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100测评网高中数学复习参考答案


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时杨中学 2009 届高三数学单元检测(1)参考答案: 1~5 ADCAC 6. ? 7. ?x ? A ,都有 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 8. {x |1 ? x ? 3} 9. 解:因为 A ? B ? {?1} ,所以 x ? 1 既是方程 x2 ? px

? 3 ? 0 的根,又是方程 x2 ? qx ? p ? 0 的根.

?1 ? p ? 3 ? 0 ? p ? ?2 ,得 ? ,所以 2 p ? q ? ?7 . ?? ?1 ? q ? p ? 0 ?q ? ?3
10. 解:如图 2,由韦恩图知, A ? {1,3,5,7} , B ? {2,3, 4,6,8} 11. 解:由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m , ??q : A ? {x | x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m, m ? 0} . 由 ?2 ? 1 ?

x ?1 ? 2 ,得 ?2 ? x ? 10 . 3

??p : B ? {x | x ? 10 或 x ? ?2}

?m ? 0 ? ? p 是 ?q 的必要不充分条件,? A ? B ? ?1 ? m ? ?2, ? m ? 9 . ?1 ? m ? 10 ?
时杨中学 2009 届高三数学单元检测(2)参考答案: 1~5 ACDBA 6. 1 7.

9. 解:(1) 由 3 ? 2 x ? x 2 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 , 函数 f ( x ) 的定义域是 ?x ?1 ? x ? 3? (2) 设 1 ? x1 ? x2 ? 3 , 则 3 ? 2x2 ? x22 ? (3 ? 2x1 ? x12 ) ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2? ,

1 5

8. 2

1 ? x1 ? x2 ? 3 , ? x1 ? x2 ? 0, x2 ? x1 ? 2, x1 ? x2 ? 2 ? 0,

?3 ? 2 x2 ? x22 ? (3 ? 2 x1 ? x12 ) ? 0 ,

?3 ? 2 x2 ? x22 ? 3 ? 2 x1 ? x12 ,

?log2 (3 ? 2x2 ? x22 ) ? log2 (3 ? 2x1 ? x12 ) . ? f ( x) 在 x ? (1,3) 上是减函数.
(3) 当 ?1 ? x ? 3 时, 有 0 ? 3 ? 2 x ? x 2 ? 4 . f (1) ? log 2 4 ? 2 , 所以函数 f ( x) 的值域是 (??, 2] .

2x ? 1 2 ?1? x , x 2 ?1 2 ?1 2 2 2 2 所以 f (? x) ? f ( x) ? (1 ? ? x ) ? (1 ? x ) ? 2 ? ( x ? ?x ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 2 ? 2x 2(2 x ? 1) ? 2?( x ? )? 2? x ? 2?2?0. 2 ? 1 2x ? 1 2 ?1 即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数.
10. 证明: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 R,且 f ( x) ?

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(2) ? ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 所以,函数 f ? x ? 在 R 上是增函数. (3)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ln x ?

2 ? 2x1 ? 2x2 ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 , ? ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2x1 ? 1)(2x2 ? 1)

x1 ? x2 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2x2 ? 1 ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? .

2x ? 1 ? ln x , 2x ? 1 21 ? 1 1 23 ? 1 7 ? ln1 ? ? 0 , g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? ? ln 3 ? 0 , 因为 g ?1? ? 1 2 ?1 3 2 ?1 9 所以,方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间(1,3)上. 11. 解: (1)因为 ?AEH ? ?CFG , ?EBF ? ?HDG , 所以 y ? S矩形ABCD ? 2S?AEH ? 2S?EFB

1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? x2 ? 2 ? (2 ? x)(1 ? x) 2 2 ? ? 2 x2 ? 3x ( 0 ? x .? 1 ) 3 9 9 3 (2) y ? ?2 x2 ? 3x ? ?2( x ? )2 ? ,所以当 x ? 时, ymax ? . 4 8 8 4
时杨中学 2009 届高三数学单元检测(3)参考答案: 1~5 BAADA 6. ?

7 9

7.

2

8. ?

