π) 4 4 B.[0,π) π 3π C .[ , ] 4 4 π π 3π D.[0, ]∪[ , ] 4 2 4

(

)

4.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________

【课堂小结】
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观 察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. x x 如求 y=1-2sin2 的导数.因为 y=1-2sin2 =cos x,所以 y′=(cos x)′=-sin x. 2 2 3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.

【问题探究】
探究点一 求导函数 问题 1 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数? 问题 2 利用定义求下列常用函数的导数:

(1) y=c; (2)y=x; (3)y=x2; (4)y=x ; (5)y= x.
问题 3 利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个问 题?
4

1

【拓展提高】
1.若函数 f(x)=ex cos x,则此函数的图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( A.0°
3

)

B.锐角
2

C.直角

D.钝角

2.曲线 y=x +3x +6x-10 的切线中,斜率最小的切线方程为___________

§ 1.2.3
【学习要求】

导数的四则运算法则(一)导学案

【当堂检测】
1.设 y=-2exsin x,则 y′等于 ( ) x x A.-2e cos x B.-2e sin x C.2exsin x ) D.y=-2x+2 10 D. 3 D.-2ex(sin x+cos x)

1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.

x 2.曲线 f(x)= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2

【学法指导】
应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题. 要透彻理解函数求 导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,达到巩固知识、提升能力的目的.

A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 3 2 3.已知 f(x)=ax +3x +2,若 f′(-1)=4,则 a 的值是( ) 19 A. 3 16 B. 3 13 C. 3

【知识要点】
导数的运算法则 设两个可导函数分别为 f(x)和 g(x) 两个函数的 和的导数 两个函数的 差的导数 两个函数的 积的导数 两个函数的 商的导数 [f(x)+g(x)]′=________________ [f(x)-g(x)]′=_________________

1 4.已知 f(x)= x3+3xf′(0),则 f′(1)=_______ 3 5.已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求 a、b、c 的值.

【课堂小结】
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分 析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法则,联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适 当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

? f ( x) g ( x)?? =____________________
? ? f ( x) ? ? g ( x) ? =___________________ ? ?

【问题探究】
探究点一 导数的运算法则 问题 1 我们已经会求 f(x)=5 和 g(x)=1.05x 等基本初等函数的导数, 那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、 差、 积、 商的导数呢? 问题 2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点? 例 1 求下列函数的导数: (1)y=3x-lg x; (2)y=(x2+1)(x-1); (3)y= x5+ x7+ x9 . x sin x . 1+sin x

跟踪训练 1 求下列函数的导数: (1)f(x)=x· tan x; x (2)f(x)=2-2sin2 ; 2 x-1 (3)f(x)= ; x+1 (4)f(x)=

探究点二 导数的应用 例 2 (1)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为_______________ (2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线 斜率为 2,则点 P 的坐标为________ t-1 (3)已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)= 2 +2t2(位移单位: m ,时间单位:s),求 t=3 s 时物体的瞬时速度. t 跟踪训练 2 (1)曲线 y= 1 A.- 2 π ? sin x 1 - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为 ( sin x+cos x 2 1 B. 2 C.- 2 2 D. 2 2 )

1 a (2)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1,确定 b、c 的值. 3 2

5

§ 1.2.3
【学习要求】

导数的四则运算法则(二)导学案

【当堂检测】
1.函数 y=(3x-2)2 的导数为 ( ) A.2(3x-2) B.6x C.6x(3x-2) D.6(3x-2) 2 2.若函数 y=sin x,则 y′等于 ( ) A.sin 2x B.2sin x C.sin xcos x D.cos2x 3.若 y=f(x2),则 y′等于 ( ) 2 2 A.2xf′(x ) B.2xf′(x) C.4x f(x) D.f′(x2) 4.设曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=________.

1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2. 能够利用复合函数的求导法则, 并结合已经学过的公式、 法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如 f(ax+b)的导数).

【学法指导】
复合函数的求导将复杂的问题简单化,体现了转化思想;学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程.

【知识要点】
复合函数的概念 复合函数的求导 法则 一般地, 对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x), 如果通过变量 u, y 可以表示成 那么称这个函数为 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作 . ,

【课堂小结】
1.求简单复合函数 f(ax+b)的导数 2.求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数 y=f(u),u=ax+b 的形式,然后 再分别对 y=f(u)与 u=ax+b 分别求导,并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为 y=f(u),u=ax+b 的形式是 关键.

