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(6)(教师版)考点专题六 不等式


致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案

考点专题六
【考情分析】

不等式

从近四年高考试卷分析来看,在理科高考试卷中,本专题知识每年都会考查 2 题左右,所占 的分值比例约为 5.7%,难易度以容易题、较难题为主,在文科高考试卷中,本专题知识每 年都会考查 3 题左右,所占的分值比例约为 8.5%,

难易度以容易题、中等题为主,不等式是 数学研究的重要内容,蕴含着许多重要的数学思想(如数形结合、分类讨论、函数与方程、 等价转化)和方法(作差法、换元法、图解法、构造法、消去法、特值法等) ,所以是高考 重点考查内容, 高考中单纯对不等式性质的考查不多, 但它是进行不等式的变换、 解不等式、 证明不等式、求函数定义域等问题的依据,也突出了不等式的工具性. 本专题知识可以以填空题、选择题、解答题的形式考查,主要考查基本不等式、绝对值不等 式、分式不等式等知识. 对不等式性质的考查常将之与函数、 数列等内容联系, 以综合题的形式出现, 难度往往较大.

【重难点知识梳理】
[重难点] 1.解一元二次不等式要注意密切联系一元二次方程,二次函数的图像,一元二次方程的根, 就是二次函数与 x 轴交点的横坐标, 对应不等式的解集为使函数图像在 x 轴上方或下方的部 分对应的 x 的集合,方程的根为不等式解集区间的端点. 2.解含有参数的二次不等式关于字母参数的取值范围问题,一般讨论顺序为:?讨论二次项 系数是否为 0;?当二次项系数不为 0 时,讨论判别式是否大于 0;?当判别式大于 0 时, 讨论二次项系数是否大于 0,这决定所求不等式的不等号方向;④判断二次方程的两根的大 小. 3.应用基本不等式解决实际问题 4.绝对值不等式去绝对值符号的运算,分式不等式利用转化思想解不等式. [易错点] 1.要注意不等式性质成立的条件. 2.利用不等式的性质求范围要熟练掌握不等式的性质,特别是同向可加性和同向可乘性. 3.利用基本不等式求最值,关键是把握基本不等式成立的三个条件(正、定、等) ,在利用 基本不等式求解某函数最值时, 需注意函数的解析式或变形式是否符合基本不等式使用的前 提条件和实际问题的要求.

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4.对于形如 ax ? b ? c (c ? 0) 的不等式,去绝对值符号后,转化为 ? 遗漏,解分式不等式时要注意分母不为 0.

?ax ? b ? c ,千万不要 ?ax ? b ? ?c

【基础练习】
? 2x ? 2 ?1 ? 1.不等式组 ? x ? 2 的解集是_____________. ? x ? 2 ? 2x ?1 ?
2.不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ? , ) ,则 a ? b 等于________.

1 1 2 3

?1 ,x ? 0 ? 1 ?x 3.若函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x ) ? 的解集为_____________. 3 ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3
4.设 a ? b ? 1, c ? 0 ,给出以下三个结论: (1 )

c c ? ; (2) a c ? b c ; (3) log b ( a ? c ) ? log a (b ? c ). 其中所有正确结论的序号是 a b

_____. 【答案】 (1) 、 (2) 5.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则

2 5 ? 的最小值为_________. x y

6.已知 x 、 y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为_________.

【例题精讲】
例 1. 已知函数 f ( x) = | x ? a | ? | x ? 2 | . (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2) 若 f ( x ) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.

??2 x ? 5, x ? 2 ? 【解析】(1)当 a ? ?3 时, f ( x) = ?1, 2 ? x ? 3, ?2 x ? 5, x ? 3 ? 当 x ≤2 时,由 f ( x) ≥3 得 ?2 x ? 5 ? 3 ,解得 x ≤1; 当 2< x <3 时, f ( x) ≥3,无解; 当 x ≥3 时,由 f ( x) ≥3 得 2 x ? 5 ≥3,解得 x ≥8, ∴ f ( x) ≥3 的解集为{ x | x ≤1 或 x ≥8}; (2) f ( x) ≤ | x ? 4 | ? | x ? 4 | ? | x ? 2 |?| x ? a | , 当 x ∈[1,2]时, | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | = 4 ? x ? x ? 2 =2, ∴ ?2 ? a ? x ? 2 ? a ,有条件得 ?2 ? a ? 1 且 2 ? a ? 2 ,即 ?3 ? a ? 0 ,

