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全国高中数学联赛预赛2016山东详解


2016年全国高中数学联赛 山东省预赛试题
2016年9月4日 一、填空题(本题共10小题,每小题8分,共80分) 1.方程 x ? x ? x ? 6 的解为 x ? ____________________________________________ . 【解析】若 x ? 6 ,解得 x ? 6 ;若 x ? 6 ,则方程化为 x ? 2 x ? 6 ; 若

3 ? x ? 6 ,解得 x ? 6 ,不合题意,舍去;若 x ? 3 ,解得 x ? 2 ; 综上知,此方程有两解 x ? 2,6 . 2.方程 ? lg x ?
lg ? lg x ?

? 10000 的整数解为 x ? ____________________________________________ .

【解析】记 lg x ? y ,则方程化为 y lg y ? 104 ,两边取对数解得: lg y ? ?2 ; 若 lg ? lg x ? ? 2 ,则 lg x ? 100 ,故 x ? 10100 ; 若 lg ? lg x ? ? ?2 ,则 lg x ?
1 1 ,故 x ? 10100 ,不是整数,舍去; 100

综上知,此方程的整数解只有一个 x ? 10100 . 3.若实数 x 满足 arcsin x ? arccos x ,则 f ? x ? ?

2x2 ? x ? 3 ? 2

x2 ? x

的取值范围是

____________________________________________ .
【解析】依题意知 x ?? ?1,1? ,若 ?1 ? x ? 0 ,则 arcsin x ? 0 ? arccos x ,不合题意, 故 0 ? x ? 1 ,此时 arcsin x 从0增到 即解 arcsin x ? arccos x 得:

? ? ? ,而 arccos x 从 减到0 ,故相等时 是边界, 2 2 4

2 ? x ? 1, 2

考虑到定义域 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 与 x 2 ? x ? 0 ,只有 x ? 1 满足, 因此 f ? x ? ? 3 ,从而 f ? x ? 的取值范围是 ?3? . 4.在 x ?

?

x ?1

?

2 n ?1

? n ? N *? 的展开式中, x 的整数次幂项的系数和为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
x ?1

【解析】记 P ? x ?

?

?

2 n ?1

, Q ? x ? x ?1

?

?

2 n ?1

? n ? N *? ,

则P和Q中 x 的整数次幂项的系数和相等,非整数次幂项的系数和是相反数, 令 x ? 1 得: P ? Q ? 32n?1 ? 1 ,因此 x 的整数次幂项的系数和为 5.已知点P是△ABC的外心,且 PA ? PB ? ? PC ? 0, C ?

32 n ?1 ? 1 . 2

2 ? ,则 ? ? ____________________________________________ . 3 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? PA ? PB PA ? PB ? PA ? PB ?cos C 2 ? 1 ,∴ ? ? ?1 , 解析:由已知得 ? ? ??? ?2 ? ??? ?2 PC PC
依题意知, ? ? ?1 . 6.已知 ? x1 , x2 ,?, x20 ? 是 ?1, 2,?, 20? 的一个排列,且满足 则这样的排列有 ____________________________________________ 个. 【解析】依题意知: 620 ?

??? ? ??? ?

??? ?

?

? ? x ? i ? x ? i ? ? 620 ,
i ?1 i i

20

? ? x ? i ? x ? i ? ? 2? max ?x , i? ? 4? i ? 620 ,
i ?1 i i i ?1 i i ?11
2

20

20

20

∴ ? x1, x2 ,?, x10 ? ? ?11,12,?,20? , ? x11, x12 ,?, x20 ? ? ?1,2,?,10? , 因此满足条件的排列数为 ?10!? . 7.在四面体ABCD中,面ABC与面BCD所成的二面角为60°, 顶点A在面BCD上的射影是△BCD上的垂心H, △ABC的重心是G,若AH=4,AB=AC,则GH= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
B G D F H C A

【解析】取BC中点F,连结AF,依题意得: 重心G在AF上,∠AFH=60°, ∴ AF ?

AH 8 1 4 1 8 ? , FH ? AF ? , FG ? AF ? , 0 sin 60 2 3 3 3 3 3
4 21 . 9

在△FGH中运用余弦定理得: GH ? 8. arcsin

1 1 1 1 ? arcsin ? arcsin ? arcsin ? ____________________________________________ . 10 26 50 65 1 1 1 1 ? ? , arcsin ? ? , arcsin ? ? , arcsin ?? , 10 26 50 65

【解析】记 arcsin 则 ? , ? , ? , ? ? ? 0,

1 1 ? ?? ,sin ? ? , ? , 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,且 sin ? ? 10 26 ? 4?

sin ? ?

