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优质课竞赛《等比数列》课件


2.4.1 等比数列

学习目标
? ? 2.理解等比数列的概念,探索并掌握等比数 ? 列的通项公式; ? 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比 关系,并能用有关的知识解决相应的实际问 题; ? 4.体会等比数列与指数函数的关系.?
? 1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;

引例:
?①

>
如下图是某种细胞分裂的模型:

细胞分裂个数可以组成下面的数列:

1

2

4

8 16 …

引例:
庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为单位“1”, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

引例:
? ③一种计算机病毒可以查找计算机中的地

址簿,通过邮件进行传播。如果把病毒制 造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发 送病毒称为第二轮,依此类推。假设每一 轮每一台计算机都感染20台计算机,那么 在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染 的计算机数构成的数列是:

1 20 202

203



引例:
?

④ 除了单利,银行还有一种支付利息的方式——复利, 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一

期的利息,也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本
利和的公式是:本利和 = 本金×(1+利率)存期。
?

现在存入银行10000元钱,年利率是1.98%,那么按照复 利,5年内各年末的本利和组成了下面的数列:

10000 ?1.01983 , 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 ,
2

10000 ?1.01984

, 10000 ?1.01985,

?

观察:
? 请同学们仔细观察一下,看看以上四个数

列有什么共同特征?
? 共同特征:从第二项起,每一项与它前面

一项的比等于同一个常数;
? 我们给具有这种特征的数列一个名字——

等比数列

一、等比数列的定义:
?

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前 . 一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数 列,这个常数就叫做等比数列的公比(常用字母“q”

表示)。

an ?1 非 常 ) ? q (n ? N * )( q为 零 数 ?an ?是等比数列,则 an
能否改写为若数列的项依次满足 an?1 ? an q (n ? N * )

an ? q 行不行? (n ? 2, n ? N * ) 如写成 a n ?1

(q为常数) 则数列 ?an ? 是等比数列吗?

范例讲解
例1:已知数列 ?an?的通项公式为 an ? 3? 2 试问这
n

个数列是等比数列吗?
n an 3? 2 ? ?2 解:因为当 n ? 2 时, n ?1 an ?1 3? 2

所以数列 ?an ?是等比数列,且公比为2.
请同学们逆向思考这个问题?

二、等比数列的通项公式:
?

法一:不完全归纳法

等 a2 ? a1 ? d 差 a ? a ? 2d 3 1 类比 数 列 a4 ? a1 ? 3d ……
由此归纳等差数列 的通项公式可得:

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

……

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1q
时 面 式 成 上 等 也 立

n ?1

an ? a1 ? (n ? 1)d

其 a1与q均 为 , 中 不 零 当

n ?1

二、等比数列的通项公式:
?

法二:叠加法

累乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

a2 ?q a1
a3 ?q a2

×) an ? q
an ?1

……

a4 ?q a3

共n – 1 项

an n ?1 ?q a1

等比数列通项公式的变形
已知等比数列的公比为q,第m项为 am ,求 an .
解:由等比数列的通项公式可知   an ? a1q n ?1   am ? a1q m ?1

an 两式相除,得 ? q n ? m am

?  an ? amq

n?m

试比较 a n =a1qn-1 与an ? amqn?m

思考:下面数列的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么?

(1)2,4,8,16,32,64. (2)1,3,9,27,81,243,…
(4) 1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

(5) 5,5,5,5,5,5,… (6) 1,-1,1,-1,1,…

an ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 n ?1 an ? 1? 3 ? 3 1 1 n?1 1 n an ? ? ( ) ? ( ) 2 2 2 n ?1 an ? 5 ?1 ? 5
n

n ?1

发现

an ? (?1)

n ?1

时 等比数列的图像是其相应相应函数图象上一些孤立的点,当 q ? 0且 ? 1 a1 n a1 n ?1 n an ? a1 ? q ? ? q ,其图像可看作是非零常数 与指数函数 y ? q q q
乘积数所得函数图象上的一些孤立的点

思考:你能通过对公比 q 的不同取值的讨论, 对等比数列进行分类吗?
当 当 当 当 当

a1? 0,1 ? q ? 1 时,该数列为递减数列

a1 ? 0, q ? 1

时,该数列为递增数列

a1 ? 0, q ? 1

时,该数列为递减数列

a ? 0,0 ? q ? 1 时,该数列为递增数列

a1 ? 0, q ? 1

时,该数列为非零常数列



q ? 0

时,该数列为摆动数列

三.等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3 9 , (3)-12, ,-3 ±6 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那 么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

即G ? ab
2

范例讲解
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?

开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否

n>5? 是

结束

开始

解:若将打印出来的数依次记为 a1 (即A), a2 , a3, ......,
1 1 a2 ? a1 ? ? , 2 2
1 1 a4 ? a3 ? ? , 2 8
则:a1 ? 1 ,

A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否

1 1 a3 ? a2 ? ? , 2 4

a5 ? a4 ?

1 1 ? , 2 16

?a1 ? 1, ? 可得递推公式: ? 1 ?an ? 2 an?1 (n ? 1) ? a 1 由于 n ? , ?这个数列是等比数列,
an ?1 2

n>5? 是

其通项公式为:

1 n ?1 an ? ) ( 2

结束

范例讲解
例3、已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5,求a20. 解:由a15=a5q10,得
q
10

a15 5 1 ? ? ? a5 20 4
5

1 ?q ? ? 2
? a20 1 5 5 ? a15 q ? 5 ? ? 或a20 ? ? 2 2 2
5

思考与讨论:对于例3中的数列,你是否发现a5,a10,a15,a20… 恰好构成等比数列?你能说出其中的道理吗?你能由此推导出 一个一般性的结论吗?

例4.一个等比数列的第3项和第4项分别是1
2和18,求它的第1项和第2项.
解 :用{an} 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

a3 ? 12, a4 ? 18, ?a1q 2 ? 12 即? 3 ?a1q ? 18
16 a1 ? 3

an ? a1 ? qn?1
思考与讨论:对于例3 中的数列,你是否发现 a1a4 与 a2a3 相等 你能说出其中的道理吗? 你能由此推导出 一个一般性的结论吗?

3 q? 解得 2 16 3 因此,a2 ? a1q ? ? ? 8 3 2 答:这个数列的第1项与第2项

16 与8. 分别是 3

?课堂练习: ?课本练习1、2。

补充练习
4 ? (1) 一个等比数列的第9项是 ,公比 9
1 是 ? ,求它的第1项; 3
? (2)一个等比数列的第2项是10,第3项是

20,求它的第1项与第4项。

小结
?

1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达 an ? q(q ? 0,(n ≥ 2,n ∈N); ) 式: an ?1
2、要会推导等比数列的通项公式:
n?1

?

an ? a1 ? q

(a1 ? q ? 0) ,并掌握其基本应用;


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