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高三文科数学查缺补漏试6


高三文科数学查缺补漏试题(6)
1. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c , 已知 A ? (1)求 cos C 的值; (2)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长

?
4

, cos B ?

4 . 5

-1-<

br />
2. 某学校餐厅新推出 A,B,C,D 四款套餐,某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为 了了解同学对新推出的四款套餐的评价,对每位同学都进行了问卷调查,然后用分层抽样 的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计, 统计结果如下面表格 份 70 所示: 满意 A 套餐 B 套餐 C 套餐 D 套餐 50% 80% 50% 40% 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25% 20% 0 40%
60
50
40

30
20

10
0 (1)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的调查问卷被选中 的概率; (2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出 2 人 进行面谈,求这两人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率.

A

B

C

D

种类

-2-

3. 如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 3 , AE、DF是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱的 截面交下底面于 BC ,且 AD = BC (1)求证:平面 AEB ∥平面 DFC ; (2)求证: BC ? BE ; (3)求四棱锥 E ? ABCD 体积的最大值.

-3-

4.已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 , a1 ? 32 ,且 2a2 、 3a3 、 4a4 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log2 an ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn .

-4-

1. 解: (1)

4 3 , 且 B ? (0, ? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 5 5 3? cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos( ? B) ∴ 4 cos B ?

? cos

3? 3? 2 4 2 3 2 . cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? (?

2 2 7 ) ? 2. 10 10

由正弦定理得

BC AB 10 AB ? ? ,即 ,解得 AB ? 14 . 7 sin A sin C 2 2 10 2
2 2 2

在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD ? 7 ? 10 ? 2 ? 7 ?10 ?

4 ? 37 ,∴ CD ? 37 . 5

2. 解: (1)由条形图可得,选择 A,B,C,D 四款套餐的学生 共有 200 人,其中选 A 款套餐的学生为 40 人, 由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了 20 ?

40 ? 4 份. 200
4 ? 0.1 . 40

设 “甲的调查问卷被选中” 为事件 M ,则 P ( M ) ?

答:若甲选择的是 A 款套餐,甲被选中调查的概率是 0.1 . (2) 由图表可知,选 A,B,C,D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4,5,6,5. 其中 不满意的人数分别为 1,1,0,2 个 . 记对 A 款套餐不满意的学生是 a;对 B 款套餐不满意的学生是 b;对 D 款套餐不满意的学生 是 c,d. 设“从填写不满意的学生中选出 2 人,这两人中至少有一人选择的是 D 款套餐” 为事件 N , 从填写不满意的学生中选出 2 人,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件, 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件, 则 P ? N ? ? 3.(1)证明:∵AE、DF 是圆柱的两条母线 ∴ AE∥DF. ∵ AE ? 平面 DFC , DF ? 平面 DFC ,∴ AE∥平面 DFC 在圆柱中: 上底面//下底面,且上底面∩截面 ABCD= AD ,

5 . 6

下底面∩截面 ABCD= BC ∴ BC // AD

-5-

∵ AD = BC ∴ AB∥CD.

∴四边形ABCD为平行四边形

∵ AB ? 平面 DFC , CD ? 平面 DFC , ∴ AB∥平面 DFC . ∵ AB ? AE ? A ∴ 平面 AEB ∥平面 DFC

(2)证明:∵AE、DF 是圆柱的两条母线,? AE //DF

?

四边形 ADFE 平行四边形,

? AD ∥ EF

且 AD = EF

∵ 四边形 ABCD 为平行四边形

? AD ∥ BC 且 AD = BC

? EF

∥ BC 且 EF = BC

在圆柱底面上因为 EF ∥ BC 且 EF = BC

? EC 为直径

? B C? B E ? AE 垂直于底面

(3)解法 1:作 EO ? AB ∵ AE 圆柱的母线 ∴ AE ? CB ∵ BC ? BE AE ? EB ? E ∴ BC ? 平面 ABE ∵ AB ? BC ? B ∴ BC ? OE ∴ EO ? 平面 ABCD

设 BE ? x 在 Rt△ BEC 中, EC ? 2

3

∴ BC ? 12 ? x 2

在 Rt△ ABE 中, EA ? 2 ,∴ AB ?

