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吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试数学理科试卷含答案


2015 年吉林市普通高中高三复习第三次调研测试卷

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分,考试时间 120 分 钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在

考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题

必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

第Ⅰ 卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

? ,? , ? , ? } ,集合 B ? { x | x ? ?, x ? N? } ,则图中阴影部 1.设全集 U ? N? ,集合 A ? { ?,
分所表示的集合是 (A) { ? }
U

?} (B) { ? ,

A

B

?} (C) { ? , ? ,
2.已知 i 为虚数单位,则

?} (D) { ? , ? ,
?-i ? ?? i

(A)

? ?

(B)

? ?

(C)

?? ?

(D)

?? ?

3.已知 ? 是第四象限角,且 tan ? ? ? (A) ?

? ,则 sin? ? ?
(C)

? ?

(B) ?

? ?

? ?

(D)

? ?

1

?y ? ? ? 4.已知实数 x、 y 满足 ?? x ? y ? ? ? ? ,则目标函数 z ? ? x - y 的最大值为 ?? x ? y ? ? ? ? ?
(A)-4 (B)1 (C)2 (D)3

5. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),若 P(ξ>3)=0.023,则 P(-1≤ξ≤3)等于 (A)0.977 6. (B)0.954 (C)0.628 (D)0.477

?

? ?

( ? ? x ? ? x ) dx 等于

(A)

? ?

(B)
e ?e ?
x ?x

? ?
,② y ? y
e ?e ?
x

(C)
?x

? -?
?
x ?x

(D)

? -?
?

7.现有三个函数:① y ? y

,③ y ?

e ?e 的图象(部分)如下: e x ? e? x

y

O

x

O

x

O

x

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 (A)①②③ (B)③①② (C)②①③ (D)③②①

8.已知执行如下左图所示的程序框图,输出的 S ? ? ? ? ,则判断框内的条件可以是 (A) k ? ? ?
开始

(B) k ? ? ?

(C) k ? ? ?

(D) k ? ? ?

k=1 S=1 k = k+1 S = 3S+2


输出 S 结束


2

(第 8 题图)

(第 9 题图)

9.一个几何体的三视图如上右图,则其表面积为 (A)20 (B)18 (C) ?? ? ? ? (D) ? ? ? ? ?

10.边长为 4 的正方形 ABCD 的中心为 O,以 O 为圆心,1 为半径作圆,点 M 是圆 O 上的任 意一点,点 N 是边 AB、BC、CD 上的任意一点(含端点) ,则 MN ? DA 的取值范围是

?? ] (A) [?? ? ,

?? ] (B) [?? ? ,

?? ] (C) [?? ? ,

?] (D) [ ? ? ,

11.已知边长为 1 的等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为

? ,若 A、B、C、D、E 在同一球面上,则此球的体积为 ? ? ? ? ?
(C) ??

(A) ??

(B)

(D)

? ? ?

12.若存在直线 l 与曲线 C? 和曲线 C ? 都相切,则称曲线 C? 和曲线 C ? 为“相关曲线” , 有 下列四个命题: ①有且只有两条直线 l 使得曲线 C ?: x ? ? y ? ? ? 和曲线 C? : x ? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? ? ? 为“相 关曲线” ; ②曲线 C? : y ?

? ? ; x ? ? ? 和曲线 C? : y ? x ? ? ? 是“相关曲线” ? ?

? ③当 b ? a ? ? 时,曲线 C? : y ? ? ?ax 和曲线 C? : (x - b) ? y ? ? a ? 一定不是“相关曲

线” ;
3

④必存在正数 a 使得曲线 C?:y ? a ln x 和曲线 C? : y ? x ? ? x 为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个题考生都必须作答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。 13.从 5 名志愿者中选出 4 人,分别参加两项公益活动,每项活动 2 人,则不同安排方案的 种数为 .(用数字作答)

14.设 {a n } 是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 a ? ,a ? ,a ? 成等差数列,则

S? ? S?

.

15.把函数 f ( x ) ? ? sin x cos x ? cos ? x ?

? 图象上各点向右平移 ? (? ? ? ) 个单位,得到函 ?
.

数 g( x ) ? sin ? x 的图象,则 ? 的最小值为

16.已知直线 l : x ? y ? ? ? ? 与抛物线 C : x ? ? ? y 交于 A,B 两点,点 P 为直线 l 上一动点, M,N 是抛物线 C 上两个动点,若 MN // AB , | MN |?| AB | , 则△PMN 的面积的最大 值为 .

