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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 3-7


高考进行时 一轮总复习 · 数学(新课标通用A版 · 理)

第三章
解三角形应用举例

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第三章

三角函数、解三角形

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第七节

/>解三角形应用举例

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

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第三章

第七节

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考 纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 导 些与测量和几何计算有关的实际问题. 学

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课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

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1.仰角和俯角 1 ________的 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线□ 2 ________的角叫俯角(如图①). 角叫仰角,在水平线□

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2.方位角 3 ________转到目标方向线的水平角,如 B 点 从指北方向□ 的方位角为 α(如图②).

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3.方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) 4 ________旋转 α°到达目标方 (1)北偏东 α°, 即由指北方向□ 向. 5 ________旋转 α°到达目标方 (2)北偏西 α°, 即由指北方向□ 向. (3)南偏西等其他方向角类似.

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4.坡度(比) 6 ______的度数( 如图④,角 θ 为坡 坡面与水平面所成的 □ 角). 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比( 如图④, i 为坡度 (比)).

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答案:

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1 个步骤——解三角形应用题的一般步骤

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2 种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三 角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个 以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然 后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出 方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

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2 个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、 直角三角形、等腰三角形等,这样可以优化解题过程. (2)解三角形时, 为避免误差的积累, 应尽可能用已知的数据(原 始数据),少用间接求出的量.

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1.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° , 且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° C.北偏东 10° ) B.北偏西 15° D.北偏西 10°

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解析:如图 Z 示,∠ ACB=90° ,

又 AC=BC, ∴∠CBA=45° ,而 β=30° , ∴α=90° -45° -30° =15° . ∴点 A 在点 B 的北偏西 15° .
答案:B

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2.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧, 选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m, ∠ACB=45° , ∠CAB=105° , 则 A、 B 两点的距离为( )

A.50 2 m C.25 2 m

B.50 3 m 25 2 D. 2 m

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解析:由正弦定理得 2 AC· sin ∠ ACB 50× 2 AB= = =50 2(m). 1 sin B 2

答案:A

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3. 在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点 C, 若∠CAB=75° , ∠CBA=60° ,则 A、C 两点之间的距离为__________千米.

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解析:如图所示, 由题意知∠C=45° , AC 2 由正弦定理得 = , sin60° sin45° 2 3 ∴AC= · = 6. 2 2 2
答案: 6

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4. 一船向正北航行, 看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰 好在一条直线上. 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏东 60° , 另一灯塔在船的南偏东 75° ,则这艘船每小时航行__________海里.

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解析:如图,由题意知在△ABC 中,∠ ACB=75° -60° =15° , ∠B=15° , ∴AC= AB=8. 在 Rt△AOC 中,OC= AC· sin 30° =4. 4 ∴这艘船每小时航行1=8(海里). 2
答案:8

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课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

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考点一

测量距离问题

【例 1】 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ ACB=75° ,∠ BCD=45° ,∠ADC=30° , ∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离.

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解析:如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° .

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3sin75° 6+ 2 ∴BC= = 2 . sin60° 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB =( 3)
2 2

? +? ? ?

6+ 2 6+ 2? ?2 -2× 3× 2 ×cos75° ? 2 ?

=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km), ∴A、B 之间的距离为 5 km.

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?名师点拨 测量距离问题的常见类型及解题策略 (1)测量问题.首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知, 则直接求解; 若有未知量, 则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)行程问题.首先根据题意画出图形,建立三角函数模型,然 后运用正、余弦定理求解.

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通关特训 1 如图所示,某河段的两岸可视为平行,为了测量 该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A、 B,观察对岸的点 C, 测得∠CAB=105° ,∠CBA=45° ,且 AB=100 m.

(1)求 sin ∠CAB 的值; (2)求该河段的宽度.

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解析:(1)sin ∠CAB=sin105° =sin(60° +45° ) =sin 60° cos45° +cos60° sin 45° 3 2 1 2 = 2 × 2 +2× 2 6+ 2 = 4 . (2)因为∠CAB=105° ,∠CBA=45° , 所以∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=30° .

