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福建省厦门市2016届高三第二次(5月)质量检查数学(文)试题 Word版含答案

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厦门市 2016 届高中毕业班第二次质量检查

数学(文科)试题
第 ? 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
x 1.若集合 A ? ?? 2,?1,0,1,2?, B ? x 2 ? 1 ,则 A ? B

=

?

?

A.?? 1,2?

B.?0,1?

C.? 1,2?

D?0,1,2?

2.幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点(2,4),则 f ( x) 的解析式为

A. f ( x) ? 2 x

B. f ( x) ? x 2

C. f ( x) ? 2 x

D. f ( x) ? l o g 2 x?3

3.一个口袋中装有大小和形状完全相同的 2 个红球和 2 个白球,从这个口袋中任取 2 个球,则 取得的两个球中恰有一个红球的概率是

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

4.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴为 A1 A2 ,虚轴的一个端口为 B ,若三角形 A1 A2 B 的面 a 2 b2
2

积为 2b ,则双曲线的离心率为

A.

6 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

5.若 2 sin 2? ? 1 ? cos 2? ,则 tan ? 等于

A. ? 2

B .2

C. ? 2或0

D.2或0

6.已知向量 a ? (1, m),b ? (3, 3). 若向量 a, b 的夹角为

? ,则实数 m 的值为 3
D. 3

A. ? 3

B. ?

3 3

C.

3 3

7.执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值等于

A.1

B.

1 2

C .0

D. ?

1 2

-1-

8.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 ① 若m ? ? , ? ? ? , 则m // ? ③ 若m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ② 若m ? ? , ? // ? , n ? ? , 则m ? n ④若 n ? ? , n ? ? , m ? ? , 则m ? ?

A. ①②

B. ③④

C. ①③

D. ②④

?x - y - 2 ? 0 y ? 9. 若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y - 7 ? 0 ,则 z ? 的最大值为( x ? 1 ?y ? 3 ? 0 ?
A.



3 2

B. 1

C.

(10. 若函数 f ( x) ? cos?x(? ? 0) 在区间
是( )

? ?

1 2

D.

5 14

,) 上有且只有两个极值点,则 ? 的取值范围 3 4
C. ?3, 4? D. ?3, 4?

A. ?2, 3?

3? B. ?2,

? ? ? ? x2 1, 0) ? y 2 ? 1 上的两动点,且 MA ? MB ? 0 ,则 AM? AB 的 11. 已知定点 M( ,A、B 是椭圆 4

最小值是( A.

) B.

3 5

2 3

C. 1

D. 2

12. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 1

? k ,x ?0 ? ? ?ln x, x ? 0


,若关于 x 的方程 f ( f ( x)) ? 0 有且只有一个实数解,则实

数 k 的取值范围是(

0) ? (0, 1 ) A. ?-1 , 0? ? (0, ? ?) B.(- ?,

, 0) ? (0, 1 ) D.(- ?, -1 ) ? ( 1, ? ?) C.(-1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填写在答题卡的相应位置。

( 1 - i) z ? 2i ,则 z 在复平面内所对应的点位于第 13.设复数 z 满足

象限。

? ?? 上单调递减, 14.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 ?- ?,
若 f (3x ? 1) ? f (1) ? 0 ,则 x 的取值范围是 。 。

15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球表面积是

-2-

16.在 ?ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,若 A ? 135? , c ? 1 , sin B sin C ?

2 ,则 b 10

等于_______. 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 满足 a4 ? a2 ? 2 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列. {an} (I)求 的通项公式;(II)设 bn ? {an}

1 ,求数列 的前项和. {bn} a ?1
2 n

18.(本小题满分 12 分) 某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期 100 天的营销活动,威调查这 100 天的日销售情况, 用简单随机抽样抽取 10 天进行统计,以它们的销售数量(单位:件) 作为样本,样本数据的茎叶图如图.已知该样本中,甲品牌牛奶销量 的平均数为 48 件,乙品牌牛奶销量的中位数为 43 件,将日销量不 低于 50 件的日期称为“畅销日”. (I)求出 x, y 的值; (II)以 10 天的销量为样本,估计 100 天的销量,请完成这两种品牌 100 天销量的 2 ? 2 列联 表,并判断是否有 99%的把握认为品牌与“畅销日”天数相关. 附: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量) (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
P( K 2 ? k0 ) 0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

-3-

畅销日天数 甲品牌 乙品牌 合计

非畅销日天数

合计

19.(本小题满分 12 分)
? 如 图 所 示 的 几 何 体 为 一 简 单 组 合 体 , 在 底 面 ABCD 中 , ?DAB ? 60 , AD ? DC ,

AB ? BC



QD ?