复 合 函 数 y = f(g(x)) 的 导 数 和 函 数 y = f(u) , u = g(x) 的 导 数 间 的 关 系 为 yx′ = . 即 y 对 x 的导数等于___________________________________.

【问题探究】
探究点一 复合函数的定义 问题 1 观察函数 y=2xcos x 及 y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数组成的? 问题 2 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系? 问题 3 在复合函数中,内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有何关系? 例 1 指出下列函数是怎样复合而成的: (1)y=(3+5x)2; (2)y=log3(x2-2x+5); (3)y=cos 3x.

【拓展提高】
1 . 已知函数

f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x 2 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立, p?q

则实数 a 的取值范围为____________

跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成: (1)y=ln x; (2)y=esin x; (3)y=cos ( 3x+1).

探究点二 复合函数的导数 问题 如何求复合函数的导数? 例 2 求下列函数的导数: (1)y=(2x-1)4; (2)y= 1 ; 1-2x π (3)y=sin(-2x+ ); 3 (4)y=102x 3.


跟踪训练 2 求下列函数的导数. 1 (1)y=ln ; x (2)y=e3x; (3)y=5log2(2x+1).

探究点三 例3

导数的应用
+1

求曲线 y=e2x

1 在点(- ,1)处的切线方程. 2

跟踪训练 3 曲线 y=e2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 5,求直线 l 的方程.

6

§ 1.3.1
【学习要求】

利用导数判断函数的单调性导学案

1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情况,怎样反映函数 y=f(x)增减的快慢呢?你能否从导数的角度解 释变化的快慢呢? 例 3 如图,设有圆 C 和定点 O,当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角度不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影部 分的面积 S 是时间 t 的函数,它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种? ( )

【学法指导】
结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系,体会数形结合思想,以直代曲思想.

【知识要点】
一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系: 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调递___ 单调递____ 常函数 跟踪训练 3 (1)如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与 各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

【问题探究】
探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系 问题 1 观察下面四个函数的图象,回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系?

(2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象只可能是 ( 问题 2 若函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么 f′(x)一定大于零吗? 问题 3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?试写出问题 1 中(4)的单调 区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系? 例 1 已知导函数 f′(x)的下列信息: 当 1<x<4 时,f′(x)>0;当 x>4 或 x<1 时,f′(x)<0;当 x=4 或 x=1 时,f′(x)=0. 试画出函数 f(x)图象的大致形状. 跟踪训练 1 函数 y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数 f′(x)图象的大致形状.

)

【当堂检测】
1.函数 f(x)=x+ln x 在(0,6)上是 ( A.单调增函数 ) B.单调减函数 1? ?1 ? D.在? ?0,e?上是增函数,在?e,6?上是减函数 )

1? ?1 ? C.在? ?0,e?上是减函数,在?e,6?上是增函数

2. f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,若 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是(

例 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-4x2+x-1; (2)f(x)=2x(ex-1)-x2; (3)f(x)=3x2-2ln x. 跟踪训练 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x2-ln x; (2)f(x)= ex ; (3)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x<2π). x-2
7

3.函数 f(x)=ln x-ax(a>0)的单调增区间为 ( 1? A.? ?0,a? 1 ? B.? ?a,+∞?

) D.(0,a)

C.(0,+∞)

4. (1)函数 y=x2-4x+a 的增区间为_________,减区间为___________ (2)函数 y=x3-x 的增区间为_______________________,减区间为_____________

【课堂小结】
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程 度. 2.利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.

【拓展提高】
1.已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3
.

(1)若函数的单调递减区间是 (?3,1) ,则 a 的是 (2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是

2.函数 f(x)的定义域为 R ,且满足 f(2)=2, f ?( x) >1,则不等式 f(x)-x>0 的解集为_______ 3.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是_______ 1 4.设函数 f(x)=x- -aln x. x (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线被圆 x2+y2=1 截得的弦长为 2,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在其定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围;

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§ 1.3.2
【学习要求】

利用导数研究函数的极值导学案

探究点三 函数极值的综合应用 例 3 设函数 f(x)=x3-6x+5,x ? R . (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实根,求实数 a 的取值范围.

1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.

【学法指导】
函数的极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”,通过研究极 值初步体会函数的导数的作用.