4 ? x2
∴ BC ? AB

由(2)的证明过程可知 BC ? 平面 ABE

∵ 四边形 ABCD 为平行四边形 ∴四边形 ABCD 为矩形 ∴ S 矩形ABCD ?

4 ? x 2 ? 12 ? x 2

在 Rt△ ABE 中, OE ?

AE ? BE ? AB

2x 4 ? x2

∵ x ? (0,2 3)

∴ VE ? ABCD
2

2 2 1 2 x 12 ? x 2 2 x ? (12 ? x ) ? ? OE ? S矩形ABCD ? ≤4 ? 3 3 3
2

当 x ? 12 ? x 时,即 x

? 6 时,四棱锥 E ? ABCD 的体积最大,最大值为 4

解法 2: VE ? ABCD ? 2VE ? ABC ? 2VA? EBC
设 BE ? x (或设 ?BEC ? ? )

在 Rt △ BEC 中 , EC ? 2 3

∴ BC ? 12 ? x 2 ( BC ? 2 3 sin ? ,

BE ? 2 3 cos? )
-6-

∵ AE 垂直于底面,设 BE ? x , x ? (0,2 3)



VE ? ABCD ? 2VA ? EBC
2 2

2 2 2 2 x 12 ? x 2 2 x ? (12 ? x ) ? ? AE ? S?BCE ? ≤4 ? 3 3 3

当 x ? 12 ? x 时,即 x

? 6 时,四棱锥 E ? ABCD 的体积最大,最大值为 4

解法 3: VE ? ABCD ? 2VE ? ABC ? 2VA? EBC
设 ?BEC ? ? , ? ? (0,

?
2

)
∴ BC ? 2 3 sin ? , BE ? 2 3 cos?

在 Rt△ BEC 中, EC ? 2 3 ∵ AE 垂直于底面, ∴

VE ? ABCD ? 2VA ? EBC ?

当 sin 2? ? 1 ,即 ? ?

?
4

2 2 1 ? AE ? S?BCE = ? 2 ? BE ? BC = 4 sin 2? ≤ 4 3 2 3

时,四棱锥 E ? ABCD 的体积最大,最大值为 4 .

4.解: (1)因为 2a2 、 3a3 、 4a4 成等差数列, 所以 2a2 ? 4a4 ? 6a3 ,即 a1q ? 2a1q3 ? 3a1q2 . 因为 a1 ? 0 , q ? 0 ,所以 2q ? 3q ? 1 ? 0 ,即 (q ? 1)(2q ? 1) ? 0 .
2

1 ?1? 因为 q ? 1 ,所以 q ? .所以 an ? a1q n?1 ? 32 ? ? ? 2 ?2?
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 26?n (n ? N* ) . (2)因为 an ? 26?n ,所以 bn ? log2 26?n ? 6 ? n . 所以 bn ? 6 ? n ? ?

n ?1

? 26?n .

?6 ? n, 1 ? n ? 6, ?n ? 6, n ? 7.

当 1 ? n ? 6 时, Tn ? b1 ? b2 ????? bn ? b1 ? b2 ????? bn

?

n ? [5 ? (6 ? n)] 1 11 ? ? n2 ? n ; 2 2 2

当 n ? 7 时, Tn ? b1 ? b2 ????? bn ? (b1 ? b2 ????? b6 ) ? (b7 ? b8 ????? bn )

? 2(b1 ? b2 ???? ? b6 ) ? (b1 ? b2 ???? ? bn )

-7-

11 ? 1 11 ? 1 ? 2 ? 15 ? ? ? n2 ? n ? ? n2 ? n ? 30 . 2 ? 2 2 ? 2
? 1 2 11 ? n ? n, 1 ? n ? 6, ? ? 2 2 综上所述, Tn ? ? ? 1 n 2 ? 11 n ? 30, n ? 7. ? ?2 2

-8-


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