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,设 S 为 △ ABC 的面积,满足

S?

? ? (a ? c ? ? b ? ) . ?

(Ⅰ)求 B;
4

(Ⅱ)若 b ? ? ,设 A ? x , y ? ( ? -? )a ? ?c ,求函数 y ? f ( x ) 的解析式和最 大值.

18. (本小题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查, 在高三的全体 1000 名学生中 随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如下直方图:
频率/组 距

0.45 0.15
4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2

视力

(Ⅰ)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级 视力在 5.0 以下的人数; (Ⅱ)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力
5

与学习成绩是否有关系,对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的学生进行了调查,得到如下 数据: 年级名次 是否近视 近视 不近视 1~50 41 9 951~1000 32 18

根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? (Ⅲ)在(Ⅱ)中调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人, 进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 3 人,记名次在 1~50 名的学生人数 为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 附: P(K2≥k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

K? ?

n(ad ? bc )? (a ? b)( c ? d )( a ? c )( b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,

AB // CD ,AD ? CD , AB ? AD ? ?, CD ? ? , M 、 N 分别为 EC 和 BD 的中点.
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值. F E

M

D N
6

C B

A

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x? y? ? ? ?( a ? b ? ? ) 的左、右焦点分别为 F? (-? , ? ) 、 F? (? , ? ) ,过 F? 的 a ? b?

直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△ ABF? 的周长为 ? ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

? ) 作与直线 l 平行的直线 m, (Ⅱ) 过点 ( ?, 且直线 m 与抛物线 y ? ? ? x 交于 P、 Q 两点,
若 A、P 在 x 轴上方,直线 PA 与直线 QB 相交于 x 轴上一点 M,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分)

x? 设函数 f ( x ) ? ? ln( x ? ?) ? . x ?? (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
7

(Ⅱ)如果对所有的 x ≥0,都有 f ( x ) ≤ ax ,求 a 的最小值; (Ⅲ) 已知数列 {an } 中,a? ? ? , 且 (? ? an ?? )(? ? an ) ? ? , 若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 求证: Sn ?

an ? ? ? ln an ?? . ? an

8

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答 时请写清题号. C 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 在△ ABC 中,?B ? ??? , 以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 D E F B

D ,过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E , AE 交⊙O 于点 F . A
(Ⅰ)证明: E 是 BC 的中点; (Ⅱ)证明: AD ? AC ? AE ? AF .

O

.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? ? ,点 M (? , ) . 以极点 O 为原

?

?

点,以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.斜率为 - ? 的直线 l 过点 M,且与曲线 C 交于 A, B 两点. (Ⅰ )求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ )求点 M 到 A,B 两点的距离之积.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

x ?? ? x, ? 已知函数 f ( x ) ? ? ? , g( x ) ? af ( x )? | x ? ? | , a ? R . , ? ? x ?? ? ? x
? ?) 恒成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅰ)当 a ? ? 时,若 g( x ) ?| x ? ?| ? b 对任意 x ? (?,
9

(Ⅱ)当 a ? ? 时,求函数 y ? g ( x ) 的最小值.

2015 年吉林市普通高中高三复习第三次调研测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 5 分 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 B 6 D 7 C 8 C 9 A 10 C 11 D 12 C

二、填空题:每小题 5 分 13.30 14. 5 15.

? ??

16.1

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得

? ? ac sin B ? ? ?ac cos B ? ?

??2 分∴

tan B ? ? ,又 B ? (?,? )
以B?

??4 分所 ??5 分

?
?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B?

?
?

, △ ABC 的 内 角 和 A ? B ? C ? ? , 又 A ? ?,C ? ? 得 ??6 分

? ? A?

?? . ?
b sin A ? sin B ? sin

由正弦定理,知 a ?

?
?

sin x ? ? sin x ,

??7 分

10

c?

b ?? sin C ? ? sin( ? x) sin B ?

?? 8 分

所以 y ? ( ? -? )a ? ?c

?( 2 3 - 1) sin x ? 4 sin(
? 2 3 sin x ? 2 3 cos x

2? ? x) 3

? ? ? sin(x ?
当x? 18.解:

?
?

)(? ? x ?

?? ) ?

??10 分 ??12 分

?
?