跟踪训练 3 若函数 f(x)=2x3-6x+k 在 R 上只有一个零点,求常数 k 的取值范围.

【当堂检测】
1.“函数 y=f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在这点取得极值”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列函数存在极值的是 ( ) 1 A.y= x B.y=x-ex C.y=x3+x2+2x-3 D.y=x3

【知识要点】
1.极值的概念 已知函数 y=f(x),设 x0 是定义域(a,b)内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x,都有 ,则称函数 f(x)在点 x0 处取 ,记作 y 极大=f(x0),并把 x0 称为函数 f(x)的一个 .如果都有 ,则称函数 f(x)在点 x0 处取 ,记作 y 极小=f(x0),并把 x0 称为函数 f(x)的一个 .极大值与极小值统称为 . 极大值点与极小值点统称为 2.求可导函数 f(x)的极值的方法 (1)求导数 f′(x); (2)求方程 的所有实数根; (3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数 f′(x)的符号如何变化. ①如果 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极 值. ②如果 f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是极 值. ③如果在 f′(x)=0 的根 x=x0 的左右两侧符号不变,则 f(x0)

3.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ( ) A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1 或 a>2 D.a<-3 或 a>6 x 4.设 a∈ R ,若函数 y=e +ax,x∈ R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为__________

5.直线 y=a 与函数 y=x3-3x 的图象有三个相异的交点,则 a 的取值范围是________

【课堂小结】
1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值. 2. 函数的极值是函数的局部性质. 可导函数 f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0 且在 x0 两侧 f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.

【问题探究】
探究点一 函数的极值与导数的关系 问题 1 如图观察,函数 y=f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些

【拓展提高】
3 2 1.已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值 点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? 问题 2 函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗? 问题 3 若某点处的导数值为零,那么,此点一定是极值点吗?举例说明. 例 1 求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的极值. 3 跟踪训练 1 求函数 f(x)= +3ln x 的极值. x 探究点二 利用函数极值确定参数的值 问题 已知函数的极值,如何确定函数解析式中的参数? 例 2 已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值. 跟踪训练 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
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3 2.若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 极值 ?

4 , 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围

§ 1.3.3
【学习要求】

利用导数研究函数的最值导学案

跟踪训练 2 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值. 探究点三 函数最值的应用 问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系? 例3 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-x+1.若 xf′(x)≤x2+ax+1 恒成立,求 a 的取值范围.

1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会用导数求某定义域上函数的最值.

【学法指导】
弄清极值与最值的区别是学好本节的关键. 函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数 在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较. 跟踪训练 3 设函数 f(x)=2x3-9x2+12x+8c,若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围.

【知识要点】
1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函 数的最值必在 处或 处取得. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求 f(x)在开区间(a,b)内所有使 的点; (2)计算函数 f(x)在区间内 和______的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

【当堂检测】
1.函数 y=f(x)在[a,b]上 ( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 3 2.函数 f(x)=x -3x(|x|<1) ( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 π ? 3.函数 y=x-sin x,x∈? ?2,π?的最大值是 A.π-1 π B. -1 2 ( C.π ) D.π+1

【问题探究】
探究点一 求函数的最值 问题 1 如图,观察区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?

4.函数 f(x)=x3-3x2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为 10,则其最小值为_______

【课堂小结】
问题 2 观察问题 1 的函数 y=f(x),你能找出函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x) 在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论? 问题 3 函数的极值和最值有什么区别和联系? 问题 4 怎样求一个函数在闭区间上的最值? 例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x -12x,x ? [-1,3];
3

1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;函数在一个开区间内只有一个极值,这个极值就 是最值. 2.含参数的函数最值,可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

1 (2)f(x)= x+sin x,x ? [0,2π] 2

【拓展提高】
1-x 1 ? 1.已知 a≤ +ln x 对任意 x∈? ?2,2?恒成立,则 a 的最大值为( x A.0 B.1 C.2 D .3 )

跟踪训练 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=x3+2x2-4x+5,x ? [-3,1];

(2)f(x)=ex(3-x2),x ? [2,5].

3 2 2.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1

(1)若函数 f ( x) 在 x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; 探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a). (1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值. (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在 ?? 3,1? 上的最大值; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增,求实数 b 的取值范围

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§ 1.3.4
【学习要求】

导数的实际应用导学案

1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.