1 1 3 5 7 8 ,sin ? ? , cos ? ? , cos ? ? , cos ? ? , cos ? ? , 50 65 10 26 50 65 4 7 3 , cos ?? ? ? ? ? ,sin ?? ? ? ? ? , 65 65 130

由和角公式得: sin ?? ? ? ? ?

cos ? ? ? ? ? ?

11 1 ? , cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,故 ? ? ? ? ? ? ? ? . 4 130 2

9.已知 ? , ? 满足 ? 3 ? 3? 2 ? 5? ? 4 ? 0, ? 3 ? 3? 2 ? 5? ? 2 ? 0 ,则 ? ? ? ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【解析】由已知得: ?? ? 1? ? 2 ?? ? 1? ? 1 ? 0, ?1 ? ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? 1 ? 0 ,
3 3

∴ ? ? 1,1 ? ? 是方程 x3 ? 2 x ? 1 ? 0 的根, 记 f ? x ? ? x ? 2x ?1 ,则 f ' ? x ? ? 3x ? 2 ? 0 ,∴ f ? x ? 在R上单调递增,
3 2

故方程 x3 ? 2 x ? 1 ? 0 只有一个根,从而 ? ? 1 ? 1 ? ? ,∴ ? ? ? ? 2 . 10.已知 a ? b ,使

ab 2 为素数的正整数对 ? a, b? ? ____________________________________________ . a?b

【解析】令 d ? ? a, b? , a ? du, b ? dv, ?u, v ? ? 1, ? d , u, v ? N *? , 记

ab 2 2 2 ? p ,则 d uv ? p ?u ? v ? , a?b
2

由于 ?u ? v, u ? ? ?u ? v, v ? ? ?u, v ? ? 1 ,故 uv p , 又 p 是素数,故 ?

?u ? 1 ?u ? p ? u ? 1 或? 或? , ?v ? 1 ? v ? 1 ?v ? p

若?

?u ? 1 ,则 d 2 ? 2 p ,∴ p ? 2 ,∴ a ? b ? 2 ,不合题意,舍去; ?v ? 1 ?u ? p ? d ?1 ? 1 ?d ? 2 ?a ? 6 ,则 ? d ?1?? d ?1? ? 1? p ,∴ ? ,∴ ? ,∴ ? ; ?v ? 1 ?d ? 1 ? p ?b ? 2 ?p ?3 ?u ?1 ,则 d 2 p ? p ? 1 ,分 d ? 1 和 d ? 2 ,易知此等式无正整数解; v ? p ?

若?

若?

综上, ? a, b? ? ? 6,2? . 二、解答题(本大题共4个小题,前两个小题每题满分15分,后两个小题每题满分20分, 共70分,需写出详细的解答过程) 11.已知过椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F ? ?c,0? 的直线 l 与此椭圆交于A、B两点,线段 a 2 b2

AB的垂直平分线交此椭圆于C、D两点,若AC⊥AD,试求直线 l 的方程.

【解析】由AC⊥AD得,BC⊥BD,故A、B、C、D四点共圆, 当直线 l 的斜率为0或不存在时,A、B、C、D四点不可能共圆,不合题意, 于是设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? c ? ,则直线CD的方程可设为 x ? ?ky ? m , 故过A、B、C、D四点的曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? ? ? kx ? y ? kc ?? x ? ky ? m ? ? 0 , a 2 b2

此方程是一个圆的方程, x 2 与 y 2 项的系数相等,且没有 xy 项,

1 ?1 ? 1 ? ? 1 ? a 2 ? ? k ? b2 ? ? k ?? ? ? ? 2 ? 2 ? ,∴ ? ? ? 2b 2a ? ,因此直线 l 的方程为 y ? ? ? x ? c ? . ? ? ? k 2 ? 1? ? 0 ? k ? ?1 ? ?
12.求证: sin

1 2 3 1 ? sin ? cos ? n ? N *? . n n n n

【证明】由于不等式 sin

1 2 3 1 1 1 3 ? sin ? cos 等价于 tan ? 2sin ? ? 0 ? n ? N *? , n n n n n n n

构造函数 f ? x ? ? tan x ? 2sin x ? 3x ? 0 ? x ? 1? , 则 f '? x? ?

