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2012江苏省数学竞赛《提优教程》第52讲 圆锥曲线(一)


第 52 讲

圆锥曲线(一)

常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等,前面已经研究过圆,本讲将对竞赛中常 见的有 关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究. 1.各曲线的定义 (1)椭圆:{P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|,F1、F2 为定点,2a 为正常数}; (2)双曲线:{P| ||PF1|-|PF2||=2

a,2a<|F1F2|,F1、F2 为定点,2a 为正常数}; |PF| (3)抛物线:{P||PH|=1,F 为定点,|PH|是 P 到定直线 l 的距离}. 圆锥曲线的统一定义:平面上,到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之比为一个 常数 e 的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线). 当 0<e<1 时,曲线是椭圆;当 e>1 时,曲线是双曲线;当 e=1 时,曲线是抛物线.这 个定点 F 叫做曲线的焦点,定直线 l 叫做曲线的准线,定点 F 到定直线的距离 p 叫做焦参数. 2.标准方程 x2 y2 y2 x2 (1)椭圆: 2+ 2=1(a>b>0), 2+ 2=1(a>b>0); a b a b x2 y2 y2 x2 (2)双曲线:a2-b2=1,a2-b2=1(a>0,b>0); (3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0). 3.几何性质:(见教材) 4.直线与椭圆、双曲线、抛物线间关系的判别方法 判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的关系的方法主要有两种:一种是由它们的方程消去 一个未知数(如 y),得到另一个未知数(如 x)的一元二次方程,利用其根的判别式 Δ>0、Δ=0、 Δ<0 可分别判断直线与椭圆、双曲线、抛物线有两个不同的公共点、只有一个公共点、没有 公共点. 对于双曲线、抛物线还要特别注意二次项系数是否为零的讨论. 另一种是取椭圆、双曲线的参数方程,再转化为三角方程是否有解的问题.

A 类例题
x 2 y2 例 1.椭圆12+ 3 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 那么|PF1|是|PF2|的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍(1998 年全国高考题) 分析 本题涉及到椭圆的几何性质、焦半径长,中点坐标公式等,也可以用椭圆的第二定 义来求解. 解 由已知得 F1、F2 的坐标分别为(-3,0)、(3,0). x1-3 设 P(x,y),线段 PF1 的中点的横坐标为 0,那么 2 =0,x1=3. 3 3 3 将 x1=3 代入椭圆方程得,y1=± 2 ,所以 P(3,± 2 ),则|PF2|=|y1|= 2 . 7 3 因为|PF1|+|PF2|=4 3,则|PF1|= ,故|PF1|=7|PF2|. 2 说明 本题也可以用焦半径公式求解,与焦半径有关的内容详见圆锥曲线(二).

x2 y2 例 2.设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点,已知原 a b 3 点到直线 l 的距离为 4 c,则双曲线的离心率为( A.2 B. 3 C. 2 ) D. 2 3 (1996 年全国高考题) 3

解 法一 因为 b>a>0,所以 c2=a2+b2>2a2,c> 2a, c 2 3 则离心率 e=a> 2> 3 ,故排除选项 C、D. 因为直线 l 过点(a,0)、(0,b),原点到直线 l 的距离为 3 3 c,则 c2= ab,检验 A、B 4 4

分支,选 A. 法二 因为直线 l 过点(a,0)、(0,b),则 l 的方程为 bx+ay-ab=0,所以原点到直线 l |-ab| 3 ab 3 2 2 2 4 2 的距离为 2 2= 4 c,因为 c =a +b (b>a>0),所以 c = 4 c,整理得,3e -16e + a +b 4 16=0,解得 e2=4 或 e2= . 3 c2 因为 b>a>0,所以 c2=a2+b2>2a2,所以 e2= 2>2,故 e2=4,即 e=2,故选 A. a 例 3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不 同的两点 A、B,|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围; (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 ΔNAB 面积的最大值.(2001 年北京、内 蒙古、安徽春季高考题) 解 (1)直线 l 的方程为:y=x-a, 将 y=x-a 代入 y2=2px,得 x2-2(a+p)x+a2=0. 设直线 l 与抛物线两个不同的交点坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),
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? ?Δ=4(a+p) -4a >0, ?x1+x2=2(a+p), ?x1x2=a2. ?