题型三 省时高效、费用最低问题 例 3 如图所示,一海岛驻扎一支部队,海岛离岸边最近点 B 的距离是 150 km.在岸边距点 B 300 km 的点 A 处有一军 需品仓库.有一批军需品要尽快送达海岛.A 与 B 之间有一铁路,现用海陆联运方式运送.火车时速为 50 km,船时速 为 30 km,试在岸边选一点 C,先将军需品用火车送到点 C,再用轮船从点 C 运到海岛,问点 C 选在何处可使运输时间 最短?

【学法指导】
1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想. 2.感受导数知识在解决实际问题中的作用,自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想,提高分析问题、解决问题 的能力. 跟踪训练 3 如图所示,设铁路 AB=50,BC=10,现将货物从 A 运往 C,已知单位距离铁路费用为 2,公路费用为 4, 问在 AB 上何处修筑公路至 C,可使运费由 A 至 C 最省?

【知识要点】
1.在经济生活中,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等,需要寻求相应的 _____或 .这些都是最优化问题. 2.求实际问题的最大(小)值,导数是解决方法之一.要建立实际问题的 .写出实际问题中变量之间的函数 关系 y=f(x),然后再利用导数研究函数的

【问题探究】
题型一 面积、体积的最值问题 例 1 如图所示,现有一块边长为 a 的正方形铁板,如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体 形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?

跟踪训练 4 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关 a 系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. x-3 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【当堂检测】
1.方底无盖水箱的容积为 256,则最省材料时,它的高为 ( ) A.4 B.6 C.4.5 D.8 2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k>0).已知贷款的利 率为 0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为 x,x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则 x 的取值为多少? 3.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y = 1 3 x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米,当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 128 000 80

跟踪训练 1 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上,求这个矩形面 积最大时的边长.

最少?最少为多少升? 题型二 强度最大、用料最省问题 例 2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比.要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁, 断面的宽度和高度应是多少?

【课堂小结】
1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)找关系:分析实际问题中各量之间的关系; (2)列模型:列出实际问题的数学模型; (3)写关系:写出实际问题中变量之间的函数关系 y=f(x); (4)求导:求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (5)比较:比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (6)结论:根据比较值写出答案. 2.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.例如,长度、宽度应大 于零,销售价格应为正数,等等.
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跟踪训练 2 挖一条隧道,截面拟建成矩形上方加半圆,如果截面积为 20 m2,当宽为多少时,使截面周长最小,用料 最省?

习题课导学案
【学习要求】
1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想. 2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次).

题型三 导数的综合应用 例 3 已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由. 1 1? 跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)=4x3-ax+3 的单调递减区间是? ?-2,2?,则实数 a 的值是多少? 1 1? (2)若函数 f(x)=4x3-ax+3 在? ?-2,2?上是单调函数,则实数 a 的取值范围为多少?

【双基自测】
1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上 ( ) A.单调递增 B.单调递减 C.有最大值 D.有最小值 2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b)内有( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.不能确定 2 3.设函数 g(x)=x(x -1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ( ) A.-1 B.0 2 3 C.- 9 D. 3 3 )

【当堂检测】
1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是 ( ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1],(0,1) D.[-1,0),(0,1] 3 2 2.若函数 y=x +x +mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是 ( ) 1 ? A.? ?3,+∞? 1? B.? ?-∞,3? 1 ? C.? ?3,+∞? 1? D.? ?-∞,3? )

4.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能为 (

3.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(

5.若 f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的________________条件.

【问题探究】
题型一 函数与其导函数之间的关系 例 1 已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),则 y=f(x)的图象大致是 ( )

4.设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有( A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 1 5.函数 f(x)=x3- x2-2x+5,若对于任意 x∈[-1,2],都有 f(x)<m,则实数 m 的取值范围是__________ 2

)

【课堂小结】
导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例如函数的单调性、极值与最值等问题,都可以通过导 数得以解决.不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题,所以一定 要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.

【拓展提高】
跟踪训练 1 已知 R 上可导函数 y=f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0 的解集为 ( )
1 3 2 1.等差数列 ?an ? 中的 a1、a4005 是函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? ( 3



A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

1 2 2.函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ln x ? a 在区间 (0, 2) 上恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是_____ 2
A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1 例 2 设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x)= ,g(x)=f(x)+f′(x). x (1)求 g(x)的单调区间和最小值. 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系. x
3 2 3.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ( a, b, c ? R ) ,若函数 f ( x ) 在区间 [?1, 0] 上是单调减函数,则 a ? b 的最小值
2 2

是 4.已知函数 f ( x) ? ln( x ?

