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2.1.1指数与指数幂的运算


2.1.1 指数与指数幂的运算

问题1、根据国务院发展研究中心2000年发
表的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年,我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%,那么,在2001 ~ 2020年,各年的GDP可望为2000年的多少倍?

问题2:当生物死亡后,它机体内原有的碳14 会按确定的规律衰减

,大约每经过5730年衰 减为原来的一半. 根据此规律,人们获得了生 物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系

?1? P ?? ? ? 2?

t 5730

(*)

考古学家根据(*)式可以知道,生物死亡t 年后,体内的碳14含量P的值。

一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且n?N*),则称x是a的n次方根. 定义2:式子n a 叫做根式,n叫做根指数, 叫做 被开方数 填空: (1)25的平方根等于_________________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)16的四次方根等于_______________ (5)a6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________

a

性质:
(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数. (2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,它们 互为相反数. (3)负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)

(

n

a)
5

n

?a
4

?32 ? _______ 81 _______ 2 ? ________ 3 _______
10 3 12

探究

n

a ?a
n

一定成立吗?

1、当 n 是奇数时,n a n ? a
a ( a ? 0 ) ? 2、当 n 是偶数时, a ?| a |? ? ?? a (a ? 0)
n n

例1、求下列各式的值:

(1) (?8)
3 4

3 4

(2) (?10)

2 2

(3) (3 ? ? )

(4) (a - b) (a ? b).

练习①计算 3 (?8)3 ? 4 ( 3 ? 2) 4 ? 3 (2 ? 3)3
?

② 若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围

二、分数指数幂
? 1.复习初中时的整数指数幂,运算性质

a ? a ? a ? a ??? a, a ? 1 (a ? 0) ,
n 0

0 无意义
a
?n

0

1 ? n a
n

(a ? 0)
m? n

a ?a ? a
m

; (a ) ? a
m n

mn

(a ) ? a , (ab) ? a b
n m mn n

n n

? 2.观察以下式子,并总结出规律:a>0
5

a ? (a ) ? a ? a
10 5 2 5 2

10 5

a ? (a ) ? a ? a
8 4 2 4

8 2

4

a ? (a ) ? a ? a
12 4 3 4 3

12 4

5

a ? (a ) ? a ? a
10
5

2 5

2

10 5

?小结:当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时,根式可以写成分数作为指数的 形式,(分数指数幂形式)

?

思考:根式的被开方数不能被根指数整除时,根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ?如:
3

a ? a (a ? 0)
2
4

2 3

b ? b (b ? 0)

1 2

c ? c (c ? 0)
5

5 4

即:a ? a (a ? 0, n ? N , n ? 1)
n m *

m n

?

为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:

a ? a (a ? 0, m, n ? N )
n m *

m n

正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同

即:a

?

m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数
指数幂无意义

由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因

此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂
的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:

a ?a ? a
r s
r S rs

r ?s

(a ? 0, r, s ? Q)

(a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q)
(a ? b) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r r

例2、求值
8
2 3

;

25

?

1 2

;

?1? ? ? ? 2?

?5

? 16? ; ? ? ? 8 1?

?

3 4

例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):

(1) a ?

3

a ( 2) a ?

2

3

a

2

(3) a a

3

例4、计算下列各式(式中字母都是正数)

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2)(m n )

1 4

3 ? 8 8

例5、计算下列各式

(1)( 25- 125) ? 25
3 4

(2)

a

2 2

a a

3

(a ? 0)

三、无理数指数幂

一般地,无理数指数幂 a? (

? >0, ? 是

无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.

思考:请说明无理数指数幂

2

3

的含义。

课堂练习:课本P54练习1、2、3。 课后作业:作业本P37--41

小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化

3、有理指数幂的含义及其运算性质

1、已知 x

?3

?3 ?6 ? ? ? 1 ? a ,求 a 2ax x 的值。

2

2、计算下列各式

(1)

a ?b a ?b
2

1 2

1 2
1 2

1 2

?

a ?b a ?b
?2

1 2

1 2
1 2
?2

1 2

(2)(a ? 2 ? a ) ? (a ? a )
2

3、已知 x ? x
1 2

?1

? 3,求下列各式的值
? 1 2

(1) x ? x
1 2

( 2) x ? x
4、化简

?

1 2
9 4 6 3
4

(

3 6

a ) ?(
8

a )

9

4 的结果是(
2

C)

A.a

16

B. a

C. a

D. a

5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) 6、 (| D.2

x | ?1)

?

1 2 有意义,则 x

(

的取值范围是 (-?,1)?(1,+?)
3 x? y 2

)

7、若10x=2,10y=3,则10

2 6 ? 3 。

B 8、a , b ? ,下列各式总能成立的是( R
A .( a ?
6 6 6



2 2 8 2 2 8 ? ? ? ? ? b) a b B. ( a b ) a b

C.

4

a

4

?
?

4
1 32

b

4

? a ? b D. 10 ( a ? b ) 10 ? a ? b
? 1 16

9、化简 (1 ? 2

)(1 ? 2

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )的结果 ( A)
?

?

1 8

?

1 4

?

1 2

1 A. (1 ? 2 2
C.1 ? 2
? 1 32

?

1 32

)

?1

B.(1 ? 2

1 32

)
?

?1

1 D.1 (1 ? 2 2

1 32

)

?作业:课本P59,习题2.1
?A组1、2、3、4; ?B组2。


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§2.1.1 指数与指数幂的运算

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