2

2

又 y1=x1-a,y2=x2-a, 则|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 2[(x1+x2)2-4x1x2]= 8p(p+2a). ?0<|AB|≤2p, p p 因为? 解得-2<a≤-4. ?8p(p+2a)>0. (2)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令 Q 坐标为(x3,y3), 则由中点坐标公式得 x3= y3= x1+x2 =a+p, 2 y1+y2 (x1-a)+(x2-a) =p, 2 = 2

所以,|QN|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2, 又 ΔMQN 为等腰直角三角形,则|QN|=|QM|= 2p. 1 2 2 所以 SΔNAB= |AB|·|QN|= p· |AB|≤ p· 2p= 2p2.即当|AB|=2p 时 ΔNAB 面积的 2 2 2 最大,最大值为 2p2.

说明 平面解析几何是通过研究二次方程来研究二次曲线的,常常解题根据根与系数的关 系整体利用两根的和与积.由于不论一元二次方程有无实根,根与系数的关系总成立,而解 析几何中曲线的交点坐标是实数,因 此使用根与系数关系时要注意检查该方程是否有实根. 正确使用这一方法解题,大致有三个步骤: (1)把已知条件、要计算的对象、要证明的结论,写成 x1+x2、x1x2(或 y1+y2、y1y2)的式 子; (2)由两条曲线(含直线)的方程消去一个未知数 ,得到另一个未知数的一元二次方程,根 据根与系数关系写出 x1+x2、x1x2(或 y1+ y2、y1y2)的表达式,代入第(1)步中的式子,并求出 结果; (3)检查(2)中的结果是否违背(2)中的一元二次方程根的判别式 Δ≥0.

情景再现
x2 y2 1.椭圆 9 + 4 =1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 横 坐标的取值范围是_____________.(2000 年全国高考题) x2 y2 2.已知 P 为双曲线 - =1 右支上的一点,F1、F2 分别为左、右焦点,若|PF1|:|PF2| 16 9 =3:2,试求点 P(x0,y0)的坐标.(1998 年济南高考模拟题) 3.如图,椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交 C 是线段 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率等 为直角坐标系的原点),求 a、b 的值.(1992 年全国
A O B

y

于 A、 B 两点,
C x



2 (其中 O 2

高考题)

B 类例题

[来源:学 _科 _网]

x2 y2 例 4.给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 + =1 上的一点,F1 是椭圆的左焦点,求当 25 16 5 |AB|+3|BF1|取最小值时,点 B 的坐标.(1999 年全国高中数学联赛) 3 5 5 分析 由于椭圆的离心率为 ,结合待求式子中有 的特点,可以考虑将 |BF1|利用椭圆的 5 3 3 第二定义转化为 B 点到相应准线的距离. 3 25 解 此椭圆的 a=5,b=4,c=3,e=5,作椭圆的左准线 l:x=- 3 . 对于椭圆上任一点 B?,连 AB?,B?F1,作 B?H⊥ 则 |B'F1| 3 5 = ,即|B?H|= |B?F1|. |B'H| 5 3
l B' B F1 A
O x y

l 于 H,

5 从而|AB?|+3|B?F1|=|AB?|+|B ?H|. 于是问题变为求|AB?|+|B?H|的最小值. 作 AC⊥l 于 C,交椭圆于 B.则|AC|≤|AB?|+ 25 19 求最小值.|AC|=(-2)-(- 3 )= 3 .

H C

|B?H|, 即|AC|为所

5 此时点 B 的纵坐标 y=2,代入椭圆方程,得点 B 的横坐标为 x=-2 3.