2? 3

2 9. 解: sin A ? cos A ? 2

? 2 sin( A ?

2 ? 1 )? 即sin( A ? ) ? 4 2 4 2 A为?ABC的内角

?

?A?

?

4 6 ? A ? 75? sin 75? ? sin(45? ? 30?) ? ? S ?ABC ? ? S ?ABC 1 6? 2 ?2?4? 2 4 ? 6? 2 6? 2 4

?

?

10. 解: (1) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 1 1 1 ? sin 2 x ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 2 2 2 ? 1 2 ?1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? , f ( x)max ? . 2 4 2 2

此时, 2 x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

( k ? Z ), x ? k? ?

?

8

(k ?Z )

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(2)

2 8 3? f ( x) 在 [k? ? , k? ? ] ( k ? Z ) 单调递增. 8 8 11. 解:⑴f (x)= a · b -1=( 3 sin2x,cosx) · (1,2cosx)-1

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?

, k? ?

?

? x ? k? ?

?

3? (k ?Z ) , 8

= 3 sin2x+2cos2x-1= 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+ 由 2kπ -

? ? ? ? ? ≤2x+ ≤2kπ + 得 kπ - ≤x≤kπ + 2 6 2 3 6 ? ?? ? ∴f (x)的递增区间为 ? k? ? , k? ? ? (k∈z) 3 6? ? ? ? ? ? ? ⑵ f (A) = 2sin ( 2A + ) = 2 ∴ sin ( 2A + ) = 1 ∴ 2A + = ∴ A = 6 6 6 2 6
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA 3=9+c2―3 3 c 即 c2―3 3 c+6=0 (c-2 3 ) (c- 3 )=0

? ) 6

∴c=2 3 或 c= 3 时杨中学 2009 届高三数学单元检测(4)参考答案: 1~5 CCDDB

n ?n?2 ? 1? 6. 6 7. ?1 ? ? 8. 2 ? a? 7?6 ? S7 ? 7a1 ? d ?7 ? ?a1 ? ?2 ? 2 9. 解:由题意知 ? ,解得 ? ,所以 an ? n ? 3 . ?d ? 1 ? S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 15 1 ? 2 ? 1 1 10. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ? a1 ? 1? ,得 a1 ? ? ; 3 2 1 1 1 当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? ? a2 ? 1? ,得 a2 ? ,同理可得 a3 ? ? . 3 4 8 a 1 1 1 1 1 (2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? 1? ? ? an?1 ? 1? ? an ? an?1 ,所以 n ? ? . an ?1 2 3 3 3 3
8

2

? 1? 故数列 {an } 是等比数列, an ? ? ? ? . ? 2?

n

11. 解: (1)∵{an}为公比为 q 的等比数列,an+2=

an ?1 ? an (n∈N*) 2 a q ? an 1 ∴an·q2= n ,即 2q2―q―1=0,解得 q=- 或 q=1 2 2

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(2)当 an=1 时,bn=n, Sn=1+2+3+…+n= 当 an= ? ? ?

n ? n ? 1? 2

? 1? ? 2?

n ?1

时,bn=n· ? ? ?
2

? 1? ? 2?

n ?1


n?2

1 ? 1? ? 1? Sn=1+2· (- )+3· ? ? ? +…+(n-1) ·?? ? 2 ? 2? ? 2?
2

? 1? +n· ? ? ? ? 2? ? 1? +n ? ? ? ? 2?
n n

n ?1



1 1 ? 1? ? 1? - Sn=(- )+2· ? ? ? +…+(n-1) ·?? ? 2 2 ? 2? ? 2?
①—②得

n ?1



3 ? 1? ? 1? ? 1? Sn=1+ ? ? ? + ? ? ? +…+ ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2?
n

2

n ?1

-n ? ?

? 1? ? ? 2?

? 1? 1? ? ? ? n n n 2 2? 1? 2? ? 1? ? 1? ? = -n· ? ? ? = ? ?? ? ? n ?? ? 1 3 3? 2? ? 2? ? 2? 1? 2 时杨中学 2009 届高三数学单元检测(5)参考答案: 1~5 BCDDC
6. {x

4 4 1 ? 2n ? 1 ? Sn= ? ? ?? ? ? ?? ? 9 9? 2? 3 ? 2?

n

n

1 ? x ? 1} 2

7. f ? x ? > g ? x ?

