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2013年北京市中学生数学竞赛初赛(高一)


2 0 1 3年第 7期 

2 0 1 3年北京 市中学生数学竞赛初赛 ( 高一 )  
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 :A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 7— 0 0 2 5—0 4  





选择 题

( 每 小题 6分 , 共3 6分 )  
c  

1 . 已知集合  A={ 1 , 2 , 3 , 4, 5 } , B={ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .  
则集合 
C={ ( 口 , b ) I 口∈ A, b∈ B, 且 关 于  的 

\.  

\ 、   一  

0   \  G  
l 冬 { 1  

方 程  + 2 a x+b   = 0有实 根 }   的元 素个 数为 (  
( A) 7  

) .  
( C ) 9   ( D) 1 0  

( B) 8  

4 . 定 义在 R 上 的偶 函数  ) , 满足 
+1 )=一   ) ,  

2 . 已知 , / 2 4 一 a一, / g 一 0= 2 . 贝 0  
√ , 2 4一口+, / 8一 n=(   ( A) 7   ( B ) 8   ) .   ( D) 1 0   ( C ) 9  

且在 区间[ - 1 , 0 ] 上递增 , 则(  

) .  

( A   3 ) <   4 3 ) <   2 )  
( S ) f ( 2 ) <   3 ) <   √ 3 )   ( c ) f ( 3 )<   2 ) <   √ 3 )  

3 . 如图 1 , 矩形 A B C D 的对 角 线 B D 经 

过坐标原点 0, 矩形的边分别平行于坐标轴 ,  

点 C在反 比例 函数 Y:  
4(一 2, 一 2 ) , 则 k=(  
( A ) 2   ( B ) l  

的 图像 上. 若 

( D )  2 ) <   √ 3 ) <   3 )   5 . 由 1开始 的连 续 n个 正整 数 相 乘 , 简  记 为n ! = 1×2×… ×n , 如3   1 =1× 2   X   3=6 .  

) .  
( C) 0   ( D)一1  

则   寻: (  ) ?  
因此 , 存在 口 一 1 , a 0 , 口   一, 口 5 均 为 0或 1  

则l 0   i + m( i =1 , 2 , …, 7 ) 被 7除的余数  两两不同. 若不然 , 存在正整数  、  ( 1 ≤i < . 『   ≤7 ) , 满 足 

( 口  = 1 ) , 使得 




’+ ao+口1 戈+n2  

+口3 X 3+a4  ̄ 4+a

_

1  

s X  =1 3  

7   I [ ( 1 o 5 + m ) 一 ( 1 0   i + , n ) ]  
7   I   l 0   (   —   )   7   I ( _ 『 一   ) ,  
矛盾 .  

=  ( - 口 一 I +口 0 +a 2 +0 3 + 2 a 4 + 3 口 5 )+  

( n 一 1 + 口 1 + n 2 + 2 a 3 + 3 a 4 + 5 a 5 )  = 1 3 . ① 
( 1 ) 若1 ≤   ≤5 , 由口  =1 , 则 



故必 存 在一 个 正 整数 i ( 1 ≤   ≤7 ) , 使 得 

7   l ( 1 0  + m) , 即i 为/ 7 1 , 的魔术数.   所以, n的最小 值为 7 .   B . 假设 k 0 ≥ 一1 .  

l+口l+0 2+2口 3+3 口4+5 a5>0 .  

于是 , 式①左边为无理数 , 矛盾.   ( 2 ) 若一 I ≤I j }   ≤O , 则 
口1=n 2=a 3   口 4=口 5=0.  

 ̄ x _ l   j, 得   2 =   + 1 .  
故 一   =  一1 , 戈  = 2 x+1 ,   4 = 3 x+ 2,  
= 5 x+3.   =8 x+5 .  

故口 一 l  一 ‘ +口 o  1 3 .  
因为 I 1 <l , 所以 , a _ l X 一+ n 0 < 2 , 矛盾.  

综上 , k 0 ≤ 一2 .   ( 刘金 英 提供 )  

由戈   <1 3<  , 知k   ≤5 ( 0 ≤n ≤6 ) .  

2 6  

中, 等 数 学 

( A   7   1 9  

( B )  

( C )  ̄ - 3 1 9  

( D )  ̄ 0   3 2 1  

6 . 如图 2 , 正方 形 A B C D 内 接 于 o 0, P  

为劣弧^ D 上一点, P A 与B D交于点M, P B与  
A C交 于点 Ⅳ, 记  P A C=0 . 若 MN 上 P A, 则 
2 c o s 2 0一t a n   0=f   1
.  

