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2015高中数学 1.5.3正弦函数的性质 课件(北师大版必修4)


高中数学· 必修4· 北师大版

5.3 正弦函数的性质

[学习目标]

1.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)
值、单调性、奇偶性; 2.能熟练运用正弦函数的性质解一些简单问题.

[知识链接] 1 . 观 察正弦函数图像知正弦曲线每相隔 2π 个单位重复出现

/>
其理论依据是什么?
答 诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)当自变量x的值增加 2π的整数倍时,函数值重复出现. 2.观察正弦曲线的对称性,你有什么发现? 答 正弦函数y=sin x的图像关于原点对称;

3.上述对称性反映出正弦函数分别具有什么性质?
答 正弦函数是R上的奇函数.

[预习导引]
1.正弦函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 y=sin x R [-1,1] 奇函数 2π 为最小正周期

当 单调性 当 最大值 与最小值

? π π? x∈?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z) ? ?

时,递增;

? π 3 ? x∈?2kπ+2,2kπ+2π?(k∈Z)时,递减 ? ?

π 当 x= 2kπ+2(k∈Z) 时,最大值为 1 ; π 当 x=2kπ-2(k∈Z)时,最小值为 -1

2.正弦函数 y=sin x 的图像关于点 (kπ,0)(k∈Z) π 关于直线 x=kπ+2(k∈Z) 轴对称.

中心对称,

要点一 例1

正弦函数的周期性

求下列函数的周期. (x∈R);(2)y=|sin 2x| (x∈R).

? π? (1)y=sin?2x+3? ? ?

π 解 (1)法一 令 z=2x+3, ∵x∈R,∴z∈R,函数 f(x)=sin z 的最小正周期是 2π, 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z+2π, 函数 f(x)=sin z(z∈R)的值才能重复取得, π π 而 z+2π=2x+3+2π=2(x+π)+3,所以自变量 x 只要且至少 要增加到 x+π, 函数值才能重复取得, 从而函数 (x∈R)的周期是 π.
? π? f(x)=sin?2x+3? ? ?

法二

? π? 2π f(x)=sin?2x+3?的周期为 =π. 2 ? ?

(2)作出 y=|sin 2x|的图像.

π 由图像可知,y=|sin 2x|的周期为 . 2

规律方法

对于形如函数 y=Asin(ωx+φ),ω≠0 时的周期求法

2π 常直接利用 T= 来求解,对于 y=|Asin ωx|的周期情况常结合 |ω| 图像法来求解.

跟踪演练 1 求下列函数的周期.
?3 ? ? 1 2 ? π?? (1)y=cos?2π-3x?;(2)y=?sin?-2x+3??. ? ? ? ? ??

2 2π 解 (1)y=-sin3x,T= 2 =3π. 3
? ?1 π?? 2π 1 (2)y=?sin?2x-3??,T= 1 ×2=2π. ? ? ??

2

要点二 正弦函数的奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性.

? 1 π? (1)f(x)=sin?-2x+2?; ? ?

(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 1+sin x-cos2x (3)f(x)= . 1+sin x



1 (1)显然 x∈R,f(x)=cos2x, 1 =cos2x=f(x),

? 1 ? f(-x)=cos?-2x? ? ?

∴f(x)是偶函数.
? ?1-sin (2)由? ? ?1+sin

x>0 ,得-1<sin x<1. x>0 .

? ? π ? ? ? ? ? 解得定义域为 x x∈R且x≠kπ+2,k∈Z? ? ? ? ? ?

∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, π ∴x∈R 且 x≠2kπ- ,k∈Z. 2 ∵定义域不关于原点对称,∴该函数是非奇非偶函数.

规律方法 判断函数奇偶性,要先判断函数的定义域是否关 于原点对称,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数

的前提条件,然后再判断f(-x)与f(x)之间的关系.

跟踪演练 2

判断下列函数的奇偶性: x;

?3 ? (1)f(x)=cos?2π+2x?+x2sin ? ?