8. ?7 ? m ? 24

9. 解: (1)

x ? 0 ,? x ?

4? 4 ? ? 4 ,? y ? 2 ? ? x ? ? ? 2 ? 4 ? ?2 , x? x ?

4 ?当且仅当 x ? ( x ? 0) ,即 x ? 2 时, ymax ? ?2 . x
(2)

x ? 2 , x ? 2 ? 0 ,而 y ? x ?

1 1 ? x?2? ?2?2 x?2 x?2

? x ? 2?

1 ?2?4, x?2

当且仅当 x ? 2 ? (3) 0 ? x ?

1 ( x ? 2) , x ? 3 时, ymin ? 4 . x?2
2

1 1 ? 2x ? 1 ? 2x ? 1 1 1 1 ,?1 ? 2 x ? 0 ,则 y ? ? 2 x ?1 ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? , 4 4? 2 2 ? 4 4 16

当且仅当 2 x ? 1 ? 2 x ,即 x ?

1 1 时, ymax ? . 16 4

10. 解:作出不等式组所表示的平面区域如右图所示,由图可知,当直线系 z ? x ? 3 y 过 点 A 、 B 时, z 分别取得最大值和最小值.

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? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 由? 解得 A? ?4,3? ;由 ? 解得 B ? 4, ?3? . ?x ? 2 y ? 2 ? x ? 2 y ? ?2
则 zmax ? ?4 ? 3 ? 3 ? 5 , zmin ? 4 ? 3 ? ? ?3? ? ?5 , 所以 x ? 3 y 范围为 ? ?5,5? . 11. 解:设该热饮的销售单价提高 x 元,由题意知得

?1.5 ? x ? 0.9??800 ? 200x? ? 720 ,化简有 200 x2 ? 680 x ? 240 ? 0 ,解得 0.4 ? x ? 3 .
故热饮的单价控制在 [1.9, 4.5] 之间时,今年的热饮日销售利润不低于 720 元. 时杨中学 2009 届高三数学单元检测(6)参考答案: 1~5 CDBBA 6. 45 ,

2 2

7.

3 4

8. (??, ? 2) ? (?2, 1 2)

9. 解: (1) a ? 3e1 ? 2e2 ? 3(1,0) ? 2(0,1) ? (3, ?2) , b ? 4e1 ? e2 ? 4(1,0) ? (0,1) ? (4,1) ,

a b ? 4 ? 3 ? (?2) ?1 ? 10 , a ? b ? 7 2 ? (?1) 2 ? 5 2 .
(2) cos a, b ?

ab a?b

?

10 13 ? 17

?

10 221 . 221

10. 解: (I)∵ a // b , ①若 a , b 共向,则 a ? b =| a |?| b |= 2 ②若 a , b 异向,则 a ? b =-| a |?| b |=- 2 (II)∵ a , b 的夹角为 135°, ∴ a ? b =| a |?| b |?cos135°=-1

? ?

? ?

? ?

∴| a + b |2=( a + b )2 = a 2+ b 2+2 a b =1+2-2=1, ∴ | a ? b |? 1 11. 解:(1) a ? b, ? a b ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 0 ? ? ? ?

?
4

(2) a ? b ? (sin ? ? 1,cos ? ? 1) ? (sin ? ? 1) 2 ? (cos ? ? 1) 2
? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 3

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? 2 2 sin(? ? ) ? 3 4
当 sin(? ?

?

?
4

) =1 时 a ? b 有最大值,此时 ? ?

?

4,

最大值为 2 2 ? 3 ?

2 ?1.

