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专题一 函数定义域的求法


专题一:函数定义域的求法
一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。 二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零。 (1、2、3、4、5 限制法)

6、正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? k? ?

?
2

, k ? z} 。

/>
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7、余切函数 y ? cot x 的定义域为 {x | x ? k? , k ? z} 。 8、复合函数的定义域的求法 (1)已知原函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,求复合函数 f [ g ( x)] 的定义域:只需解 不等式 a ? g ( x ) ? b ,不等式的解集即为所求函数的定义域。

10、求含有字母参数的函数的定义域 一般要根据情况分类讨论。 11、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义,还要保证满足实际意义。 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示,不能用不等式表示。函数的定义域也可以用区间表示,因为区间实际上是集合 的一种特殊表示形式。 四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法。

五、函数的问题,必须遵循“定义域优先”的原则。 研究函数的问题,不管是具体的函数,还是抽象的函数,不管是简单的函数,还是复杂的函数,必须优先考虑函 数的定义域。之所以要做到这一点,不仅是为了防止出现错误,有时还会为解题带来方便。 【方法讲评】


方法二 使用情景

求交法 函数是由一些函数四则运算得到的,即函数的形式为 f ( x) ? g ( x) ? h( x ) 型。 一般先分别求函数 g ( x) 和 h( x) 的定义域 A 和 B ,再求 A ? B , A ? B 就是函

解题步骤 数 f ( x) 的定义域。


例2

求函数

+ 的定义域。 y ? 25 ? x 2 log 3 cos x

方根的被开方数 是非负数,对数函数的真数大于零,列不等式求函数的定义域时,必须考虑全面,不能漏掉限制条件。 (3)解不等式

??5 ? x ? 5 ? cos x ? 0 时,主要是利用余弦函数的图像解答。 (4)求 ? ? ? 2 k? ? ? x ? 2 k? ? ? ? 2 2

k?z

的解集时,只需给参数 k 赋

几个整数值,再通过数轴求交集。 (5)注意等号的问题,其中只要有一个错误,整个解集就是错误的, 所以要仔细认真。 方法三 使用情景 抽象复合法 涉及到抽象复合函数。 利用抽象复合函数的性质解答: (1)已知原函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,求 复合函数 f [ g ( x)] 的定义域:只需解不等式 a ? g ( x ) ? b ,不等式的解集即 解题步骤 为所求函数的定义域。 (2)已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域为 (a, b) ,求原 函数 f ( x) 的定义域: 只需根据 a ? x ? b 求出函数 g ( x) 的值域, 即得原函数

f ( x) 的定义域。
例5 求下列函数的定义域:
2

f x)的定义域为 [?2, 2] ,求函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域。 (1)已知函数 ( f x)的定义域。 (2)已知函数 y ? f (2 x ? 4) 的定义域为 [0,1] ,求函数 ( f x)的定义域为 [?1, 2] ,求函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域。 (3)已知函数 (
2

解: (1)令-2≤ x 2 —1≤2
2

得-1≤ x 2 ≤3,即

0≤ x 2 ≤3,从而

- 3≤x≤ 3

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∴函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [? 3, 3] 。

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(2) ∵ y ? f (2 x ? 4) 的定义域为 [0,1] , 即在 y ? f (2 x ? 4) 中 x ∈ [0,1] , 令 t ? 2 x ? 4 , x ∈ [0,1] , 则 t ∈ [4, 6] ,

f x)的定义域为 [4, 6] 。 即在 f (t ) 中, t ∈ [4, 6] ∴ (
(3)由题得 ?

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??1 ? x ? 1 ? 2
2 ??1 ? x ? 1 ? 2
2

?? 3 ? x ? 1

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∴函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域为 [? 3,1] 。

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【强化练习】

lg( x ? x 2 ) ? (3 x ? 2) 0 的定义域 1.求函数 y ? | x ? 3 | ?3

2. 求函数 y ? log a ( a x ? 1)

(a ? 0且a ? 1) 的定义域。

3.求函数 y ? ln (a x ? 1) ?

1 ?x ? 2x ? 3
2

的定义域。

4.

已知函数 y ? f (tan 2 x) 的定义域为 [0,

?
8

] ,求函数 f ( x) 的定义域。

6.若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,求函数 f (log 2 x) 的定义域。 2 7.【高考真题江西理 2】下列函数中,与函数 y ? A. y ?

?1 ? ? ?

3

1 定义域相同的函数为( x
sin x x




1 sin x

B. y ?

ln x x

C.y= xe x

D. y ?

8.【高考真题江苏理 5】函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为

9.设 a∈(0,1) ,则函数 y= log a ( x ? 1) 的定义域是( A、 (1,2]
x

) D、 (﹣∞,2] .


B、 (1,+∞) C、[2,+∞)


10.设 f(2 ﹣1)=2x﹣1,则 f(x)的定义域是

11.设函数 y=lg(x ﹣x﹣2)的定义域为 A, ,函数 y=

2

的定义域为 B,则 A∩B=



12.设函数 f(x)的定义域是[0,1],求函数 f(x )的定义域.

2

13.求函数 y=lgtanx+

1 16 ? x 2

的定义域。

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14.设 f ( x) ? ln

1? x x 1 ,求函数 g ( x) ? f ( ) ? f ( ) 的定义域。 1? x 2 x


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