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湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期中考试(理)(学生)

时间:2014-04-18


湖北省黄冈中学 2010 年秋季高二数学期中考试(理)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.在试验中随机事件 A 的频率 p ? A. 0 ? p ? 1 C. 0 ? p ? 1 B. 0 ? p ? 1 D. 0 ? p ? 1

nA 满足( n






乙 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7

3 5 3
3 4 6 8 7 9 1

4
3 7 8

2.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则在这几 场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是( ) A.50 B.41 C.51 D.61.5 3.将直线 y ?

1 x 绕原点顺时针旋转 900 ,再向左平移1个单位,所得到的直线的方程为( 3
B. y ? ?3x ? 3 C. y ? ?3x ? 1
2



A. y ? ?3x ? 3

D. y ? 3 x ? 3

4.已知一组数 x1 , x2 , x3 , x4, 的平均数是 x ? 5 ,方差 s ? 4 ,则数据 2 x1 ? 1, 2 x2 ? 1, 2 x3 ? 1, 2 x4 ? 1 的平均数和 方差分别是( A.11,8 ) B.10,8 C.11,16
2 2

D.10,16 )

5.若直线 l 过点 A(0, a), 斜率为 1,圆 x ? y ? 4 上恰有 3 个点到 l 的距离为 1,则 a 的值为( A. ? 2 B. 2 C. ?2 D. ?4

6.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法取 10 人参加某项调 查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、 二、三年级依次统一编号为 1,2, ……,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2, ……,270,并将整个编 号依次分为 10 段 如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,37,65,92,119,148,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A ②、③都不能为系统抽样 B ②、④都不能为分层抽样 C ①、④都可能为系统抽样 D ①、③都可能为分层抽样
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7.已知下面两个程序: 甲: i=1 乙:i=1000 S=0 S=0 WHILE i<=1000 DO S=S+i S=S+i i=i+l i=i-1 WEND LOOP UNTIL i<1 PRINT S PRINT S END END 对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是 ( A.程序不同,结果不同 C.程序相同,结果不同

) B.程序不同,结果相同 D.程序相同,结果相同

第 1 页

8.用秦九韶算法计算多项式

f ( x) ? 12 ? 35x ? 9 x3 ? 5x5 ? 3x6 在当 x ? ?1时的值,有如下的说法:①要用


到 6 次乘法和 6 次加法;②要用到 6 次加法和 15 次乘法;③ v0 ? ?23 ;④ v3 ? 11 ,其中正确的是( A.①③
2

B.①④
2 2

C.②④
2

D .①③④ )

9.已知 x 、 y 满足 ( x ? 1) ? y ? 1 ,则 S ? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 的最小值是( A. 6 ? 2 5 B. 5 ? 1 C. 2 D. 2

10.方程 log1? y x ? log1? y x ? 2log1? y x log1? y x 所表示的曲线是如下图所示的(



A

B

C

D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.将十进制数 524 转化为八进制数为_______。 12.用辗转相除法或更相减损术求得 1855 与 1120 的最大公约数为 13.已知 x, y 的取值如下表所示: .

x y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7 .

? ? 0.95x ? a ,以此预测当 x ? 2 时, y ? 从散点图分析, y 与 x 线性相关,且 y

14 .已知两点 A( m ? 1, 3) ,若过点 C (?1, 2) 且与线段 AB 相交的的直线倾斜角的取值范围是 、 B (n? 1, 3)

? 2? [ , ] ,则 | m ? n | 的值是 6 3



15.已知方程 x ? y ? 2mx ? 2my ? 2 ? 0 表示的曲线恒过第三象限的一个定点 A,若点 A 又在直线
2 2

l : mx ? ny ? 1 ? 0 上,则当正数 m 、 n 的乘积取得最大值时直线 l 的方程是_________.

高二数学期中考试答题卷(理)
题号 答案 题号 答案 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第 2 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分)已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 , (I)若 l1 与 l 2 交于点 P(m, ?1) ,求 m, n 的值; (Ⅱ)若 l1 // l2 ,试确定 m, n 需要满足的条件。

17. (本小题满分 12 分)如下图,给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 的值, (I)请指出该程序框图所使用的逻辑结构; (Ⅱ)若视 x 为自变量, y 为函数值,试写出函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅲ)若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等,则输入 x 的值的集合为多少?