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故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 例 2.解关于 x 不等式: ax 2 ? 2 x ? 2 ? ax ( a ? R ) 解:原不等式变形为 ax 2 ? ( a ? 2) x ? 2 ? 0 ,当 a ? 0 时,原不等式变为 ? 2 x ? 2 ? 0 ,故 其解集为 x x ? ?1 .当 a ? 0 时,不等式即为 ( ax ? 2)( x ? 1) ? 0 . (1)当 a ? 0 时,不等式即为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 ,故其解集为 ? x x ?

?

?

2 a

? ?

2? ? ? ?x x ? ?1? ; a?

( 2 ) 当 a ? 0 时 ,不等 式即 为 ( x ? )( x ? 1) ? 0,

2 a

2 a?2 ? (?1) ? ,当 ? 2 ? a ? 0 时, a a

? 2 ? 2 ? x ? ?1 ,故其解集为 ? x ? x ? ?1? ;当 a ? ?2 时,不等式即为 ( x ? 1) 2 ? 0 ,故其解 a ? a ?
集为 x x ? ?1 ;当 a ? ?2 时,不等式的解集为 ? x ? 1 ? x ?

?

?

? ?

2? ?. a? ? ? 2? ? ? ?x x ? ?1? ; a?

综上,当 a ? 0 时,解集为 x x ? ?1 ;当 a ? 0 时,解集为 ? x x ?

?

?

当 ? 2 ? a ? 0 时,解集为 ? x

? 2 ? ? x ? ?1? ;当 a ? ?2 时,解集为 ?x x ? ?1?;当 a ? ?2 时, ? a ? 2? ?. a?
x

不等式的解集为 ? x ? 1 ? x ?

? ?

例 3. 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a, b 满足 ab ? 0 .(2011 上)
x

⑴ 若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; ⑵ 若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围. 解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x) 在 R 上是减函数。 ⑵

f (x ? 1 ) ?f x ( ? )a?

x

? 2 b ?2 x ?3

0

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3 x a a ,则 x ? log1.5 (? ) ; 2 2b 2b 3 x a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? ,则 x ? log1.5 (? ) 。 2 2b 2b
当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? 点评: 本题考查函数的单调性及解指数函数的不等式问题及分类讨论的数学思想方法, 难度 一般。

例 4.设常数 a ? 0 .若

9x ?

a2 ? a ?1 x 对一切正实数 x 成立,求实数 a 的取值范围.

【解析】 考查均值不等式的应用.(2013 上文)

由题知,当x ? 0时, f ( x) ? 9 x ?
例 5. 当 0 ? x ? (A)(0, 2 ) 2

a2 a2 1 ? 2 9x ? ? 6a ? a ? 1 ? a ? x x 5
) (D)( 2,2)

1 x 时, 4 ? log a x ,则 a 的取值范围是 ( 2
(B)( 2 ,1) 2 (C)(1, 2)

【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想,是中档题.

?0 ? a ? 1 2 ? 1 ,解得 0 ? a ? 【解析】由指数函数与对数函数的图像知 ? ,故选 A. 1 2 2 ?log a ? 4 ? 2
例 6. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长为 a, b, c ,则下列命题正确的_______(写出所有 正确命题的编号).(2012 安徽理) ①若 ab ? c 2 ;则 C ?

?
3

; ②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3



③若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

;④若 (a 2 ? b 2 )c 2 ? 2a 2b 2 ;则 C ?

?
3

.

解析:利用余弦定理结合均值不等式求解. 对于①, ? ab ? c ,? cosC ?
2

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? ab 2ab ? ab 1 ? ? ? (当且仅当 2ab 2ab 2ab 2

).又? C ? (0, ? ),? C ? (0, ),? ①正确. a ? b 时取“ ? ” 3

?

对于②,? a ? b ? 2c ? 0,? c ?
2

( a ? b) a ?b ?c ,? cosC ? ? 4 2ab
2 2 2 2

a2 ? b2 ?