5 5 则当|AB|+ |BF1|取最小值时,点 B 的坐标为(- 3,2). 3 2 p p 例 5.如图,直线 l 的方程为 x=-2,其中 p>0;椭圆的中心为 D(2+2,0),焦点在 x 轴上,长半轴长为 2,短半轴长为 1,它的 0). 问 p 在哪个范围内取值时,椭圆上有 们中每一个点到点 A 的距离等于该点到直 离. (1988 年全国高考题) 解 假定椭圆上有符合题意的四点, 则 都应满足下面的椭圆方程: p [x-(2+ )]2 2 +y2=1, 4 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程 y2=2px, 从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同
O A D x l y

p 一个顶点为 A( , 2 四个不同的点, 它 线 l 的距 这四个点的坐标

?[x-(2+2)] +y =1, 的实数解:? 4 ?y =2px
p
2 2 2

(1) (2);

p 将(2)式代入(1)式,得[x-(2+2)]2+8px=4, p2 即 x2+(7p-4)x+ +2p=0 4 (3)

所以原方程组有 4 个不同的实数解,当且仅当方程(3)有两个不相等的正根,而这又等价 p2 Δ=(7p-4)2-4( +2p)>0, 4 2 p x1x2= 4 +2p>0, 于 x1+x2=7p-4<0, p>0. 1 解得 0<p<3.

? ? ?

1 所以,所求的 p 的取值范围为(0,3). 例 6.已知点 A(0,2)和抛物线 y2=x+4 上两点 B,C,使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标 的取值范围.(2002 年全国高中数学联赛) 解 设 B(y02-4, y0), C(y12-4, y1). 1 则 kAB= 2 =y +2. 0 y -4
0
(-4,0)

y0-2

y

A

(0,2 )

O

x

y1-y0 1 kBC= 2 2=y +y . 1 0 y1-y0

B C

由 kAB· kBC=-1,得(y1+y0)(y0+2)=-1. 2 则 y0 +(y1+2)y0+(2y1+1)=0. 则得△=(y1+2)2-4(2y1+1)=y12-4y1≥0, 故 y1≤0,y1≥4. 当 y1=0 时,得 B(-3,-1),当 y1=4 时,得 B(5,-3)均满足要求,故点 C 的纵坐标 的取值范围是(-∞,0]∪[4,+ ∞).
[来源:学科网 ZXXK]

情景再现
4.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q,且 OP⊥ OQ,|PQ|= 10 .求椭圆的方程. (1991 年全国高考题) 2

5.已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴,若点 A(-1, 0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线 C 的方程. (1994 年全国高考题) 2 x 6.已知椭圆 C1 的方程为 4 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点, 而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个 交点 A 和 B 满足OA· OB<6(其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围.(2005 年高考题(重庆卷))

→→

C 类例题
例 7.点 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px 上的任意一定点,PA、PB 是抛物线的两条互相垂直 的弦,求证:AB 过定点. 分析 由于 PA⊥PB,故可考虑引入参数 k(斜率). 证明 设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),PA 的斜率为 k,则 PA 的方程:y -y0=k(x-x0). y-y0 则 y-y0=k(x-x0),可得 x= +x0, k 2p y2=2px,以①代入得:y2- k (y-y0)-2px0=0. 2p y02=2px0,代入②得:y2-y02- k (y-y0)=0. 2p 由于 y≠y0,则 y+y0= . k ③ ① ②



2p 即得点 A 的坐标为:A(x1, k -y0);同理得 B 的坐标为 B(x2,-2py-y0). y2-y1 y2-y1 2p 因为 yAB= = 2 2= y2+y1, x2-x1 y1 y2 2p - 2p 2p 故 AB 的方程为: y-y1= y +y (x-x1), 即(y1+y2)y-y1y2=2px. 2 1

⑤ (其中 y12=2px1)