3 2 ) ? , g ( x) ? ln x. 2 x
1 x ? m 有实数根,求实数 m 的取值集合; 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)如果关于 x 的方程 g ( x) ?

跟踪训练 2 设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x ? R . (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.
12

(3)是否存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg( x) 有两个不相等的实数根?如果存在,求 k 满足的条件;如果不 存在,说明理由.

§1.5.1 曲边梯形面积与定积分(一)
【学习要求】
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功.

导学案

探究点二 求变力做功 问题 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系? 例 2 如图,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 e m 处,求克服弹力所做的功.

【学法指导】
曲边梯形的面积体现了“以直代曲”的思想,将曲边梯形的面积转化为求“直边图形”的面积. 跟踪训练 2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶, 在时刻 t 的速度为 v(t)=3t2+2(单位: km/h), 那么该汽车在 0≤t≤2(单 位:h)这段时间内行驶的路程 S(单位:km)是多少?

【知识要点】
1.曲边梯形:曲线与 和 所围成的图形,通常叫做曲边梯形. 2.曲边三角形或曲边梯形的面积:S=____________克服弹簧的拉力的变力所做的功:W=____________.

【当堂检测】
1.把区间[1,3]n 等分,所得 n 个小区间的长度均为 ( 1 A. n 2 B. n i-1 i ? ? n ,n?上 B.f(x)的值变化很大 3 C. n ) 1 D. 2n ( C.f(x)的值不变化 ) D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小

【问题探究】
探究点一 求曲边梯形的面积 问题 1 如何计算下列两图形的面积?

2.函数 f(x)=x2 在区间? A.f(x)的值变化很小

1 3.求由曲线 y= x2 与直线 x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形面积时,把区间 5 等分,则面积的近似值(取每个小区 2 间的左端点)是________. 4.弹簧在拉伸过程中力 F(x)=5x(x 为伸长量),则弹簧从平衡位置拉长 2 所做的功为________

【课堂小结】
问题 2 如图,如何求由抛物线 y=x2 与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形的面积 S? 求曲边梯形面积和变力做功的步骤 (1)分割:n 等分区间[a,b]; (2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi];
n b-a (3)求和: ?f(ξi)· ; n i=1

思考 1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别? 思考 2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题?(归纳主要步骤) i-1 i i 思考 3 在“近似代替”中,如果认为函数 f(x)=x2 在区间[ , ](i=1,2,?,n)上的值近似地等于右端点 处的函数 n n n i-1 i i 1 值 f( ),用这种方法能求出 S 的值吗?若能求出,这个值也是 吗?取任意 ξi∈[ , ]处的函数值 f(ξi)作为近似值,情 n 3 n n 况又怎样? 1 求由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y= x2 所围成的图形的面积. 2

n b-a (4)取极限:S= lim ?f(ξi)· .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了计算方便,可以取区间上 n n→+∞i=1

的一些特殊点,如区间的端点(或中点).

例1

跟踪训练 1 求由抛物线 y=x2 与直线 y=4 所围成的曲边梯形的面积.

13

例 2 利用几何意义计算下列定积分:

§1.5.2
【学习要求】
1.了解定积分的概念,会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.

定积分的概念导学案

2 (1)? 3 (2)? 3 -3 9-x dx; -1(3x+1)dx. 跟踪训练 2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值: (1)? 1 (2)? 2π (3)? 1 -1xdx; -1|x|dx. 0 cos xdx;

探究点三 定积分的性质 问题 1 定积分的性质可作哪些推广? 问题 2 如果一个函数具有奇偶性,它的定积分有什么性质? 例2 计算 ? 3 9-x2-x3)dx 的值. -3(

【学法指导】
通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题,进一步体会定积分的作用及意义.

【知识要点】
1.定积分:设函数 y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点 a=x0<x1<x2<?xn-1<xn=b,把区间[a,b]分为 n 个小区间,其 长度依次为 Δxi=xi+1-xi,i=0,1,2,?,n-1.记 λ 为这些小区间长度的最大者,当 λ 趋近于 0 时,所有的小区间长度都 趋近于 0,在每个区间内任取一点 ξi,作和式 In= ?f(ξi)Δxi.当 λ→0 时,如果和式的极限存在,我们把和式 In 的极限叫做
i=0 n-1

1 15 7 56 3 2 3 2 2 2 跟踪训练 3 已知 ? 1 ,? 1 x dx = ,? 4 ,求: 0x dx= ,? 1x dx= 2x dx= 4 4 3 3
3 (1)? 2 03x dx; 4 2 (2)? 1 6x dx; 2 3 (3)? 2 1(3x -2x )dx.