5 . 已 知 实 数 m、 n满 足 m 一凡=   l O,   n z   一 3 n  为素 数. 若m  一3 n  的最 大 值 为 0 ,   最小值为 b , 则口 一 b = 一   6 . 如图 4 , 在△ A B C的 边 B C上 有 一 点  D, / A D B是锐角, P、 Q分别是 △ A B D、   △A C D的 外 心 , 且 四边 形 A P D Q 面 积 是 
1 

△4   c 面积的÷ . 则s i n   A D B= — —. .  

1 冬 l   4   1 冬I   2  

( A ) l  ( B ) 譬( c )  ( D ) 譬  
二、 填空题 ( 每小 题 8分 , 共6 4分 )   1 . 计算 :  
s i n   3 O 。 + s i n 2 3 5  ̄ + s i n 2 4 0 。 + s i n 2 4 5 。 + s i n 2 5 0 0 + s i n Z 5 5  ̄ + s i n 2 6 0  ̄   t a I l   3 6 。 . t a n   3 9 o . t a n   4 2  ̄ .  ̄ n 7 4 5  ̄ . t a n 5 4 8 。 . t a n   5 1   o - t a n   5 4 。  

— — — —

_

.  

7 . 设S (  ) 表 示 自然 数  的 数 字 和. 则  方 程  + S (  ) +S ( . s (  ) )= 2   0 1 3   的解集 为— .   8 . 在 R t △A B C中, 内切 圆 o 0与 斜 边  A B切 于点 D, 分别 与 B C 、 C A切 于 点 E、 F, 作  D K上 A C于 点 K, D P上 B C于 点 P . 已知 A D   =m, B D=  . 用 m、 n表 示 矩形 C K D P 的面积  J s 为一  

2 . 设f (  ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函数 , 当  >0 时,   , (  )= 2  + 2  +b ( b 为 常数 ) .  



参 考 答 案 


1 .D.  

则  一1 O )= — — .   3 . 若 实数 、 Y 、 z 满 足方程 



+  

: 4 ,  
 

当 口> 0 , b>0时 ,   + 2 a x+b  =0有 实  根 的充分必 要条 件为 口 ≥b .   故 C={ ( n , b ) I   a 、 b∈ A, 口 ≥6 } .   因此 , 集合 C的元素个 数等 于 1 0 .  
2. B.  

 ̄ U ( s x+ 3 y一 3 z )   叭   的个 位数字 为一

4 . 如图 3 , 正方 形 A B C D 被 分 成 了面 积 

厄 


+  


相等 的 8个 三 角形 . 若A G=   0, 则 正方 形 
A B C D 的面积 S=  

(  

二 (   / 2 4— 0一, / 8 一 口  


. 

3. B.  

因为矩 形对 角线平 分矩形 , 所以,  
. s 矩形c 肋G=S矩形0  E= I 一2I× I 一2I=4.  

故3  +1=O G? G C= 4   j  k=1 .  
4. A.  

由题 意知  )=一   +1 ) =   + 2 ) .   则, ( 3 )=  1 )=   1 ) ,  

I 厂 ( 2 ) =  0 ) ,  √ 3 ) =  √ 3— 2 ) .  

2 0 1 3年第 7期 

2 7  

而一 l < √  一 2< 0 , f (   ) 在区间 [ 一 l , 0 ]   上递增 , 所以 ,   3 ) <   √ 3 ) <   2 ) .  
5. C.  

{ 霉  
结合 题给方 程知 

注意 到 ,  
n一1  




 

n 

!  

!  

l   n  

!   ( n一  ) !  

l   1  

1   一  t /


‘  

!  

故 奎 寻= 妻 [   一   ]  
小   1
=   .  

{   , V / x + 9 +  ̄ / . x - 。 - . 7  
所以,  =7 ,  + Y—  =0 .  

从而, ( 5 x + 3 y 一 3 z )   。  =1 4   们   , 其个位 
数 字为 4 .  
4.1 2 8.  

6. A.  

由 四边 形 A B C D是正 方形 知 
A C B =4 5 。 。 DB 上 AC  
A P B=   AC B =4 5   0 .  

如图5 , 过 点 F作 K L , / / D C, 取A  的 中点  Ⅳ, 联结 G N与 A H交于 点 P .  

又 MN上 
MNP =   A P B =4 5。  
=   MP =MN.  

因为A C 为圆的直径 , 所以,  A P C= 9 0 。 .  
于是 , P、 M、 0、 C四点共 圆。  
从而 , A M? A P= A O? A C .  

i  ̄ 2 c o s 2 0 - t a n   0 = 2 - 筹一  
0? AC   MN  A P? A M   MN 
一   一  

设 正方 形 A B C D的边 长为 a .  

由S A o c , =5   Ⅳ_   l - S, 知 
=BH =   1   c


A』 l  
AP -PM


AM 


AM 

A  

一  





1   


詈.  
. 