2p 又 y1+y2= -2py-2y0; k



2p 2p y 1y2=( k -y0)(-2py-y0)=-4p2- k y0+2pyy0+y02 2p =-( -2py-2y0)y0-4p2-2px0. k



2p 将⑥、⑦两式代入⑤,得( k -2py-2y0)(y+y0)-2p(x-x0-2p)=0. 则 x=x0+2p,y=-y0 时,此式恒成立,故直线 AB 恒过定点(x0+2p,-y0).



y-y0 思考 1 上述解法运算量很大,原因之一是将①x= k +x0 代入较繁.如果能避免此步 代入,则运算可得到简化: 改进 1 将②-③:y2-y02=2p(x-x0),再将①代入,即可得④式. 思考 2 将⑥、⑦两式代入较繁,如不用此式代入,则可减少运算量: 改进 2 由④式知:y 1+y0= -4p2. ⑨
[来源:学科网]

2p ,y2+y0=-2py,两式相乘,得 y1y2+(y1+y2)y0+y02= k

将⑨代入⑤,并以 y02=2px0 代入得:(y1+y2)y+(y1+y2)y0+2px0+4p2-2px=0,就是 ⑧式. 思考 3 运算过程中,设了斜率 k,又消去了 y,如果一开始不设 k,行吗? y1-y0 y2-y0 yi-yj yi-yj 2p 改进 3 由 PA⊥PB,得 · =-1,但 = y 2 y 2= ,于是就有(y1+ x1-x0 x2-x0 xi-xj y j i i+yj - 2p 2p y0)(y2+y0)=-4p2.这就是⑨式,不需要用 k. 因此有如下简洁的证法: 证明 设 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则得 y0=2px0,y1=2px1,y2=2px2. y2-y1 y2-y1 y2-y1 2p 由于 kAB= = y 2 y 2= ,则直线 AB 方程为 y-y1= (x-x1),即(y1 x2-x1 y2+y1 x2-x1 1 2 - 2p 2p +y2)y-y1y2=2px. ⑩
2 2 2

y1-y0 y2-y0 yi-yj 2p 因为 PA⊥PB,故有 · =-1,但 = ,于是就有(y1+y0)(y2+y0)=- x1-x0 x2-x0 xi-xj yi+yj

4p2,即 y1y2+(y1+y2)y0+y02=-4p2. 代入⑩式,即得(y1+y2)(y+y0)-2p(x-x0-2p)=0. 从而可得当 x=x0+2p,y=-y0 时,此式恒成立,故直线 AB 恒过定点(x0+2p,-y0). x2 例 8.设曲线 C1:a2+y2=1(a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方仅有一个公共点 P. (1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示); 1 (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<2时,试求Δ OAP 的面积的最大 值(用 a 表示).(2001 年全国高中数学联赛)

?x 2+y2=1, ? 解 (1)由 ?a ? ?y2=2(x+m).
消去 y 得,x2+2a2x+2a2m-a2=0. ① 设 f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,问题?转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只须讨论以下三种情况: a2+1 1?Δ =0 得 m= 2 .此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合; 2?f(a)· f(-a)<0 当且仅当-a<m<a; 3?f(-a)=0 得 m=a.此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a,即 0<a<1 时适合. 由 f(a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. a2+1 综上可知,当 0<a<1 时,m= 2 或-a<m≤a;当 a≥1 时,-a<m<a. 1 (2)Δ OAP 的面积 S= ayp. 2 1 因为 0<a<2,故-a<m≤a 时,0<-a2+a a2+1-2m<a,由唯一性得 xp=-a2+a a2+1-2m.显然当 m=a 时,xp 取值最小. 由于 xp>0,从而 yp= xp2 1- a2 取值最大,此时 yp=2 a-a2 ,故 S=a a-a2 .