A B C ,D PA // QD



PA ? 1



AD ? AB ? QD ? 2 .
(I)求证:平面 PAB ? 平面 QBC ; (II)求该组合体的体积.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2) ln x ? 1

( 1,2) (I)判断 f ( x) 的导函数 f ' ( x ) 在 上零点的个数;(II)求证 f ( x) ? 0 :.

-4-

21.(本小题满分 12 分)

C 为抛物线上的一点 已知点 F 为抛物线 E : x 2 ? 4 y 的焦点, 直线 l 为准线, ( C 在第一象限) ,
以点 C 为圆心, CF 为半径的圆与 y 轴交于 D, F 两点,且 ?CDF 为正三角形. (I)求圆 C 的方程; (II)设 P 为 l 上任意一点,过 P 作抛物线 x 2 ? 4 y 的切线,切点为

A, B ,判断直线 AB 与圆 C 的位置关系.

选考题(请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,注意:只能做所选的题目,如果多做,则 按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。) 22.(本小题满分 12 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AD, CF 分别是 ?ABC 的中线和高线, PB, PC 是 ?ABC 外接圆 O 的切线, 点 E 是 PA 与圆 O 的交点. (I)求证: AC ? CD ? AF ? PC ; (II)求证: DC 平分 ? ADE .

-5-

23.(本小题满分 12 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 ,以原点为极点, x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? ? (? ? R) .

?

4

(I)写出 C 的极坐标方程,并求 l 与 C 的交点 M , N 的极坐标;

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 ?PMN 面积的最大值. (II)设 P 是椭圆 3

24.(本小题满分 12 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 (I)求不等式 f ( x) ? 2 ? x ? 1 的解集; (II)已知 m, n ? R 且
*

1 1 ? ? 2mn ,求证: m f (n) ? nf (-m) ? 6 . m n

-6-

厦门市 2016 届高中毕业班第二次质量检查 数学(文科)参考答案
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—6:CBDBDB 7—12: ADACBA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.二 14. ? ??, ? ? 3

? ?

2? ?

15. 32?

16.

2或

2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.本题主要考查等差数列等比数列概念、通项等基础知识,考查运算求解能力,考查化归 与转化思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设公差为 d 由已知可得: ?

?2d ? 2
2 ?a3 ? a1a7

即?

?d ? 1
2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d )

………………………2 分

解得: a1 =2,d ? 1 所以 an ? n ? 1 (Ⅱ) bn ?

…………………………………4 分 ………………………………6 分

1

? n ? 1?

2

?1

?

1 1?1 1 ? ? ? ? ? n ? n ? 2? 2 ? n n ? 2 ?

…………………8 分

所以 Sn ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 2 4 3 5 n n?2?

………………10 分

1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ?

?

3 2n ? 3 ? 4 2(n ? 1) ? n ? 2 ?

…………………12 分

18.本题主要考查茎叶图、平均数,中位数,相关性检验等基础知识,考查数据分析与处理、 运算求解能力,解决实际问题的能力,考查化归与转化思想及统计思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)因为 甲品牌牛奶销量的平均数为 48 件 所以

31 ? 33 ? 42 ? 42 ? 43 ? 51 ? 57 ? 63 ? 65 ? 50 ? x ? 48 10

………………1 分

解得 x ? 3 又因为乙品牌牛奶销量的中位数为 43 件 所以

…………………………………3 分

42 ? 40 ? y ? 43 2

………………………………4 分

-7-

解得 y ? 4 (Ⅱ) 畅销日天数 甲 乙 合计 50 30 80

……………………………………5 分

非畅销日天数 50 70 120

合计 100 100 200

……………………………………7 分

200 ? ? 50 ? 70 ? 50 ? 30? 25 结合列联表可算得 K ? ? ? 8.333 ? 6.635 80 ? 120 ? 100 ? 100 3
2 2

……11 分

所以有 99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关

………………………………12 分

19.本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面的位置关系的基础知识,考查 空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)证明:因为 QD ? 平面 ABCD , PA ? QD ,所以 PA ? 平面 ABCD 又因为 BC ? 平面 ABCD 所以 PA ? BC ……………………………2 分 ………4 分

因为 PA ? BC , AB ? BC 且 AB ? PA ? A ,所以 BC ? 平面 PAB 因为 BC ? 平面 QBC ,所以平面 PAB ? 平面 QBC (Ⅱ)连接 BD,过 B 作 BO ? AD 因为 PA ? 平面 ABCD , BO ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BO 因为 PA ? BO , AD ? OB , PA ? AD ? A , 所以 BO ? 平面 PADQ 因为 SPADQ ? 3 ,所以 VB ? PADQ ?
P O A

………………………5 分
Q

D B

C

………………………7 分

1 S PADQ ? BO ? 3 3

………………………9 分

因为 QD ? 平面 ABCD , S?BDC ?