?

?
?

,即 x ?

?
?

时, y 取得最大值 ? ?

(Ⅰ)设各组的频率为 f i ( i ? ?,?,?,?,?,?) , 由前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,可得前三组的频率成等比数列,后 四组的频率成等差数列,故

f? ? ?.?? ? ?.? ? ?.?? , f ? ? ?.? ? ? ?.? ? ?.? ? , f ? ?
所以由

f ?? ? ?.? ? f?

??1 分

( f? ? f? )? ? ? ? ? (?.? ? ? ?.? ?) 得 f ? ? ?.? ? , ? 所以视力在 5.0 以下的频率为 1-0.17=0.83, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 ? ? ? ?? ?.? ? ? ? ? ?
(Ⅱ) k
?

??2 分 ??3 分 ??4 分 ??6 分因 ??7 分 ??8 分

?

? ? ?? ( ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ?.? ? ? ? ?.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??

此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系. (Ⅲ)依题意 9 人中年级名次在 1~50 名和 951~1000 名分别有 3 人和 6 人, X 可取 0,1,2,3

P ( X ? ?) ?

? C? ? C?

?

?? , ?? ? ?? , ??

P ( X ? ?) ?

? ? C? C? ? C?

11

P ( X ? ?) ?

? ? C? C? ? C? ? C? ? C?

? ? ??

?? , ??

P ( X ? ?) ?

?

X 的分布列为 X P 0 1 2 3

?? ??

?? ??

?? ??

? ??
??11 分

X 的数学期望 E( X ) ? ? ?

?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??

??12 分

19.解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,取 CD 中点 H,连接 BH,因为 AD ? AB , AB // CD ,AD ? CD , 所以四边形 ADHB 为正方形,又 BD ? ? AD ? ? AB ? ? ? , BC ? ? HC ? ? HB ? ? ? ,所以

CD? ? BD? ? BC ? ,所以 BC ? BD

??2 分

又平面 ADEF ? 平面 ABCD,平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,DE ? AD , 所以 DE ? 平面 ABCD, ??4 分
BC ? DE ,又 BD ? DE ? D ,故 BC ? 平面 BDE .

??5 分

z E F

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? 平面 ABCD ,
AD ? CD ,所以 DE,DA,DC 两两垂直.

以 D 为坐标原点建立如图所示直角坐标 M H N C y 系 D ? xyz , 则 C (?,?,? ) , B(?,?,? ) ,

D A x B

? ? ? E (?,?,?) , M (?,?, ) , N ( , ,?) , ? ? ? ? BC ? (??,?,?) , MC ? (?,?,? ) ? ??7 分
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BMC 的法向量,则

12

?? x ? y ? ? ? ? ? n ? BC ? ? ,即 ? ? ? y? z?? ? ? ? n ? MC ? ? ? ?
可取 n ? (?,?,?) , ??9 分

又 MN ? ( , , MN ?? - , - ) ,所以 cos ? n

? ?

? ?

? ?

n ? MN | n || MN |
? ?

??

? ?

??11 分

直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值为 20.解: (Ⅰ)依题意, ?a ? ? ? ,

??12 分

a ? ? b? ? ?

??2 分 ??3 分 ??4 分

所以 a ? ? , b ? ? a ? ? ? ? ? 故椭圆 C 的方程为

x? ? y? ? ? ?

?) (Ⅱ)设 A( x?,y? ),B( x ?,y ? ),P ( x ?,y ? ),Q( x ?,y ? ) , N ( ?,
直线 l 的方程为: x ? ty ? ? ,直线 m 的方程为 x ? ty ? ? 依题意得

| AF? | | MF? | | BF? | ? ? | PN | | MN | | QN |
??5 分



y y | y? | | y ? | y y ? ,可得 ? ? ? ,令 ? ? ? ? ? (? ? ? ) , | y? | | y? | y? y? y? y?

? x ? ty ? ? ? 由 ? x? 消去 x,得 (t ? ? ?) y ? ? ?ty ? ? ? ? , ? ? y ? ? ? ? ?
?t ? y ? y? ? ? ? ? ? ? ? t ? ? ,把 y ? ? y 代入,整理,得 (? ? ? ) ? - ? t ① 则? ? ? ? ? t? ? ? ? y? y ? ? ? ? ? t ?? ?
? x ? ty ? ? 由? ? 消去 x,得 y ? ? ?ty ? ?? ? ? , y ? ? x ?

