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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案 新人教A版必修4

时间:2016-11-07


2.2.3

向量数乘运算及其几何意义

一、教学分析 向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从 加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有 大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量 ,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重 要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量 a 是非零向量.共线向量定理的应用主 要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系. 二、教学目标 1、知识与技能: 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义;掌握共线向量的充 要条件。 2、过程与方法: 由几个向量的和得出向量数乘运算的含义,从特殊到一般,经历向量数乘概念的形成,探究共线向量 的充要条件,培养学生类比归纳的能力。 3、情感态度与价值观: 初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义,形成归纳、猜想与论证的能力。 三、重点难点 教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用. 教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量 和的简便计算及推广.在代数运算中 ,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法 ,那 么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算. 思路 2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为 a,那么在同一方向上 3 秒钟的位移对应的 向量怎样表示?是 3a 吗?怎样用图形表示 ?由此展开新课. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①已知非零向量 a,试一试作出 a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a). ②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗? ③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间 的位置关系吗?怎样理解两向量平行?与两 直线平行有什么异同? 活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的 动手作图 , 让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义 . 教师要引导学生特别注意 0·a=0, 而不是 0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学 生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系 .实数与向量可以求积 , 但是不能进行加、减运算 ,比如 λ +a,λ -a 都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种 不同的形式:(λ +μ )a=λ a+μ a 和 λ (a+b)=λ a+λ b,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同. 判断两个向量是否平行 (共线),实际上就是看能否找出一个实数 ,使得这个实数乘以其中一个向量等于另 一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件 ,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手 段. 对问题①,学生通过作图 1 可发现, OC = OA + AB + BC =a+a+a.类似数的乘法,可把 a+a+a 记作 3a,即

1

OC =3a.显然 3a 的方向与 a 的方向相同,3a 的长度是 a 的长度的 3 倍,即|3a|=3|a|.同样,由图 1 可知,

图1

PN = PQ ? QM ? MN =(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然 3(-a) 的方向与 a 的方向相反,3(-a)的长度是 a 的长度的 3 倍,这 样,3(-a)=-3a. 对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积. 我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λ a,它的长度与方向规定 如下: (1)|λ a|=|λ ||a|; (2)当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反. 由(1)可知,λ =0 时,λ a=0. 根 据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律. 实数与向量的积的运算律 设 λ 、μ 为实数,那么 (1)λ (μ a)=(λ μ )a; (2)(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)λ (a+b)=λ a +λ b. 特别地,我们有(-λ )a=-(λ a)=λ (-a),λ (a-b)=λ a-λ b. 对问题③,向量共线的等价条件是:如果 a(a≠0)与 b 共线,那么有且只有一个实数 λ ,使 b=λ a.推证过 程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数 λ ,使 b=λ a,那么由向 量数乘的定义,知 a 与 b 共线.反过来,已知向量 a 与 b 共线,a≠0,且向量 b 的长度是向量 a 的长度的 μ 倍, 即|b|=μ |a|,那么当 a 与 b 同方向时,有 b=μ a;当 a 与 b 反方向时,有 b=-μ a. 关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉 a≠0 这一条件,上述条 件成立吗?其目的是通过 0 与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是 否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量 的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4) 同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等. 讨论结果 :①数与向量的积仍是一个向量 , 向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定 , 大小由 |λ |·|a|确定. ②它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小. ③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点 ;而向量的 平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形. (三)应用示例 思路 1 例 1 计算: (1)(-3)×4a;
2

(2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律 .教 学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明 确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、 减、 数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a、 b,以及任意实数 λ 、μ 1、μ 2,恒有 λ (μ 1a±μ 2b)=λ μ 1a±λ μ 2b. 解:(1)原式=(-3×4)a=-12a; (2)原 式=3a+3b-2a+2b-a=5b; (3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c. 点评 : 运用向量运算的运算律 , 解决向量的数乘 . 其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类 项”. 变式训练 若 3m+2n=a,m-3n=b,其中 a,b 是已知向量,求 m,n. 解:因 3m+2n=a, ① m-3n=b. ② 3×②得 3m-9n=3b. ③ ①-③得 11n=a-3b. ∴n=

1 3 a- b. 11 11 3 2 a+ b. 11 11



将④代入②,有 m=b+3n=

点评:此题可把已知条件看作向量 m、n 的方程,通过方程组的求解获得 m、n.在此题求解过程中,利用 了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元 一次方程组的方法一致.