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AB BC 由正弦定理,得 = , sin ∠ ACB sin ∠CAB AB· sin105° 则 BC= =50( 6+ 2)(m). sin30° 如图所示,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 的长就是该 河段的宽度.在 Rt△BDC 中,

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2 CD=BC· sin 45° =50( 6+ 2)× 2 =50( 3+1)(m). 所以该河段的宽度为 50( 3+1) m.

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考点二

测量高度问题

【例 2】 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后, 望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为 30° ,求塔高.

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解析:如图所示,某人在 C 处, AB 为塔高,他沿 CD 前进, CD=40,此时∠DBF=45° ,过点 B 作 BE⊥CD 于 E,则∠AEB= 30° , 在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30° ,∠DBC= 135° ,由正弦 定理,得 CD BD = , sin∠DBC sin∠BCD 40sin30° ∴BD= =20 2(米). sin135°

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∠BDE=180° -135° -30° =15° . 在 Rt△BED 中, 6- 2 BE=DBsin15° =20 2× =10( 3-1)(米). 4 在 Rt△ABE 中,∠ AEB=30° , 10 ∴AB=BEtan30° = 3 (3- 3)(米). 10 故所求的塔高为 3 (3- 3)米.

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?名师点拨

解决高度问题的注意事项

(1)在解决有关高度问题时, 要理解仰角、 俯角(视线在水平线上 方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面( 地面) 同时研究的问 题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处 理起来既清楚又不容易搞错. (3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题,要注意三角形中 的边角关系的应用,若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的 结合.
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通关特训 2 如图, 山脚下有一小塔 AB, 在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60° ,在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45° ,已知塔高 AB= 20 m,求山高 CD.

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解析:如图,设 CD= x m,

CD 则 AE= x-20 m,tan60° = , BD CD x 3 ∴BD= = = x(m). tan60° 3 3 3 在△AEC 中, x-20= x,解得 x=10(3+ 3) m. 3 故山高 CD 为 10(3+ 3)m.
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考点三

测量角度问题

【例 3】 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航 行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港 口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向 匀速行驶, 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行 驶,经过 t 小时与轮船相遇.

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(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小 应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航 行方案( 即确定航行方向和航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时 间与轮船相遇,并说明理由.

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解析:(1)设小艇与轮船在 B 处相遇,相遇时小艇航行的距离为 S 海里,如图所示. 在△AOB 中∠ A=90° -30° =60° , ∴S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos60° = 900t2-600t+400 =
? 1?2 900?t- ? +300. 3? ?

1 10 3 故当 t=3时,Smin=10 3,此时 v= 1 =30 3. 3
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即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离 最小. (2)由题意可知 OB=vt, 在△AOB 中利用余弦定理得: v2t2=400+900t2-2· 20· 30tcos60° 600 400 故 v =900- t + t2 .
2

∵0<v≤30,

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600 400 2 3 ∴900- t + t2 ≤900,即t2- t ≤0, 2 2 解得 t≥ ,又 t= 时,v=30(海里/小时). 3 3 2 故 v=30 时,t 取得最小值,且最小值等于 3. 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可设计航行方 案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最 短时间与轮船相遇.

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?名师点拨 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义. (2)分析题意, 分清已知与所求, 再根据题意画出正确的示意图, 这是最关键、最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余 弦定理的“联袂”使用.

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通关特训 3

如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东

方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息 中心立即把消息告知在其南偏西 30° ,相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援, 则 cosθ 等于 ( ) 21 A. 7 21 B. 14

3 21 C. 14

21 D. 28
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解析:如题图所示,在△ABC 中,AB=40 海里,AC=20 海 里 , ∠BAC = 120°, 由 余 弦 定 理 , 得 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC· cos120° =2 800,故 BC=20 7(海里). AB 21 由正弦定理,得 sin∠ ACB= · sin∠BAC= . BC 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角, 2 7 故 cos∠ ACB= 7 . 故 cosθ = cos(∠ ACB + 30° ) = cos∠ACBcos30° -

21 sin∠ACBsin30° = 14 .

答案:B

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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 7-3

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