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排列组合经典练习(含解析)免费


排列组合经典练习(含解析)
1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 C3 6 【解析】 先分组再排列, 一组 2 人一组 4 人有 C2 两组各 3 人共有 2= 6=15 种不同的分法; A2 10 种不同的分法,所以乘车方法数为 25×2=50,故选 B. 2.有 6 个座位连成一排,

现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种

【解析】恰有两个空或 n=6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人. 5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规 定从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( A.45 种 B.36 种 ) D.25 种

C.28 种

【解析】因为 10÷ 8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶
3 ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C1 A3 +A3 2· 3=18 个;

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C1 3=3 个. 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A. 8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144 个,若 1 与 3 不相邻有 A3 A3 3· 3=36 个

【解析】分两类:若 1 与 3 相邻,有 故共有 72+36=108 个.

1 2 2 A2 C3 A2A3=72 2·

9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学 校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A.50 种 B.60 种 C.120 种 D.210 种

【解析】 先安排甲学校的参观时间, 一周内两天连排的方法一共有 6 种: (1,2)、 (2,3)、 (3,4)、 (4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为 C1 6,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所 学校参观, 安排方法有 A2 按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C1 A2 5种, 6· 5=120 种,故选 C. 10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不 能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)

【解析】先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A2 5=20(种)排法,其余 5 人再进行排列,有 A5 5=120(种)排法,所以共有 20×120=2400(种)安排方法. 11. 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球, 同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有________ 种不同的排法.(用数字作答) 【解析】由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C4 C2 C3 9· 5· 3= 1260(种)排法. 12.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不 同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).
2 C2 6C4 【解析】 先将 6 名志愿者分为 4 组, 共有 2 种分法, 再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去, A2 2 C2 C4 6· 共有 A4 A4 2 · 4种分法,故所有分配方案有: 4=1 080 种. A2

13.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域不同色, 有________种不同的种法(用数字作答).

【解析】 5 有 4 种种法, 1 有 3 种种法, 4 有 2 种种法. 若 1、 2 有 2 种种法,若 1、3 不同色,2 有 1 种种法,∴有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种.

3 同色,

14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有

种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封

两个有

种方法,共有

种,故选 B.

15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工 中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案 共有( ) A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法
2 1 4

甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法
2 4 1 1 3

故共有 1008 种不同的排法 16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( ) (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 【解析】先选一个偶数字排个位,有 3 种选法
2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C 17. 在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不 同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为( ) A.10 B.11 C.12 D.15 【解析】与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:
2 第一类:与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 C 4 ? 6个 1 第二类:与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 C 4 ? 4个 0 第三类:与信息 0110 没有一个对应位置上的数字相同有 C4 ? 1 个。故选 B。

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( ) A.152 B.126 C.90 D.54
2 3 分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工作,则

1 2 3 ? C4 ? A3 ? 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确 方案有 C3

19. 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( A .150 种 B.180 种 C.300 种
1 1 2

)

D.345 种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 ? 225 种选法; (2) 乙组中选出一名女生有 C5 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D
2 1 1

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙 两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )

A.18

B.24

C .30

D.36

2 3 【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,

3 2 3 3 而甲乙被分在同一个班的有 A3 种,所以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30 。故选 C。

21. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两 位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
2 2 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 A2 ? 6 种不同

排法) ,剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若 甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足 男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排 好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。
2 2 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 A2 ? 6 种不

同排法) ,剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三 类情况:
2 2 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2 A2 =24 种排法; 2 第二类: “捆绑” A 和男生乙在两端, 则中间女生 B 和男生甲只有一种排法, 此时共有 6 A2

=12 种排法 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。此时共
2 有 6 A2 =12 种排法。

三类之和为 24+12+12=48 种。

22. 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有 入选的不同选法的种数位( ) A 85 B 56 C 49 D 28

2 【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: C1 2 ? C7 ? 42 ,另 1 一类是甲乙都去的选法有 C2 2 ? C7 =7,所以共有 42+7=49,即选 C 项。

23. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两 位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
3 2 2 2

解析: 6 位同学站成一排, 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 A3 C 3 A4 A2 ? 332

1 2 2 2 2 种,其中男生甲站两端的有 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144,符合条件的排法故共有 188
2 2 2 1 1 2 2 2 2 解析 2:由题意有 2 A2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。

24. 12 个篮球队中有 3 个强队,将这 12 个队任意分成 3 个组(每组 4 个队) ,则 3 个强队 恰好被分在同一组的概率为( ) A.

1 55

B.

3 55

C.

1 4

D.

1 3

解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有

4 4 4 C12 C8 C4 种,而 3 个强队恰好被分在同一组分法 3 A3



1 4 4 3 C3 3 1 4 4 2 4 4 4 3 3C9 C8 C4 ,故个强队恰好被分在同一组的概率为 C9 C9 C8 C4 A 2 C12 C8 C4 A 3 = 。 2 55 A2

25. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人 不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答) .