图2

例 2 如图 2,已知任意两个非零向量 a、b,试作 OA =a+b, OB =a+2b, OC =a+3b.你能判断 A、B、C 三点之 间的位置关系吗?为什么? 活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的 方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引 导学生作图,通过观察图形得到 A,B,C 三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量 共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路 ,具体过程可由学生自己完成 .另外,本题是一个很好的与 信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量 a、b 变化过程中,A、B、C 三点 始终在同一条直线上的规律.

图3
3

解:如图 3 分别作向量 OA 、 OB 、 OC 过点 A、C 作直线 AC.观察发现,不论向量 a、b 怎样变化,点 B 始 终在直 线 AC 上,猜想 A、B、C 三点共线. 事实上,因为 AB = OB - OA =a+2b-(a+b)=b, 而 AC = OC - OA =a+3b-(a+b)=2b, 于是 AC =2 AB . 所以 A、B、C 三点共线. 点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线 ,方法是必须先证明两个向量共 线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.

例 3 如图 4, 吗?

ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 AB =a, AD =b,你能用 a、b 表示 MA 、 MB 、 MC、和 MD

图4 活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证 明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点. 解:在 ABCD 中, ∵ AC = AB + AD =a+b, DB = AB - AD =a-b, 又∵平行四边形的两条对角线互相平分, ∴ MA = ?

1 1 1 1 AC = ? (a+b)= ? a- b, 2 2 2 2 1 1 1 1 MB = DB = (a-b)= a- b, 2 2 2 2 1 1 1 MC = AC = a+ b, 2 2 2 1 1 1 MD = ? MB =- DB =- a+ b. 2 2 2

点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决 这类几何题的关键. 思路 2 例 1 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证: EF =

1 ( AB + DC ). 2

活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使 EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或 创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.

4

图5 解:方法一:过点 C 在平面内作 CG = AB , 则四边形 ABGC 是平行四边形, 故 F 为 AG 中点.(如图 5) ∴EF 是△ADG 的中位线.

1 DG. 2 1 ∴ EF = DG . 2
∴EF 而 DG = DC + CG = DC + AB , ∴ EF =

1 ( AB + DC ). 2

方法二:如图 6,连接 EB、EC,则有 EB = EA + AB , EC = ED + DC ,

图6 又∵E 是 AD 之中点, ∴有 EA + ED =0, 即有 EB + EC = AB + DC . 以 EB 与 EC 为邻边作 ∴ EF = EBGC,则由 F 是 BC 之中点,可得 F 也是 EG 之中点.

1 1 1 EG = ( EB + EC )= ( AB + DC ). 2 2 2

点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习 :(1)加强数形结合思想的训练 ,画出草图帮助解决问 题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.

例 2 已知 OA 和 OB 是不共线向量 AP =t AB (t∈R),试用 OA 、 OB 表示 OP . 活动:教师引导学生思考,由 AP =t AB (t∈R)知 A、 B、 P 三点共线,而 OP = OA + AP ,然后以 AB 表示

AP ,进而建立 OA , OB 的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.

5

解: OP = OA + AP = OA +t· AB = OA +t·( OB - OA )=(1-t)· OA +t· OB . 点评:灵活运用向量共线的条件.若令 1-t=m,t=n,则 OP =m· OA +n· OB ,m+n=1. 变式训练 1.设两个不共线的向量 e1、 e2,若向量 a=2e1-3e2,向量 b=2e1+3e2,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数 λ 、 μ ,使向量 d=λ a+μ b 与向量 c 共线? 解:d=λ (2e1-3e2)+μ (2e1+3e2)=(2λ +2μ )e1+(3μ -3λ )e2,要使 d 与 c 共线,则存在实数 k 使 d=kc, 即(2λ +2μ )e1+(3μ -3λ )e2=2ke1-9ke2. 由 2λ +2μ =2k 及 3μ -3λ =-9k 得 λ =-2μ . 故存在这样的实数 λ 和 μ ,只要 λ =-2μ 就能使 d 与 c 共线. 2.(200 7 浙江高考),7 若非零向量 a、b 满足|a+b|=|b|,则( ) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 答案:C

3.(2007 全国高考),5 在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = ( ) A. 答案:A

1 CA +λ CB ,则 λ 等于 3
D.-

2 3

B.

1 3

C.-

1 3

2 3

(四)课 堂小结 1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算 律,向量共线的条件,体会 本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化. 2.向量及其运算与数及其运算可以类比 ,这种类比是我们提高思想性的有效手段 ,在今后的学习中应 予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人. (五)作业

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