( a ? b) 2 4 2ab

3 2 1 (a ? b 2 ) ? ab ab 1 2 ). ? 4 ? ? (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” 2ab 2ab 2

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又? C ? (0, ? ),? C ? (0,

?
3

), ?②正确.
2

对于③,? 0 ? (a ? b) ? c ? 2ab,? c ?

4a 2 b 2 ? ab (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” ) , ( a ? b) 2

? cosC ?

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? ab ab 1 ) , ? ? ? ? 0 (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” 2ab 2ab 2ab 2

C?

?
2

,故③不正确.
2 2 2 2 2

对于④, ? (a ? b ) ? c ? 2a b ,? c ?
2

2a 2 b 2 2a 2 b 2 ? ? ab (当且仅当 a ? b 时取 2ab a2 ? b2

“ ?” ) , ? cos C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? ab 2ab ? ab 1 ? ? ? (当且仅当 a ? b 时取 2ab 2ab 2ab 2

“ ?” ).又 ? C ? (0, ? ),? C ? (0,

?
3

), 故④不正确.所以正确命题为①②

【能力强化】 x ?1 1.不等式 ? 3 的解为___________. x x ?1 x ?1 1 ? 2x 2x ?1 1 解: ?3? ?3? 0 ? ?0? ? 0 ? x ? 0或x ? x x x x 2
点评:本题考查解简单的分式不等式,难度较低。学生经常忘记等式与不等式在变形时的差 异,直接把分母去掉导致出错。当然也有漏掉等号的情况。解分式不等式一般的原则是能确 定分母的符号可以去分母,否则只能是移项通分,将一边花为零,然后将分子分母分解成一 次因式的乘积, 再用数轴标根法解决。 当然利用数轴标根法要注意分式的分子分母分解成一 次因式的乘积且一次项系数化为正,还要注意分母不能去零等。 2. 若不等式 k x ? 4 ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 k ? _____ 解析:由 k x ? 4 ? 2 可得 ? 2 ? kx ? 4 ? 2 ,即 2 ? kx ? 6 ,而 1 ? x ? 3 ,所以 k ? 2 . 另解:由题意可知 x ? 1, x ? 3 是 k x ? 4 ? 2 的两根,则 ?

?

?

? k ?4 ? 2 ? 3k ? 4 ? 2

,解得 k ? 2 .

3.已 知 集 合 A ? x x ? 2 ? 3 , B ? x ( x ? m)( x ? 2) ? 0

?

?

?

?

, 且 A ? B =( ? 1,n) , 则

, n= . 【命题意图】 本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质, 同时考查绝对值不等式与 一元二次不等式的解法以及分类讨论思想. 【解析】∵ A={x ? R||x+2|<3} = {x|| ? 5<x<1} ,又∵ A ? B =( ? 1,n) ,画数轴可知 m= ?1 ,

m=

n =1 .
b ? R) 的值域为 [0 , 4.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? ?) ,若关于 x 的不等式

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f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为
【考点】函数的值域,不等式的解集.



【解析】由值域为 [0 , ? ?) ,当 x2 ? ax ? b=0 时有 V? a ? 4b ? 0 ,即 b ?
2

a2 , 4

∴ f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?

a2 ? a? ??x? ? 4 ? 2? ,

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 2? 2 2. 2 ?

2

a a ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 . 2 2
5.如果 log a 4b ? ?1 ,则 a ? b 的最小值为____________. 6.已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
2

【答案】 (0,8) 7.若正数 x 、 y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3 x ? 4 y 的最小值是( A. )

24 5

B.

28 5

C.5

D.6

【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧。 (2012 浙江文) 【解析】? x+3y=5xy,

1 3 1 1 3 1 3x 12 y 13 ? ? 5 , (3x ? 4 y ) ? ( ? ) ? ( ? )? ? y x 5 y x 5 y x 5

1 13 ? 2 ? 36 ? ? 5 . 5 5
8.下列不等式一定成立的是( A. lg( x ?
2
2

) B. sin x ? D.

1 ) ? lg x( x ? 0) 4

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R ) 考点:不等式及基本不等式。 难度:中。 分析:应用基本不等式: x, y ? R ,
?

