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1.5 函数y=Asin(wx+¢)的图象(一) 2


1.5

函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图象(一)

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间
x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y= Asin(ω x+? ) 的函数(其中A, ω , ? 都是常数).

下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象. y y

r />6 4 6

4
2

2

o
-2 -4 -6

2

4

6

8

x

o
-2
-4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

思考:电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看, 函数y ? sin x就是函数y ? Asin(?x ? ?) 在 A ? 1, ? ? 1, ? ? 0时的情况.

探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响.
作函数 y ? sin(x ?
? ? )及 y ? sin(x ? ) 的图象. 3 4

思考:五点作图法如何选取合适的五个点?

1.列表:

x?

?
3
?

0

? 2

?

3? 2

2?

x
sin( x ? ) 3

?
3
0

5? 6
1

4? 3
0

11? 6
-1

7? 3
0

2. 描点、作图:

?

?
4

1

y

y ? sin( x ?

?
3

)

O
?1

?
3

2? ?

x

? ? ? y sin(x ) 4

? ? 我们来观察 y ? sin(x ? ) , y ? sin(x ? ) 和 y ? sin x 的 3 4 图像之间的关系.

y
?

?
4

1

y ? sin( x ?

?
3

)

O ?1

?
3

2? ?
?
4 )

x

y ? sin( x ?

?

?
4

1 O

y

?
3

2? ?

x

?1

y
?

?
4

1 O

y ? sin( x ?

?
3

)

?
3

2? ?
?
4 )

x

?1

y ? sin( x ?

函数y=sin(x+ ? ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上
所有的点向左(当 ? >0时)或向右(当 ? <0时)平移| ? |个单 位而得到的.

思考:函数y ? f (x)与y ? f (x ? b)的图象有何关系?

探索?对y ? sin( ?x ? ? )的图象的影响.
? ? y ? sin ( x ? ) y ? sin ( 2x ? ) 作函数 及 的图象. 3 3 7? ? ? 5? ?

x

?

2x ?

?
3 ?
3 )

6

12

0

?

3

2

?
0
2? 3

12 3?
2

6 2?

sin(2 x ?

0
?

1

-1
7? 6

0
5? 3

x
x?

?
3

?
6

?
3 ?
3 )

0
0

? 2
1

?
0

3? 2
-1

2?
0

sin( x ?

2. 描点、作图:

y

1
y ? sin( x ?

?
3

)

?

?
3

O
?1
y ? sin(2x ?

?
?
3 )

2?

x

? 1 ? y ? sin ( x ? ) ( x ? )的图象. 作函数 及 y ? sin 2 3 3 y 1 2? 3? 4? ? O
?1

x

y ? sin( x ?

?
3

)

? 1 ? 下面我们来观察 y ? sin( x ? ) , y ? sin(2x ? ) 2 3 3 ? 如何由 y ? sin(x ? ) 的图像变换得到. 3

1 ? y ? sin( x ? ) 2 3

y

1
O ? 2? 3? 4? 1 ? y ? sin ( x? ) 2 3 x

? ?1 ? y ? sin ( x ? ) y ? sin (2x ? ) 3 y 3 1 ? y ? sin ( x? ) 2 3 1 2? 3? ? O
?1
y ? sin (2x ?

4? x

?
3

)

? 可以发现,对于同一个y值,y ? sin(2x ? ) 的图象上的 3 ? (x ? ) 的图象上对应点的横坐 点的横坐标总是等于 y ? sin 3
1 标的 2

1 ? 而得到的. 那么 y ? sin 的图象呢? ( x? ) 2 3

? 1 y ? sin (x ? ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 2 3

? y ? sin(2x ? ) 的图象,可以看作是把 倍. 这说明, 3

函数y=sin(?x+ ? ) (? >0且?≠1)的图象可以看作
是把 y=sin(x+ ? )的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1

时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的
得到的.

1

?

倍(纵坐标不变) 而

思考:函数 y ? f ( x )与函数 y ? f ( k x ) 的图象有何关系?

1.思考下列函数图象可以怎么得到. ① 怎样由函数 y ? sin x 的图象得到函数 y ? sin( x ? ? ) 2 6 2 的图象? ②
x 怎样由函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象得到函数 y ? sin
2 6

的图象? ③

2

? 怎样由函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象得到函数 y ? sin( x ? )

的图象?

2

6

2

6

? ? 2.作出函数 y ? sin(2x ? ) 和 y ? sin(2x ? ) 在一个周 4 3

期上的简图. y 1
? 8
y ? sin( 2 x ? ) 3

?

?

O

?

? 2

?
7? 6
7 ? 8

x

?1

6

y ? sin( 2 x ? ) 4

?

? ? 3.把y ? sin(2x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数为( D ) ? A. y ? sin(2x ? ) 2 ? B. y ? sin(2x ? ) 6 3 C. y ? sin(2x ? ) 2 D. y ? sin 2x

x ? x 4.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象( C ) ? 6 ? B. 向左平移 6 ? C. 向右平移 3 ? D. 向左平移 3 A. 向右平移

1.作正弦函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法: (1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图. 2.“五点法”作图时,一般是令ω x+?取0, 2π ,算出相应的x的值,再列表,描点作图. 3.函数图象变换主要是平移与伸缩变换,要注意平移与 伸缩的多少与方向.
?

,π , 2

3? 2

,


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