由. s  D F = 2 S △ 删, 得 
二 、 1. 3. 5.  

AD? KF:2cD? C1 .  

注 意到 ,   s i n 2  + s i n   ( 9 0 。 一 O / ) = s i n 2   0 c + C O S   0 [ =l ,   且  s i n   4 5 。 =÷ .   当 n为正 整数 时 ,  
t a n  ? t a n   ( 9 0 。 一 a )= t a n “  ? c o t   = 1 ,  
且 t a n   4 5 。=1 .  

所以, K F= 2 C I = _Ⅱ 1
于是 , F为 D I 中点 .   由S △   Ⅳ =S △ G 胛 =. s △ G  , 知 G为 △ F A H 
的重 心.  

则 E、 P分别 为 A F、 A H 的 中点 , 且 


FG.  

则原 式 = 3 . 5 .  
2.一1   0 4 3.  

又F P为梯形 A H 1 D 的中位线 , 因此 ,  
1  

由题 设 易知  , ( 0 )= 2 。 + 2   x O+b = 0 .   解得 b = 一1 .   由奇函数的性质  )=一   ) , 有  / ( - -1 0 )= - f ( 1 0 )=一2 m一 2×1 0+l  
= 一

F P: 丝  

:   -5 + a

3a  

:  

G P : ÷ F P = 詈  
G N : G P + P Ⅳ = 詈 + 詈 :   3 a .  
而A N:   a 由勾股 定理 得 


1   0 43 .  

3. 4.  

易知 i >7 , 则 

2 8  

中 等 数 学 
=  2   0 0 3+5 +5=2   01 3:  

A   : ( 号   ) + (   )   = 鲁一 s o  
j  a 2: 1 28   5. 1 1 .   S=1 28
. 

当  =1   9 9 1时 ,   S ( 1   9 9 1 )= 2 0 , S ( S ( 1   9 9 1 ) )= 2  
1   9 91+2 O +2 =2   01 3:  

设m  一 3 n   = p ( p为 素数 ) .  

①  ② 

由 m— n= ̄ / / l 0 , 得 
m = 

当  =1   9 8 5时 ,   | s ( 1   9 8 5 ) =2 3 , S ( S ( 1   9 8 5 ) )= 5  
=》1   98 5 +2 3+5=2   01 3:  

而 +n .  

把 式② 代人式 ①整 理得 
2 n  一2  ̄ / 1 0/ ' g   P一1 0 =0  

当  =1   9 7 9时 ,   | s ( 1   9 7 9 )= 2 6 , S ( S ( 1   9 7 9 ) )=8  
1   9 79+2 6+8=2   01 3:  

△= 4 0— 8 p+ 8 0 >0 I  
P≤ 1 5   a =1 3. b=2  
= = > a —b = 1 1 .   6 .   .  

其 他 自然数  均不满 足方程.   所 以, 方程 的解集 为  { 1   9 7 9 , 1   9 8 5 , 1   9 9 1 , 2   0 0 3 } .  
8.   .  

( m +n) ‘  

设 内切 圆半径 为 r . 如图 7 , 联结 O D、   如图 6 , 联结 J P Q、 C Q .  
OE、 oF.  

陶 7  

易证 A A Q P   A  DQ P .  

则O D= O E=O F= r .   由切 线长 定理得 
AD =AF =m , BD =BE =n, CE =CF =r  

则   = 丢 .  
又△ A P Q∽ A A B C  
:   = 
. 

设A A B C的面积 为 . s , . 则 


( ! ±  ! ( ! ±  2  
2  

=  2 S1=r  +  

+m +ni t  

作 Q H上 c于点 H 于是 ,  

=r ( r + m+ n )+ an= S+m l ' t  
S1=mF t .  

A D B = ÷ A Q C =  A Q H .  
故s i n   A D B: s i n   A Q H=   =   3.  
7 . { 1   9 7 9 , 1   9 8 5 , 1   9 9 1 , 2   0 0 3 } .   显然 ,  <2   0 1 3 .   而S ( x ) 最大 为 2 8 , S ( S (  ) ) 最 大为 1 0,   因此 ,  最小 为 
2   01 3—3 8=1   9 7 5.  

因为 D K ∥B C , 所 以,  
AA D K∽ △ A B C .  

… ? 。   斋  南  
3  

同理 , S △   =  

, 扎n 

故 S=m l z 一   ( m+n )   ( , n+ r t )  
2m  n  

故 1   9 7 5 ≤  < 2   0 1 3 .  

经检验 , 当  = 2   0 0 3时 ,   J s ( 2   0 0 3 ): 5 , S ( . s ( 2   0 0 3 ) ) =5  

( m+n )  ‘  

( 李延林

提供 )  


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