(2)f(x)= 1-2sin x+ 2sin x-1. 解 (1)f(x)=sin 2x+x2sin x,又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+

(-x)2sin(-x)=-sin 2x-x2sin x=-f(x),∴f(x)是奇函数.
? ?1-2sin x≥0 (2)由? ? ?2sin x-1≥0

1 ,得 sin x= . 2

∴函数 f(x)的定义域为
? ? π 5 ? ? ? ?x?x=2kπ+ 或x=2kπ+ π,k∈Z? 6 6 ? ? ? ? ?

.

∵f(x)的定义域不关于原点对称. ∴f(x)是非奇非偶函数.

要点三 正弦函数单调性的应用
例3 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°; (2)sin 1,sin 2,sin 3. 解 (1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,

cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°,
∵0°<16°<66°<90°,∴sin 16°<sin 66°. 从而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.

π (2)∵1<2<2<3<π,sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3.
? π? π 0<π-3<1<π-2<2且 y=sin x 在?0,2?上递增, ? ?

∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2),即 sin 3<sin 1<sin 2.

规律方法 用正弦函数的单调性来比较大小时,应先将异名 化同名,再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一 单调区间,再利用单调性来比较大小.

跟踪演练 3 比较下列各组数的大小. (1)cos 870° ,cos
? 37 ? 49 ? ? 890° ;(2)sin - 6 π ,sin π. 3 ? ?

解 (1)cos 870° =cos(2×360° +150° ) =cos 150° =-sin 60° , cos 890° =cos(2×360° +170° )=cos 170° =-sin 80° , ∵sin 60° <sin 80° ,∴-sin 60° >-sin 80° ,即 cos 870° >cos 890° .

? 37? ? ? π? π? (2)sin?- 6 ?π=sin?-6π-6?=sin?-6?, ? ? ? ? ? ? ? π? 49 π ? ? sin 3 π=sin 16π+3 =sin3, ? ?

∵正弦函数 y=sin x
? π? π ? ? ∴sin -6 <sin3,即 ? ?

? π π? 在?-2,2?上是增函数, ? ? ? 37 ? 49 ? ? sin - 6 π <sin 3 π. ? ?

例4 解

求函数

? 1 π? y=1+sin?-2x+4?, x∈[-4π, 4π]的单调减区间. ? ?

? 1 ?1 π? π? y=1+sin?-2x+4?=-sin?2x-4?+1. ? ? ? ?

π 1 π π π 3 由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2(k∈Z).解得 4kπ-2≤x≤4kπ+2 π(k∈Z). π 3 π 5 令 k=0 时,- ≤x≤ π;令 k=-1 时,-4π- ≤x≤- π; 2 2 2 2 7 3 令 k=1 时,2π≤x≤4π+2π.∵-4π≤x≤4π,

∴函数

? 1 ? π? 5 ? y = 1 + sin ?-2x+4? 的 单 调 减 区 间 为 ?-4π,-2π? , ? ? ? ?

? π 3 ? ?7 ? ?- , π?,? π,4π?. ? 2 2 ? ?2 ?

规律方法 确定函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+ φ)单调
区间的基本思想是整体换元思想,即将ωx+ φ视为一个整 体.若x的系数为负,通常利用诱导公式化为正数再求 解.有时还应兼顾函数的定义域.

跟踪演练 4 求函数 答

? 1 π? y=sin?-2x+3?的单调递增区间? ? ?

? 1 ?1 π? π? y=sin?-2x+3?=-sin?2x-3?. ? ? ? ?

π 1 π 3 5 11 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π,k∈Z.∴4kπ+ π≤x≤4kπ+ π, 2 2 3 2 3 3 k∈Z. ∴函数 ∈Z,
?1 ? π? 5 11 ? y=sin?2x-3?的单调递减区间是?4kπ+3π,4kπ+ 3 π?, k ? ? ? ?

即函数

? 1 π? y=sin?-2x+3?的单调递增区间是 ? ?

? 5 11 ? ?4kπ+ π,4kπ+ π?,k∈Z. 3 3 ? ?

再见


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