1 2cos3 x ? 3cos 2 x ? 1 , ? 2cos x ? 3 ? cos2 x cos 2 x
3 2

构造函数 g ? x ? ? 2cos x ? 3cos x ?1? 0 ? x ? 1? , 则 g ' ? x ? ? ?6cos x sin x ? 6cos x sin x ? 6cos x sin x ?1 ? cos x ? ? 0 ,
2

∴ g ? x ? 是增函数,∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,∴ f ' ? x ? ? 0 , ∴ f ? x ? 是增函数,∴ f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , 令x?

1 1 1 3 得: tan ? 2sin ? ? 0 ? n ? N *? . n n n n

2 13.已知数列 ?xn ? 满足 x1 ? 0, xn ?1 ? 5 xn ? 2 xn ? 1 ? n ? N *? ,

证明:在 x1 , x2 ,?, x2016 中,最少可以找到672个无理数. 【证明】依题意知,数列 ?xn ? 是正项递增数列,由已知得, xn?1 ? 5xn

?

?

2

2 ? 4 ? xn ? 1? ,

2 2 2 2 即 xn ,以 n ? 1 代 n 得: xn , ?1 ? xn ? 2 5xn?1 xn ? 4 ?2 ? xn?1 ? 2 5xn?2 xn?1 ? 4

两式作差,整理得:

xn? 2 ? xn ? 2 5 ,故 xn , xn?1, xn?2 三项中至少有一项是无理数, xn?1

因此在 x1 , x2 ,?, x2016 中,至少含有 2016 ? 3 ? 672 项为无理数. 另一方面,令 a1 ? a2 ? 1, a2n?1 ? a2n?1 ? 10a2n , a2n ? a2n?2 ? 2a2n?1 ? n ? N *? ,

则数列 ?an ? 是整数数列, 再令 x2 n ? 5a2 n , x2 n?1 ? a2 n?1 ? n ? N *? ,则数列 ?xn ? 满足条件, 且在 x1 , x2 ,?, x2016 中,含有 2016 ? 2 ? 1008 项为无理数, 因此在 x1 , x2 ,?, x2016 中,最少可以找到672个无理数. 14.已知集合A、B都是由正整数组成的集合,且 A ? 20, B ? 16 ,集合A满足: 若 a ? b ? m ? n ? a, b, m, n ? A? ,则 ?a, b? ? ?m, n? ,定义 A ? B ? a ? b a ? A, b ? B , 试确定 A ? B 的最小值. 【解析】记 A ? ?a1, a2 ,?, a20? , B ? ?b1, b2 ,?, b16? , C j ? ai ? b j i ? 1, 2,? , 20 , 其中 j ? 1, 2,?,16 ,则 A ? B ? ? C j ,
j ?1 16

?

?

?

?

先用反证法证明 Cm ? Cn ? 1? m ? n? :假设存在 Cm , Cn ? m ? n ? , Cm ? Cn ? 2 , 则存在 k1 , k2 , l1 , l2 ,使得: ak1 ? bm , ak2 ? bm , al1 ? bn , al2 ? bn ? Cm ? Cn , 且 ak1 ? bm ? ak2 ? bn , al1 ? bm ? al2 ? bn , ak1 ? ak2 , al1 ? al2 , ∴ ak1 ? ak2 ? al1 ? al2 ,∴ ak1 ? al2 ? al1 ? ak2 ,∴ ak1 ? al1 ? ak2 ? al2 , ∴ ak1 ? al1 , ak2 ? al2 ,∴ ak1 ? bm ? Cn , al2 ? bn ? Cm ,∴ ak1 ? bn ? al2 ? bm , ∴ Cm ? Cn 中最多只有一个元素,与假设矛盾,故 Cm ? Cn ? 1? m ? n? 成立; 由容斥原理得: A ? B ?

?

? ?

?

?C
j ?1

16

j

? ? Ck ?
k ?1

16

1? m ? n ?16

? ?C

m

2 ? Cn ? ? 20 ? 6 ? C16 ? 200 ,

2 20 2 16 另一方面,令 A ? 2, 2 ,? , 2 , B ? 2, 2 ,? , 2 ,容易验证:

?

?

?

?

m n 当 m, n, k 互不相等时有, Cm ? Cn ? 2 ? 2 , Cm ? Cn ? Ck ? ? ,这时 A ? B ? 200 ,

?

?

综上知, A ? B 的最小值是200.


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