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

x? y ? xy (当且仅当 x ? y 时取等号)逐个分析,注意 2

基本不等式的应用条件及取得等号的条件. 解答:A 中, x ?
2

1 1 ? x(当x ? 0时,x 2 ? ? x ) 。 4 4 1 1 B 中, sin x ? ? 2(sin x ? (0,1]) ; sin x ? ? ?2(sin x ? [?1,0)) 。 sin x sin x

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C 中, x ? 2 | x | ?1 ? (| x | ?1) ? 0( x ? R) 。
2 2

D 中,

1 ? (0,1]( x ? R ) 。 x ?1
2

9.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的 能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:

C ? x? ?

k ? 0 ? x ? 10 ? ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热 3x ? 5

层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚对,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值. 标答: (1)设隔热层厚度为 xcm ,由题设每年能源消耗费用为 C ( x) ?

k .再由 3x ? 5

C (0) ? 8 得 k ? 40 ,因此 C ( x) ?
用与 20 年能源消耗费用之和为:

40 .而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x ,所以得隔热层建造费 3x ? 5

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
(2)解一: f ( x) ? (万元) 当切仅当

40 800 ? ? 6 x(0 ? x ? 10) . 3x ? 5 3x ? 5

1600 1600 ? (6 x ? 10) ? (6 x ? 10) ? 10 ? 2 ? 10 ? 80 ? 10 ? 70 6 x ? 10 6 x ? 10

1600 =6x+10 即 x=5 时取等号. 6 x ? 10 800 400 解二:令 3x+5=t,则 f (t ) ? ? 2t ? 10(5 ? t ? 35) = 2( ? t ) ? 10(5 ? t ? 35) t t

应用对钩函数性质,当 t ? (0, 20] 时,函数递减,当 t ? [20,35] 时函数递增,所以当 t ? 20 即 x ? 5 时函数值最小,且最小值为 70. 点评:本题以热门的能源问题为背景,主要考查函数、导数和均值不等式等基础知识, 同时考查应用数学知识解决实际问题的能力.2009 年,湖北省理科试卷第 16 题是概率(充 当应用题) ,第 17 题是三角函数,今年不仅把三角函数题位置提前,而且把应用题变成函数 问题.函数既是高中数学的重点和主干知识,而且在解决的方式方法上比概率要灵活,体现 了加强应用、加强重点、加强思维、加强生活数学的意识.第二问入口多,方法宽,这样的 题目即使不难也体现数学的思维性.此题数据较大,表示式又是分式,对那些没有耐心、静 不下心的同学是一个考验. 10.(2012 浙江理第 17 题) 设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 ?( a ? 1) x ? 1?( x 2 ? ax ? 1) ? 0 ,则 a ? _____ . 解析:对 a 进行分类讨论,通过构造函数,利用数形结合解决.

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当 a ? 1 时,不等式可化为: x ? 0 ,此时 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,由二次函数的图像知,显然不成 立,所以 a ? 1 . 当 a ? 1 时,? x ? 0,? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ,不等式可化为: x ? 0 时均有 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,

? 二次函数 y ? x 2 ? ax ? 1 的图像开口向上,? 不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 x ? (0,??) 上不能
均成立,? a ? 1 不成立. ( 3 ) 当 a ? 1 时 , 令 f ( x ) ? ( a ? 1) x ? 1, g ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 , 两 函 数 的 图 像 均 过 定 点

1 ,0 ) , 即 当 a ?1 1 a x ? (0, ) 时, f ( x) ? 0. 又? 二次函数 g ( x) ? x 2 ? ax ? 1 的对称轴为 x ? ? 0 ,则只 a ?1 2 1 ,0) 重合,如图所示,则命题成立,即 需 g ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 与 x 轴的右交点与点 ( a ?1 1 1 2 a ( ,0 ) 在 g ( x ) 图 像 上 , 所 以 有 ( ) ? ? 1 ? 0 , 整 理 得 2a 2 ? 3a ? 0 , 解 得 a ?1 a ?1 a ?1 3 3 a ? , a ? 0 (舍去).综上可知 a ? . 2 2
(0,?1),? a ? 1,? f ( x) 在 x ? (0,??) 上 单 调 递 增 , 且 与 x 轴 交 点 为 (


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