3 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 A7 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1 1 2 人,则共有 C3 A7 种,因此共有不同的站法种数是 336 种.

26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特 征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( ) A.

8 91

B.

25 91

C.

48 91

D.

60 91

4 【解析】因为总的滔法 C15 , 而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆

沙馅汤圆取得个数分别按 1.1.2;1,2,1;2,1,1 三类,故所求概率为
1 1 2 1 1 2 1 1 C6 ? C5 ? C4 ? C6 ? C52 ? C4 ? C6 ? C5 ? C4 48 ? 4 C15 91

27. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) . 【解析】分两步完成:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 ; 2 A2

第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇,其分法有 A3 所以满足条件得分配的方案有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

3

28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里 的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 解析:将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子 里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:①1 号盒子中放 1 个球,其余 3 个放入
1 2 2 号盒子,有 C4 ? 4 种方法;②1 号盒子中放 2 个球,其余 2 个放入 2 号盒子,有 C4 ?6

种方法;则不同的放球方法有 10 种,选 A. 29. 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的 分配方案有( ) (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 解析:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有
3 个班,共有 15 ? A3 ? 90 种不同的分配方案,选 B.

1 2 C5 ? C4 ? 15 种方法,再将 3 组分到 3 2 A2

30. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不 同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 解析:某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙 不同去,甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有
2 4 3 4 =240 种选法;②甲、丙同不去,乙去,有 C5 =240 种选法;③甲、乙、丙都不 C5 ? A4 ? A4 4 去,有 A5 ? 120 种选法,共有 600 种不同的选派方案.

31. 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有 个(用数字作答) . 解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,
3 各为 1 个数字,共可以组成 2 ? A3 ? 12 个五位数;② 若末位数字为 2,则 1 与它相邻,其 2 余 3 个数字排列,且 0 不是首位数字,则有 2 ? A2 ? 4 个五位数;③ 若末位数字为 4,则
2 1, 2, 为一组, 且可以交换位置, 3, 0, 各为 1 个数字, 且 0 不是首位数字, 则有 2 ? (2 ? A2 ) =8

个五位数,所以全部合理的五位数共有 24 个。 32.有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 个二极 管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同 颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点

亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上,共有 C3 6种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发
3 光颜色有 2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有 C6 ×2×2×2=

160(种). 33.按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 个;(2)平均分成 3 个小组;(3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同 车间.
4 4 C4 12C8C4 4 6 [解析] (1)C2 C C = 13 860( 种 ) ; (2) =5 775 种; 3 12 10 6 A3 4 4 C4 12C8C4 3 (3)分两步: 第一步平均分三组; 第二步让三个小组分别进入三个不同车间, 故有 · A3 3 A3 4 4 =C4 C8 · C4=34 650 种不同的分法. 12·

34.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种? (1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法?(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排 法? (3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种 不同的排法? [解析] (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空 中,共有 A6 A4 6· 7种不同排法. (2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A9 9种排法,若甲不在
1 8 末位,则甲有 A1 8种排法,乙有 A8种排法,其余有 A8种排法, 1 1 8 综上共有(A9 A8)种排法. 9+A8A8·

方法二:无条件排列总数 甲在首,乙在末A8 ? ? 9 8 10 A10-?甲在首,乙不在末A9-A8 8 ? ?甲不在首,乙在末A9 9-A8
9 8 甲不在首乙不在末,共有(A10 10-2A9+A8)种排法. 3 (3)10 人的所有排列方法有 A10 10种,其中甲、乙、丙的排序有 A3种,又对应甲、乙、丙 8

A10 10 只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法有 3 种. A3 (4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等,而 10 人 1 排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有 A10 种排法. 2 10

35. 已知 m, n 是正整数, f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n 的展开式中 x 的系数为 7, (1) 试求 f ( x) 中的 x 的系数的最小值 (2) 对于使 f ( x) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数 (3) 利用上述结果,求 f (0.003 ) 的近似值(精确到 0.01)
1 1 解:根据题意得: Cm ? Cn ? 7 ,即 m ? n ? 7
2 3 2

(1)

m(m ? 1) n(n ? 1) m 2 ? n 2 ? m ? n ? ? x 的系数为 C ? C ? 2 2 2
2

2 m

2 n

2 将(1)变形为 n ? 7 ? m 代入上式得: x 的系数为 m ? 7 m ? 21 ? (m ? ) ?
2 2

7 2

35 4

x 的系数的最小值为 9 故当 m ? 3或4时,
2

3 3 x 的系数为为 C3 (1) 当 m ? 3, n ? 4或m ? 4, n ? 3时, ? C4 ?5
3

(2)

f (0.003) ? 2.02


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