【当堂检测】
1.下列结论中成立的个数是
3 ①? 1 0x dx= ? n n ?i-1?3 1 i3 1 3 ②? 1 ·; 3·; 0x dx= lim ? n n n3 n n→+∞i=1

(

)

函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 2.在定积分

,即

?

b

a

f ( x)dx =_________.
叫做积分上限, 叫做被积式.

i=1

n i3 1 3 ③? 1 ·. 0x dx= lim ? n3 n n→+∞i=1

?

b

a

f ( x)dx 中,

叫做被积函数, 叫做积分下限,

A.0 2.定积分

B .1

C.2

D.3 ( )

3.如果函数 f(x)在[a,b]的图象是 4.定积分的性质 (1) (2) (3)

,则 f(x)在[a,b]一定是可积的.

?

b

a

f ( x)dx 的大小

?

b

a
b

kf ( x)dx =
1 2

(k 为常数);

? ? f ( x) ? f
a

( x)?dx =


A.与 f(x)和积分区间[a,b]有关,与 ξi 的取法无关 C.与 f(x)以及 ξi 的取法有关,与区间[a,b]无关 3.根据定积分的几何意义,用不等号连接下列式子: ;
1 2 (1)? 1 0xdx________? 0x dx;

B.与 f(x)有关,与区间[a,b]以及 ξi 的取法无关 D.与 f(x)、积分区间[a,b]和 ξi 的取法都有关

±

2 2 (2)? 2 0 4-x dx________? 02dx.

?

b

a

f ( x)dx =

(其中 a<c<b).

【问题探究】
探究点一 定积分的概念 问题 1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,找一下它们的共同点.

π 2 4.已知 0

?

sin xdx= π
2

?

?

π 2 sin xdx=1, 0

?

π3 x2dx= ,求下列定积分: 24

π (1)? 0 sin xdx;

(2)

问题 2 怎样正确认识定积分

?

b

?
n

π 2 0

(sin x+3x2)dx.

a

3 f ( x)dx ?利用定积分的定义,计算 ? 1 0x dx 的值.

【课堂小结】
1.定积分

跟踪训练 1 用定义计算 ? 2 1(1+x)dx.

?

b

a

f ( x)dx 是一个和式 ?

i=1

b-a f(ξi)的极限,是一个常数. n

探究点二

定积分的几何意义

问题 1 从几何上看,如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么 问题 2 当 f(x)在区间[a,b]上连续且恒有 f(x)≤0 时,

?

b

2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分;对于一些特殊函数,也可以利用几何意义求定积分. 3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.

a

f ( x)dx 表示什么?

?

b

a

f ( x)dx 表示的含义是什么?若 f(x)有正有负呢?

14

探究点二

分段函数的定积分 π

§1.6 微积分基本定理导学案
【学习要求】
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分. 例2

sin x,0≤x≤ , ? 2 ? 已知函数 f(x)=? π 1, ≤x≤2, 2 ? ?x-1,2≤x≤4.

先画出函数图象,再求这个函数在[0,4]上的定积分.

【学法指导】
微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,而且还提供了计算定积分的一种有效方法.

?x2, x≤0, ? 跟踪训练 2 (1)设 f(x)=? 求 ?1 -1f(x)dx; ? cos x - 1 , x >0 , ?
a 2 (2)求 ? - a x dx(a>0).

【知识要点】
1.微积分基本定理:如果 f(x)在区间[a,b]上可积,并且_________,那么 ? b af(x)dx= 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1),则 ? b . af(x)dx= b (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2),则 ? af(x)dx=_______. .