??6 分

??8 分

??9 分

13

则?

? y? ? y? ? ?t (? ? ? ) ? ? -t ? ② ,把 y ? ? ? y ? 代入,整理,得 ? y y ? ? ? ? ? ? ?
?t ? t? ? ? ? t ? ,解得 t ? ? 或 t ? ? 或 t ? ? ?

??10 分

由①②消去 ? ,得

??11 分

故直线 l 的方程为: x ? ?? 或 x ? ? y ? ? ? ? 或 x ? ? y ? ? ? ? 21. 解:

??12 分

, ? ? ) , f ?( x ) ? (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 ( ??

x? ? ?x ? ? ( x ? ?) ?

??1 分

当 ? ? ? x ? ?? ? ? 时, f ?( x ) ? ? ,当 x ? ?? ? ? 时, f ?( x ) ? ? 所以函数 f ( x ) 在 (?? , - ? ? ? ) 上单调递减,在 (-? ? ? ,??) 单调递增. (Ⅱ)设 g ( x ) ? 2 ln( x ? 1) ?

??2 分 ??3 分

x2 ? ax ,则 x?1

g ?( x ) ?

( x ? ?) ? ? ?( x ? ?) ? ? x? ? ?x ? ? ? ? a ? ? a ? ?( ? ?) ? ? ? ? a ? ? x ?? ( x ? ?) ( x ? ?)

因为 x ≥0,故 ? ? ? ?(

? ? ?) ? ? ? x ??

??5 分

(ⅰ)当 a ? 2 时, ? ? a ? ? , g ?( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 单调递减,而 g(0) ? 0 ,所 以对所有的 x ≥0, g ( x ) ≤0,即 f ( x ) ≤ ax ; (ⅱ)当 1 ? a ? 2 时, ? ? ? ? a ? ? ,若 x ? (? ,

??a? ??a ) ,则 g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调 a ??

递增,而 g(0) ? 0 ,所以当 x ? (0 ,

2?a? 2?a ) 时, g( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ax ; a ?1

(ⅲ)当 a ? 1 时, ? ? a ? ? , g ?( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [ 0 , ? ? ) 单调递增,而 g(0) ? 0 ,所 以对所有的 x ? ? , g( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ax ; 综上, a 的最小值为 2. 由 (? ? an ?? )(? ? an ) ? ? 得, a n ? a n?1 ? a n ? a n?1 ,由 a? ? ? 得, a n ? 0 , 所以 ??8 分 (Ⅲ)

1 a n?1

?

1 1 ? ? 1 ,数列 { } 是以 ? ? 为首项,1 为公差的等差数列, an an a?
14



1 1 1 ? n , a n ? , a n?1 ? an n?1 n

??9 分

Sn ?

an ? ? n 1 1 1 ? 1? ? ??? ? ln an ?? ? ln(n ? 1) ? 2 ( n ? 1 ) 2 3 n ? an
x2 ? 2x , x ? 0 , x?1
??10 分

由(Ⅱ)知 a ? 2 时, 2 ln( x ? 1) ? 即 ln( x ? 1) ? 法一:令 x ?

x2 ? x, x ? 0. 2( x ? 1)

n?1 1 1 1 ? ? , ,得 ln n 2n( n ? 1) n n 1 1 1 1 即 ln(n ? 1) ? ln n ? ( ? )? 2 n n?1 n
因为

? [ln(k ? ?) ? ln k ? ? ( k ? k ? ?)] ? ln(n ? ?) ? ?(n ? ?)
k ??

n

? ?

?

n

??11 分

所以 ln(n ? 1) ? 故 Sn ? 法二:

n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2( n ? 1) 2 3 n

??12 分

an ? ? ? ln an ?? ? an

??12 分

Sn ?

an ? ? ? ? ? n ? ln an ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ln(n ? ?) ? ? ? n ?( n ? ?) ? an

下面用数学归纳法证明. (1)当 n ? 1 时,令 x ? 1 代入 ln( x ? 1) ?

x2 ? ? x ,即得 ? ? ln ? ? ,不等式成立 2( x ? 1) ?