开始
输入 x

x ? 2? 是
y?x
2



x ? 5?
是 y ? 2x ? 3



y?

1 x

输出 y
图1

结束

第 3 页

18. (本小题满分 12 分)如图在边长为 1 正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中,以正方体的三 条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系 Oxyz , (I)若点 P 在线段 BD1 上,且满足 3 | BP |?| BD1 | ,试写出点 P 的坐标并写出 P 关于 纵坐标轴 y 轴的对称点 P ' 的坐标; (Ⅱ)在线段 C1 D 上找一点 M ,使得点 M 到点 P 的距离最小,求出点 M 的坐标。
D(o)

z D1
A1 B1

C1

.P
A x

C y
B

19. (本小题满分 12 分)圆 M 的圆心在直线 y ? ?2 x 上,经过点 A(2,?1) ,且与直线 x ? y ? 1 相切, (I)试求圆 M 的方程; (Ⅱ)从点 P(?1, ?2) 发出的光线经直线 y ? 1反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在直线的斜率取值范 围。

20. (本小题满分 14 分)为研究我校高二年级的男生身高,随机抽取 40 名男生,实测身高数据(单位:厘米) 如下: 171 173 163 169 166 167 168.5 160 170 165 175 169 167 156 165.5 168 170 184 168 174 165 170 174 161 177 175.5 173 164 175 171.5 176 159 172 181 175.5 165 163 173 170.5 171 (I)依据题目提示作出频率分布表; (Ⅱ)在(I)的条件下画出频率分布直方图并且画出其频率分布折线图; (Ⅲ)试利用频率分布的直方图估计样本的平均数。 【解】 (I)最低身高 156cm,最高身高 184cm,确定组距为 4,作频率分布表如下: 身高(cm) 频数累计 频数 频率(%)

[156,160)

[180,184]
第 4 页

(Ⅱ)频率直方图如下:
y 频率/组距

156

160

184

x

身高(cm)

(Ⅲ)

21. (本小题满分 15 分)已知点 F (0 , 1) ,一动圆过点 F 且与圆 x ? ( y ? 1) ? 8 内切.
2 2

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 A(a , 0) ,点 P 为曲线 C 上任一点,求点 A 到点 P 距离的最大值 d ( a ) ; (Ⅲ) 在 0 ? a ? 1 的条件下, 设△ POA 的面积为 S 1( O 是坐标原点,P 是曲线 C 上横坐标为 a 的点) , 以 d (a) 为边长的正方形的面积为 S 2 .若正数 m 满足 S1 ? 若不存在,请说明理由.

1 mS 2 ,问 m 是否存在最小值,若存在,请求出此最小值, 4

x x cm x cm cm

x cm

x cm x cm

x

cm

第 5 页

期中考试数学参考答案(理科)
1.答案:D 提示:由随机事件的频率的性质易知。 2.答案:C 提示:甲的中位数是 27,乙的众数是 24,求和即得。 3.答案 A 提示:∵直线 y ?

1 x 绕原点顺时针旋转 900 的直线为 y ? ?3x ,∵将 y ? ?3x 向左平移1个单位得 3 y ? ?3 ? x ? 1? ,即 y ? ?3x ? 3 ,故选 A.

4.答案:C 提示:由平均数和方差的计算公式可计算得到。 5.答案:A 设 l : x ? y ? a ? 0 ,由题得:

|a| ? 2 ? 1 ,即得 a ? ? 2 。 2

6. 答案: D ①的间隔为 27 , 可为系统抽样, ③尽管间隔不为 27, 但也可以为系统抽样; ④的第一个数为 30 , 不符合系统抽样, 因为间隔为 27 , ④的第一个数应该为 1 ? 27 ; 分层抽样则要求初一年级应该抽取 4 人, 号码在 1 ? 108 ,所以④中的 111不符合分层抽样 7.答案:B 提示:程序不同但都是计算 S ? 1 ? 2 ? ? ? 1000 。 8.答案:B 提示:①显然对; v0 ? an ? 3 ,③错;

v1 ? vo x ? 5 ? 2 , v2 ? v1 x ? 0 ? ?2 , v3 ? v2 x ? 9 ? 2 ? 9 ? 11 ,④对。
9.答案 A ,[提示]: S ? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ,转化为圆内的点 ( x, y ) 到点 (? 1,1) 的距
2 2 2 2