2

a2+1 1 当 m= 2 时,xp=-a2,yp= 1-a2 ,此时 S=2a 1-a2 . 1 下面比较 a a-a2 与2a 1-a2 的大小: 1 1 令 a a-a2 =2a 1-a2 ,得 a=3. 1 1 1 故当 0<a≤ 时,a a-a2 ≤ a 1-a2 .此时 Smax= a 1-a2 . 3 2 2 1 1 1 当3<a<2时,a a-a2 >2a 1-a2 .此时 Smax=a a-a2 .

情景再现

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7.已知在抛物线 y=x2 上有一个正方形的三个顶点 A、B、C,求这种正方形面积的最小 值.(上海市 1998 年高中数学竞赛) 8.已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),(ab≠0,b2≠2pa),M 是抛物线上 的点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一交点分别为 M1,M2.

习题 52
y2 1.设直线 l:2x+y+2=0 关于原点对称的直线 l'.若 l'与椭圆 x2+ =1 的交点为 A、B, 4 1 点 P 为椭圆上的动点,则使 ΔPAB 的面积为2的点 P 的个数为( )(2005 年高考题(山东 卷)) A.1 B.2 C.3 D.4 x2 y2 2.点 P(-3,1)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,- a b 5)的光线,经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) 3 1 2 1 A. 3 B.3 C. 2 D.2(2005 年高考题(江苏卷)) x2 ? 3.已知椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1,F2,过右焦点 F2 作倾角为 的弦 AB,则△ABF1 2 4 的面积为( ) (第六届河南省高中数学竞赛) B. 4 3 4 2 C. 3 D. 4 3 3 2 2 A. 3

m 4.在下面四个图形中,已知有一个是方程 y2=- x 与 mx2+ny2=1(m≠0,n≠0)在同 n 一坐标系中的示意图,它应是(
y y

)(1985 年全国高中数学联赛)
y y

O

x

O

x

O

x

O

1

x
y=-x

5.如图,在建造一个截面为抛物线形的隧道 A. B. C. 的正方形支架,如果抛物线的方程为 y=-x2+c, 边长与正方形 EFGH 的边长之比为 5∶1,则正方 为 . (2004 年上海市 IT 杯高二数学竞赛题)

D.
y M N E A Q P F B

时, 用了三种规格 正方形 ABCD 的 形 MNPQ 的边长

H

G

6.已知椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0), 直线 x=4 是它的 C x D O 一条准线. (1)求椭圆的方程; (2)设 A1,A2 分别是椭圆的左顶点和右顶点,P 是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2 的一点,求 cos∠A1PA2 的值.(2002 年全国高中数学联赛山东赛区初赛赛题) 5 7.椭圆 x2+4y2=8 中,AB 是长为2的动弦,O 为坐标原点,求三角形 AOB 的面积的取 值范围.(2004 年全国高中数学联赛福建赛区初赛赛题)

x2 y2 8.设椭圆的方程 2+ 2=1(a>b>0),线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦, a b 若在左准线上存在点 R,使△PQR 为正三角
y

形,求离心率 e 的
R Q

取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. (2005 赛江苏赛区初赛赛题)

年全国高中数学联

P

F

O

x

本节“情景再现”解答: 3 3 1.(- , ). 2.P 点的坐标为(16,±3 15). 5 5 1+ 5 1 2 x2 y2 x2 y2 3.a=3,b= 3 .4.椭圆的方程为 2 + 2 =1,或 2 + 2 =1. 5.直线方程为 y= 2 3 3 4 5 x,抛物线 方程为 y2= 5 x. x2 195 3 1 1 6. (1)双曲线 C2 的方程为 3 -y2=1. (2)k 的取值范围是(-1, - 15 )∪ (- 3 , -2)∪ (2, 3 195 )∪ ( ,1). 3 15 7.设 A(x1,x12),B(x2,x22),D(x3,x32),直线 AB 的斜率为 k(k>0):则点 B 坐标满足 x22-x12=k(x2-x1),(x2≠x1),则 x2=k-x1.从而|AB| y C = (k - 2x1) k2+1 .同理 |AD| = (x1 - x3) 1 1+ 2 = k
D B A