? ? ? k ? ? ? ? ? ln(k ? ?) ? ? ? k ?( k ? ?) ? ? ? ? k ? ? ln(k ? ?) ? ? 则 n ? k ? 1 时, ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k ?? ?( k ? ?) k ? ?
(2)假设 n ? k (k ? N? , k ? 1) 时,不等式成立,即 ? ? 令x?

x2 ? k?? ? 1 ? ln ? ? x ,得 代入 ln( x ? 1) ? k ?? k ? ? ?( k ? ?)( k ? ? ) 2( x ? 1) k ?1
k ? k k?? ? ? ? ln(k ? ?) ? ? ln ? ?( k ? ?) k ? ? ?( k ? ?) k ? ? ?( k ? ?)( k ? ? )
15

ln(k ? ?) ?

k (k ? ?) ? ? k ?? ? ln(k ? ? ) ? ?( k ? ?)( k ? ? ) ?( k ? ? ) ? ? ? ? ? ? ln(k ? ? ) ? 即?? ? ? ? ? ? ? ? k k ?? ?( k ? ? ) ? ? ? n 由(1) (2)可知不等式 ? ? ? ? ? ? ? ln(n ? ?) ? 对任何 n ? N? 都成立. ? ? n ?( n ? ?) ? ln(k ? ? ) ?
故 Sn ? 22.解: (Ⅰ)证明:连接 BD ,因为 AB 为⊙O 的直径,所以 BD ? AC ,又 ?B ? 90 ? ,所以 CB 切⊙O 于点 B,且 ED 切于⊙O 于点 E,因此 EB ? ED , ??2 分

an ? ? ? ln an ?? ? an

??12 分

?EBD? ?EDB, ?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C ,所以 ? CDE ? ? C ,
得 EC ? ED ,因此 EB ? EC ,即 E 是 BC 的中点 (Ⅱ)证明:连接 BF,可知 BF 是 Rt △ABE 斜边上的高,可得△ABE∽△AFB 于是有 ??5 分

AB AE ,即 AB 2 ? AE ? AF , ? AF AB

??8 分

同理可证 AB 2 ? AD ? AC 所以 AD ? AC ? AE ? AF 23.解: ??10 分

(Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin? ,由 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 得 ? 2 sin2 ? ? ? cos ? . 所以 y 2 ? x 即为曲线 C 的直角坐标方程; ??2 分 ??3 分

1), 点 M 的直角坐标为 ( 0 ,
直线 l 的倾斜角为

?? ,故直线 l 的参数方程为 ? ? 2 3? ? x?? t x ? t cos ? ? ? 4 (t 为参数)即 2 (t 为参数) ? ? 3? ? y ? 1 ? t sin ?y ?1? 2 t ? 4 ? 2 ?

??5 分

? 2 x?? t ? ? 2 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程 ? (t 为参数)代入曲线 C 的方程得 ?y ?1? 2 t ? 2 ?
16

(1 ?

2 2 2 t) ? ? t ,即 t 2 ? 3 2t ? 2 ? 0 , 2 2

??7 分

? ? (3 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? 0 ,
设 A、B 对应的参数分别为 t 1、t 2 ,则 ?

? ? t 1 ? t 2 ? ?3 2 ? ? t1 ? t 2 ? 2

??8 分

又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得 点 M 到 A,B 两点的距离之积 | MA | ? | MB |?| t 1 || t 2 |?| t 1 ? t 2 |? 2 24.解: (Ⅰ)当 a ? ? 时, g( x ) ? ? | x ? 2 | ( x ? 0) , g( x ) ?| x ? 1 | ? b ? ?b ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | | x ? 1 | ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 1 ,当且仅当 1 ? x ? 2 时等号成立 , ? ?) 实数 b 的取值范围是 [?? ??12 分

??1 分 ??4 分 ??5 分

?1 ? x ? x ? 2, 0 ? x ? 1 ? (Ⅱ) (Ⅱ)当 a ? ? 时, g( x ) ? ? 2 x ? 2, 1 ? x ? 2 , ? 2, x?2 ? ?
当 0 ? x ? 1 时, g( x ) ?

??7 分

? ? ? x ? ? ? ? x? ? ? ? ?; x x

??8 分 ??9 分 ??10 分

当 x ? 1 时, g( x ) ? 0 ,当且仅当 x ? 1 等号成立; 故当 x ? 1 时,函数 y ? g ( x ) 取得最小值 0.

命题、校对:马辉 宋军梅 凌志勇 孙忠臣

孙长青

17


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