离的平方,由图像知最短距离为 5 ? 1 ,平方后为 6 ? 2 5 . 10.答案: C 提示:当 x ? 1 时显然成立,当 x ? 1 时方程化简可得 x ? y ? 1,注意到 x 、 y 的范围选 C。
2 2

11.答案: 1014(8) 提示: 524 ? 1? 8 ? 0 ? 8 ? 1? 8 ? 4 ? 8 ? 1014(8)
3 2 1 0

12.答案:35 提示略。

? ? 0.95x ? 2.6 。 13.答案:4.5,提示:由表知 x ? 2, y ? 4.5 , a ? y ? 0.95 x ? 2.6 , y ? ? 0.95x ? a 一定过点 ( x, y) 来做) 所以当 x ? 2 时, y ? 4.5 。(此题也可利用回归方程 y
4 3 3 提示: 不妨设 A 左 B 右易求得当直线过 A 时 m ? ? ,当直线过 B 时 n ? 3 。 3 3 2 2 2 2 15.答案: x ? y ? 2 ? 0 提示:已知方程即 x ? y ? 2 ? 2m( x ? y ) ? 0 ,该曲线系恒经过圆 x ? y ? 2 ? 0 与
14.答案: 得所过定点为 (?1, ?1) , (1,1) ,∵点 A 为第三象限的点,∴A ?x ? y ? 0 点的坐标为 (?1, ?1) ,将其代入直线 l 的方程得 (?1) ? m ? (?1) ? n ? 1 ? 0 ,即 m ? n ? 1 ,∵ m, n ? 0 , m?n 2 1 1 1 ∴ mn ? ( ) ? ,即 (mn)max ? ,此时 m ? n ? ,∴所求直线 l 的方程是 x ? y ? 2 ? 0 . 2 4 4 2 2 16.解: (I)将点 P(m, ?1) 代入两直线方程得: m ? 8 ? n ? 0 和 2m ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1, n ? 7 ;…………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)由 l1 // l2 得: m ? 8 ? 2 ? 0 ? m ? ?4 ,
2

直线 x ? y ? 0 的交点,由 ?

? x2 ? y 2 ? 2 ? 0

又两直线不能重合,所以有 8 ? (?1) ? nm ? 0 ,对应得 n ? ?2 , 所以当 m ? 4, n ? ?2 或 m ? ?4, n ? 2 时, l1 // l2 。………………………………10 分 17.解: (I)程序框图所使用的逻辑结构是条件结构;………………………………2 分

? ? x2 ( x ? 2) ? (2 ? x ? 5) ………………………………7 分 (Ⅱ)解析式为: f ( x) ? ?2 x ? 3 ?1 ? ( x ? 5) ?x ?x ? 2 ?x ? 5 ?2 ? x ? 5 (Ⅲ)依题意得 ? 2 ,或 ? ,或 ? 1 ,解得 x ? 0 ,或 x ? 1 , x ? 3 ? x 2 x ? 3 ? x x ? x ? x ? ?
故所求的集合为 {0,1,3} .……………………………………………………12 分 18.解: (I)由题意知 P 的坐标为 ( , , ) ,………………………………2 分
第 6 页

2 2 1 3 3 3

2 2 1 P 关于纵坐标轴 y 轴的对称点 P ' 的坐标为 (? , , ? ) ;…………5 分 3 3 3 (Ⅱ)设线段 C1 D 上找一点 M 坐标为 (0, m, m) ,则有
2 2 1 1 1 | MP |? ( ) 2 ? ( m ? ) 2 ? ( m ? ) 2 ? 2m2 ? 2m ? 1 ? 2( m ? ) 2 ? 3 3 3 2 2 1 1 1 当 m ? 时 | MP | 取到最小值,所以点为 M (0, , ) 。………………………………12 分 2 2 2
19.解: (I)由题意知:过 A(2,-1)且与直线:x+y=1 垂直的直线方程为:y=x-3, ∵圆心在直线:y=-2x 上, y ? ?2 x ? ? x ? 1 即 o (1,?2) ,且半径 r ? AO ? (2 ? 1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2 , ∴由 ? 1 1 ? ? ? y ? ?2 ?y ? x ?3 ∴所求圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .………………………………6 分 (Ⅱ)圆 M 关于直线 y ? 1对称的圆为 ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 2 ,设发出光线为 y ? 2 ? k ( x ? 1)
2 2