探究点三 定积分的应用 π 2π 例 3 计算下列定积分:? 0 sin xdx,? 2π π sin xdx,? 0 sin xdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示 所发现的结论. π 5 跟踪训练 3 求曲线 y=sin x 与直线 x=- ,x= π,y=0 所围图形的面积(如图所示). 2 4

(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图(3),则 ? b af(x)dx=

,若 S 上=S 下,则 ? b af(x)dx=

【当堂检测】
. 1. (1+cos x)dx 等于 π A .π 2 π

【问题探究】
探究点一 微积分基本定理 问题 1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y=y(t),并且 y(t)有连续的导数,由导数的概念可知,它在 任意时刻 t 的速度 v(t)=y′(t).设这个物体在时间段[a,b]内的位移为 s,你能分别用 y(t),v(t)表示 s 吗?

2.若

? 2 1 ?a (2 1 x+ )dx=3+ln

?

B.2 2,则 a 的值是

C.π-2 ( C .3 )

( ) D.π+2

x

A.5

B .4

D.2

2 2 3.? 2 0(x - x)dx=_______ 3

?4x-2π,0≤x≤2, 4.已知 f(x)=? π ?cos x,2<x≤π
【课堂小结】
问题 2 对一个连续函数 f(x)来说,是否存在唯一的 F(x),使 F′(x)=f(x)? 例 1 计算下列定积分: 1 (1)? 2 1 dx; x 1 (2)? 3 1(2x- 2)dx; x
x (3)? 0 -π(cos x-e )dx.

π

,计算 ? π 0f(x)dx.

跟踪训练 1 计算下列定积分:
4 (1)? 10 2 5x dx;

1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取 0,而面积是正值,因此不要把面积理解为被积函数对应图形在 某几个区间上的定积分之和,而是在 x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.

(2)? 3 1( x+

1 2 ) 6xdx. x

15

§ 1.7
【学习要求】

定积分的简单应用导学案

探究点三

定积分的综合应用

1 例 3 在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 ,试求:切点 A 的坐标以及在切 12 点 A 的切线方程.

会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.

【学法指导】
本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题.在这部分的学习中,应特别注意利用 定积分的几何意义,借助图形直观,把平面图形进行适当的分割,从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积 的问题.

【知识要点】
1.当 x∈[a,b]时,若 f(x)>0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S=________. 2.当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S=_________. 3.当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)围 成的平面图形的面积 S=______________.

跟踪训练 3 如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.

【当堂检测】
1.在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中,正确的有( )

(如图)

【问题探究】
探究点一 求不分割型图形的面积 问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积? 例 1 计算由曲线 y2=x,y=x2 所围图形的面积 S.

S=? a b[f(x)-g(x)]dx ①

S=? 8 0(2 2x-2x+8)dx ②

7 b S=? 4 S=? a 1f(x)dx-? 4f(x)dx 0 [g?x?-f?x?]dx+? a [f?x?-g?x?]dx ③ ④ A.①③ B.②③ C.①④ D.③④

跟踪训练 1 求由抛物线 y=x -4 与直线 y=-x+2 所围成图形的面积. 探究点二 分割型图形面积的求解 问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时,这种图形的面积 如何求呢? 例3 计算由直线 y=x-4,曲线 y= 2x以及 x 轴所围图形的面积 S.

2

3 2.曲线 y=cos x(0≤x≤ π)与坐标轴所围图形的面积是 ( 2 A.2 B.3 5 C. 2 D.4

)

3.由曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的平面图形的面积为_______ 4.由曲线 y=x2+4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成平面图形的面积是________

【课堂小结】
对于简单图形的面积求解,我们可直接运用定积分的几何意义,此时 (1)确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数,一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了. 注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形 的面积:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是非负的.
16

1 跟踪训练 2 求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

章末复习课导学案
【知识结构】

题型三 函数与方程思想 例 3 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x cm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积 S (cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V (cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

【问题探究】
题型一 分类讨论思想在导数中的应用 例 1 已知函数 f(x)=(x-k)2e . (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若对?x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围. e

跟踪训练 3 某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位:万元);成本函 数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元).又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

1 1 跟踪训练 1 求函数 y= x3- (a+a2)x2+a3x+a2 的单调减区间. 3 2

题型四 数形结合思想的应用 例 4 求函数 f(x)=x3-3ax+2 的极值,并说明方程 x3-3ax+2=0 何时有三个不同的实根?何时有唯一的实根(其中 a>0)? 跟踪训练 4 已知 f(x)=ax3+bx2+x(a、b∈R 且 ab≠0)的图象如图所示,若|x1|>|x2|,则 a,b 的正负为__________.

题型二

转化与化归思想的应用

ex 例 2 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

跟踪训练 2 若函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围.

17


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