2kx1+1 2 k +1.令|AB|=|AD|,得 k2(k-2x1)=2kx1 k2 + 1 , 从 而 得 x1 =

O

x

k3-1 k3-1 k2+1 . 故 |AB| = (k - (k - ) k2+1 = k2+1 ≥ 2k(k+1) 2k(k+1) k(k+1)

2k 2(k+1) · = 2.等号当且仅当 k=1 时成立,此时 x1=0,即 A 为原点,正方形面积最 k(k+1) 2 小值为 2. m1 m2 8.设 M( 2p ,m).M1( 2p ,m1), m2 M2( 2p ,m2),则由 A、M、M1 共线, b-m = m1-m m2 a- 2p m1
2 2 2

y
M2

M B

O
A
M1

x



, 则 m1=

m2 - 2p 2p

2pa-bm 2pa , 同法得 m2= m ; 故 M1M2 所在直线方程为(m1+m2)y b-m

=2px+m1m2.消去 m1,m2,得 2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+4p2a2-2pabm.

?

2pa 2pa 分别令 m=0, 1 代入, 得 x=a, y= , 以 x=a, y= 代入方程?知此式恒成立. 即 M1M2 b b 2pa 过定点(a, b ). 本节“习题 12”解答: 145 4.A.5. 6 -2. |PA1|2+|PA2|2-|A1A2|2 x2 y2 1 6.(1)椭圆的方程为 4 + 3 =1.(2)cos∠A1PA2= =-9. 2|PA1|·|PA2| 1.B. 2.A. 3.B. 7.令 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+b.代入椭圆的方程整理得(4k2 4(b2-2) 16(k2+1) 8kb 25 +1)x2+8kbx+4(b2-2)=0.故 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 .则 =AB2= 2 4 4k +1 4k + 1 (4k +1)2 25(4k2+1)2 | b| [2(4k2+1)-b2], 得 b2=2(4k2+1)- . 又原点 O 到 AB 的距离为 2 , 则 SΔ AOB 2 64(k +1) k +1 4k2+1 5 | b| 625 128 625 64 =4· 2 .记 u= 2 ,则有 S2Δ AOB=-1024(u2- 25 u )=4-1024(u -25)2.u=4 k + 1 k +1 - 3 64 的取值范围为[1,4](u=4 为竖直弦) .故当 u= 时,S2Δ AOB 的最大值为 4;当 u= 25 k2+1

2575 5 103 1 时,S2Δ AOB 的最小值为1024.因此,SΔ AOB 的取值范围是[ 32 ,2]. 8.如图,设线段 PQ 中点 M,过点 P、M、Q 分别作准线的垂线,垂足分别为点 P?,M?, 1 1 |PF| |QF| Q?, 则|MM?|= (|PP?|+|QQ?|)= ( + ) 2 2 e e 在点 R,则|RM|= |PQ|, 所以, e> ∠RMM?= 3 |PQ|,且|MM?|<|RM|, 2
y
R Q

= 即

|PQ| .假设存 2e |PQ| 3 < 2e 2

3 |MM?| . 于是, cos∠RMM?= 3 |RM|

M‘ P’ P F

M O

x

1 1 =2e? ,cot 3e 有 kPQ = tan ∠

1 .在图中,|PF|<|QF|,且 3e2-1

QFx=tan∠FMM?=cot∠RMM?=

1 3 1 .当 e> 3 时,过点 F 作斜率为 的焦点弦 2 3e - 1 3e2-1

3 PQ,它的中垂线交左准线于 R,由上述过程知,|RM|= 2 |PQ|.故?PQR 为正三角形.根据 对称性,当|FP|>|FQ|时,有 kPQ=- 的范围是(
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1 x2 y2 .所以,椭圆 a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e 3e2-1

3 1 ,1),且直线 PQ 的斜率为± . 3 3e2-1

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