3 1 2 3 , 所以 VQ ? BDC ? S?BDC ? QD ? 3 3 9 11 3 9

11 分

所以该组合体的体积为 VB ? APQD ? VQ ? BDC ?

………………………………12 分

-8-

20.本题主要考查学生利用导数研究函数零点、最值等基础问题,考查运算求解能力、抽象 概括能力,考查数形结合、化归与转化思想方法.满分 12 分. 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 定义域为 (0 , +?)

f '( x) ? ln x ?

x?2 , x

…………………………………………………………1 分 ……4 分

因为 f '(1) ? ?1 ? 0 , f '(2) ? ln 2 ? 0 ,所以存在 x0 ? (1, 2 ) 使得 f '( x0 ) ? 0 令 g ( x) ? ln x ? 则 g'( x) ?

x?2 ( x ? 0) x
………………5 分

1 2 ? ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递增, x x2

(1, 2 ) 故 f '( x ) 在区间 有且仅有一个零点.
(Ⅱ)由(1)可知

………………………………………6 分

当 0 ? x ? x0 时, g ( x) ? 0 即 f '( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减; 当 x ? x0 时, g ( x) ? 0 即 f '( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增; 所以 f ( x) ? f ( x0 ) 由 f '( x0 ) ? 0 得 ln x0 ? …………………………………8 分

2 ?1, x0

x0 ? ( 1 , 2 )
2 4 ? 1) ? 1 ? 5 ? ( x0 ? ) x0 x0

所以 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x0 ? 2) ln x0 ? 1 ? ( x0 ? 2)( 令 h( x ) ? x ?

………10 分

4 4 ( x ? 2)( x ? 2) (1 ? x ? 2) ,则 h '( x) ? 1 ? 2 ? ?0 x x x2
…………………………11 分

所以 h( x) 在区间 (1, 2) 内单调递减,所以 h( x0 ) ? h(1) ? 5 所以 f ( x) ? 5 ? h( x0 ) ? 5 ? 5 ? 0 .

………………………………………………12 分

21.本题考查直线,圆,抛物线等基础知识,考查直线与圆,直线与抛物线的位置关系,考 查运算求解能力,抽象思维能力,考查数形结合思想.满分 12 分. 解:(I)由已知 F ? 0,1? ,设圆 C 的半径为 r , 因为 ?EFC 为正三角形, C ? ?

? 3 ? r, r ?1 ? ? ? 2 ?

…………………………2 分

因为点 C 在抛物线 x2 ? 4 y 上, 得

3 2 r ? 4r ? 4, 4

即 3r 2 ? 16r ? 16 ? 0,

…………………………3 分

-9-

解得 r ? 4 或 r ?

4 3

所以圆 C 的方程为 C1 x ? 2 3
2

?

?

2

? ? y ? 3? ? 16
2

…………………………5 分

2 ? 2 3? ? 1 ? 16 或 C2 ? x ? ? ?? y? ? ? ? 3 ? 3? 9 ? ? ?

…………………………6 分

(II)(方法一) 因为准线 l 为 y ? ?1 ,设 P ? t , ?1? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 因为 y ?

x x2 ,所以 y ? ? 2 4
2 x1 ? x ? x1 ? , y1 ? x1 2 4

A? x1, y1 ? 为切点的切线方程为: y ? y1 ?
即y?

x1 x ? y1 2

…………………………7 分

因为切线过 P ? t , ?1? ,得 ?1 ? 同理可得 ?1 ?

x1 t ? y1 ① 2

x2 t ? y2 ② 2 x 所以直线 AB 方程为 ?1 ? t ? y ,即 tx ? 2 y ? 2 ? 0 2
圆心 C1 2 3,3 , r1 ? 4 , C1 到直线距离 d1 ?

…………………………9 分

?

?

2 3t ? 4 4 ? t2

可得 d 2 ? 16 ?
1

?4 t ? 2 3 t2 ? 4

?

?

2

?0
…………………………10 分 …………………………11 分

所以 t ? ?2 3 时, d1 ? 4 ,直线 AB 与圆 C1 相切.

t ? ?2 3 时, d1 ? 4 直线 AB 与圆 C1 相交.
所以直线 AB 与圆 C1 相交或相切. 同理可证,直线 AB 与圆 C2 相交或相切. 所以直线 AB 与圆 C1 , C2 相交或相切. (注:因为直线 AB 过定点 F ? 0,1? ,且斜率

…………………………12 分

t ?R 2
这样答扣 1 分)

因为 F ? 0,1? 在圆 C1 , C2 上,所以直线 AB 与圆 C1 , C2 相交或相切.