得 k ? 6 ? 19 , 1? k 2 所以发出光线所在直线的斜率取值范围为 [6 ? 19, 6 ? 19] 。……………………12 分 化简得 kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,由 2 ? 20.解: (I)最低身高 156cm,最高身高 183cm,确定组距为 4,作频率分布表如下: 身高(cm) 频数累计 频数 频率(%) 2 5 [156,160) 4 10 [160,164)

|k ?4?k ?2|

[164,168) [168,172) [172,176) [176,180) [180,184]

8 10 12 2 2

20 25 30 5 5

……………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)频率分布直方图如下:
y 频率/组距

156

160

184

x

身高(cm)

…………………………………………………………………………10 分 (Ⅲ)利用频率分布的直方图求样本的平均数为:

h ? 1 5 8? 0 . 0 5 ? 1 6? 2 0? . 1 1? 66 0 ?. 2 1 ?7 0 0 ?. 2 5 ? 1 7 4 ? 0.3 ? 1 78 8 ? 2 00 .0 .? 0 55 ?1 68. 1
…………………………………………………………………………14 分 21.解: (Ⅰ)设圆心坐标为 P( x, y ) ,则动圆的半径为 r ?

x 2 ? ( y ? 1) 2 ,

2 2 2 2 2 2 又动圆与 x ? ( y ? 1) ? 8 内切,所以有 x ? ( y ? 1) ?| 2 2 ? r | 化简得 2 x ? y ? 2

所以动圆圆心轨迹 C 的方程为 2 x ? y ? 2 . ………………………………4 分
2 2

(Ⅱ)设 P( x, y ) ,则 | PA | ? ( x ? a) ? y ? ( x ? a) ? 2 ? 2 x ? ? x ? 2ax ? a ? 2
2 2 2 2 2 2 2

第 7 页

当 ? a ? ?1,即 a ? 1 时 f ( x) 在 [?1 , 1] 上是减函数, ? f ( x)?max ? f (?1) ? (a ? 1) ;
2

? ?( x ? a) 2 ? 2a 2 ? 2 ,令 f ( x) ? ?( x ? a) 2 ? 2a 2 ? 2 , x ? [?1 , 1] ,所以,

当 ? 1 ? ?a ? 1 , 即 ? 1 ? a ? 1 时 , f ( x) 在 [?1 , ?a] 上 是 增 函 数 , 在 [?a , 1] 上 是 减 函 数 , 则 当 ? a ? 1,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 [?1,1] 上是增函数, ? f ( x)?max ? f (1) ? (a ? 1) .
2

? f ( x)?max ?

f ( ? a ) ? 2a 2 ? 2 ;

a ? ?1 ?1 ? a , ? ? 所以, d (a ) ? ? 2a 2 ? 2 , ?1 ? a ? 1 .…………………………………………9 分 ?1 ? a , a ?1 ? ? 1 2 2 (Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, P ( a , ? 2 ? 2a ) ,于是 S1 ? a 2(1 ? a 2 ) , S 2 ? 2a ? 2 , 2
若正数 m 满足条件,则

a 2(1 ? a 2 ) 1 1 , a 2(1 ? a 2 ) ? m(2a 2 ? 2) ,即 m ? a2 ? 1 2 4 2a 2 (1 ? a 2 ) 2a 2 (1 ? a 2 ) 2 2 m2 ? f ( a ) ? ,令 ,设 t ? a ? 1 ,则 t ? (1 , 2) , a ? t ? 1 , ( a 2 ? 1) 2 (a 2 ? 1) 2
2

? ?t 2 ? 3t ? 2 ? 2(t ? 1)(2 ? t ) ? 2 3 ? ?1 3 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ? ?4 ? ? ? ? , 2 2 t t t ? t ? ?t 4? 4 ? ? 1 3 4 1 所以,当 ? ,即 t ? ? (1 , 2) 时, [ f (a)]max ? , t 4 3 4 1 1 1 2 即 m ? , m ? .所以, m 存在最小值 .………………………………14 分 4 2 2
于是 f (a ) ?

第 8 页


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