- 10 -

(方法二)设 P ? t , ?1? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入抛物线 E 的方程得

x2 ? 4kx ? 4b ? 0

所以 ?

? x1 ? x2 ? 4k ? x1 x2 ? ?4b

因为 y ?

x x2 ,所以 y ? ? 2 4
2 x1 ? x ? x1 ? , y1 ? x1 2 4

A ? x1 , y1 ? 为切点的切线方程为: y ? y1 ?
x1 x2 x? 1 2 4

即y?



…………………………7 分

B ? x2 , y2 ? 为切点的切线方程为 y ?
x ?x ? x ? 1 2 ? 2k ? ? 2 联立① ② 得 ? x x ? y ? 1 2 ? ?b ? ? 4

x2 x2 x? 2 ② 2 4

…………………………8 分

t ? ? 2k ? t ?k ? 所以 ? 所以 ? 2 ??b ? ?1 ? ?b ? 1
所以直线 AB 方程为 y ?

x t ? 1, 2

…………………………9 分

以下与(方法一)相同 22. 本小题考查相似三角形、圆心与半径、切割线、角平分线等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查数形结合思想. 满分 10 分. 解:(Ⅰ) 由 PC 为圆 O 切线,知 ?CAF ? ?DCP , 1 分 ∵ PB , PC 是圆 O 的切线, D 为 BC 中点, ∴ O , D , P 三点共线,且 OP ? BC , …………………………2 分 ∴ ?AFC ? ?CDP ? 90? , △AFC ∽△CDP , …………………3 分

AF CD ? ,即 AC ? CD ? AF ? CP . …………………………4 分 AC CP (Ⅱ) ∵ CF ? AB , D 为 BC 中点, 1 ∴ FD ? BC ? DC ? DB , ?DFB ? ?DBF , …………………5 分 2 AF FD FA CA ? ? ∴ ,于是 , …………………6 分 AC CP FD CP 又∵ ?AFD ? 180? ? ?DFB ? 180? ? ?ABC ? ?ACP ,

- 11 -

∴ △AFD ∽△ACP ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

延长 AD 交圆 O 于点 G ,连结 GE , BG , EC , 由 △AFD ∽△ACP ,知 ?DAF ? ?PAC , ∴ BG ? EC , ?CBG ? ?BCE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 又 D 为 BC 中点, DB ? DC ,∴ △BDG ≌△CDE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ∴ ?BDG ? ?CDE , ?ADC ? ?BDG ? ?CDE , ∴ DC 平分 ? ADE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 23.本小题考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化,考查化归与转化思想, 数形结合思想. 满分 10 分. 解:(Ⅰ)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? , · · · · · 2分 直线 l 的直角坐标方程为 y ? x ,

?y ? x ?x ? 0 或 ?x ? 1 , · ,解得 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 2 2 x ? 2 x ? y ? 0 ?y ? 0 ?y ? 1 ? ? 所以点 M , N 的极坐标分别为 (0,0), ( 2 , ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4
联立方程组 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)易得 | MN |? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因为 P 是椭圆

x2 · · 7分 ? y 2 ? 1上的点,设 P 点坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) , · 3

则 P 到直线 y ? x 的距离 d ?

3 cos? ? sin ? 2

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

所以 S ?PMN

1 1 ? MN d ? ? 2 ? 2 2

3 cos? ? sin ? 2

2 cos(? ? ? 2

?
6

) ? 1,

当 ? ? k? ?

?
6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

, k ? Z 时, S?PMN 取得最大值 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

24. 本小题考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用, 考查运算求解能力和命题的等价转 化能力,考查函数思想、数形结合思想、分类与整合思想. 满分 10 分. 解:(Ⅰ)依题意得 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 当 x ? 3 时, x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ,? ? 4 ? 2 ,满足题意, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 ? 1 ? x ? 3 时, 3 ? x ? ( x ? 1) ? 2 ,即 x ? 0 ? 0 ? x ? 3 , · · · · · · · · · · · · · 3分 当 x ? ?1 时, 3 ? x ? ( x ? 1) ? 2 ,? 4 ? 2 ,无解, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 综上所述,不等式的解集为 x x ? 0? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)因为 m, n ? ? 0, ??? ,所以 则 2mn ?

?

1 1 1 1 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ?2 ? ? m n m n mn

2 ,即 mn ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 mn 所以 mf ? n? ? nf ? ?m? ? m n ? 3 ? n ?m ? 3 ? mn ? 3n ? mn ? 3m
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? (mn ? 3n) ? (mn ? 3m) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? 3 m ? n ? 6 mn ? 6 . ·

- 12 -


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