时杨中学 2009 届高三数学单元检测(7)参考答案: 1~5 CAADC

32 3 64 3 或 9 9 9. 解:根据题意,只需求出这个下料斗的侧面积即可. 如图, B1C1 ? 40, BC ? 50, EF ? 5 2 .
6. 1 个或 3 个 1 和○ 3 7. ○ 8. 16 或 8;

? EC1 ? 20 2, FC ? 25 2 ,?C1C ? 10 . 即侧面梯形的上底为 40,下底为 50,腰为 10,故侧面梯形的高 为5 3 . 1 S ? 4 ? (40 ? 50) ? 5 3 ? 900 3 ? 1559(cm2 ) . 2 所以,制造这样一个下料斗所需铁板的面积约为 1559cm2 .
10. 解:作 PO ? 平面 ABCD ,垂足为 O .连接 AO , O 是 正方形 ABCD 的中心, ?PAO 是直线 PA 与平面 ABCD 所成的角.

P

?PAO = 60? , PA ? 2 .? PO ? 3 .
AO ? 1, AB ? 2 ,
1 1 2 3 ? V ? PO S ABCD ? ? 3 ? 2 ? . 3 3 3

D

C

O
A
D1 A1 E B1

B
C1

11. 解: (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

D F A B

C

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? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B

? ? B1C ? BD1 ? B1C ? BC1 B1C ? 平面ABC1D1 ? ? 2) ? ? EF ? B1C ?? ?? EF // BD1 ? AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? BD1 ? 平面ABC1 D1 ? ? AB BC1 ? B ?
(3)

B1C ? AB

? 2 CF ? 平面BDD1B1 ?CF ? 平面EFB1 且 C F ? B F 1 EF ? BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3 ,∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ,即 ?EFB1 ? 90
1 1 1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF = ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 3 3 2 3 2
时杨中学 2009 届高三数学单元检测(8)参考答案: 1~5 ABBCA 6. y ? 5 ? 0 7. x ? y ? 5 ? 0 8. x2 ? y 2 ? 10

9. 解:圆心 C ( a, 2) , 半径为 2, 所以当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3 时, 圆心到直线 的距离为 1. 即

a?2?3 2

? 1 , ? a ? ?1 ? 2 ,



a ? 0,

? a ? ?1 ? 2 ,因此圆心为 C(?1 ? 2, 2) .
即 x ? y ?1 ? 2 ? 0 .

所求直线的方程为 y ? 2 ? ?( x ? 1 ? 2) , 10. 解:由题意知 c ? 4 ,又 y ? 3x ?

b x ,?b ? 3a . a
x2 y2 ? ? 1. 4 12

而 a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 12 ,故所求双曲线的标准方程为 11. 解:联立 ?

? y 2 ? 8x ? y ? kx ? 2

, k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ?

4k ? 8 ?4, k2

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2 得 k ? ?1, 或2 ,当 k ? ?1 时, x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15 .

时杨中学 2009 届高三数学单元检测(9)参考答案: 1~5 BCADA(D) 6. 2 7. 4 x ? y ? 3 ? 0 8. (0, )

1 2

9. 解: y ' ? 4 x3 ? x2 . 令 y ' ? 0 ,即 4 x3 ? x2 ? 0 ,解得 x1 ? x2 ? 0 , x3 ? 当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

1 . 4 1 4
0 极小值

x
f ' ( x)
f ( x)
因此,当 x ?

(??,0)


0 0 /

1 (0, ) 4


1 ( , ??) 4


1 1 1 时, f ( x) 有极小值,且 f ( ) ? ? . 4 768 4

10. (文)解: y ' ? cos x ? sin x ? 2 cos( x ? 令 y ' ? 0 ,即 2 cos( x ?

?
4

).

3? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 4 4 4 ? ? 5? 令 y ' ? 0 ,即 2 cos( x ? ) ? 0 ,解得 ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z . 4 4 4 3? ? 故函数 y ? sin x ? cos x 的单调增区间为 [? ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z ;单调减区间为 4 4 ? 5? [ ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z . 4 4

?

) ? 0 ,解得 ?

?y ? x ? 2 (理)解:联立 ? ,得 x1 ? ?2 , x2 ? 1 . 2 ? y ? ?x
x2 x3 9 9 ? 2 x) |1 ? |1 ,故所求面积 S ? . ? 2 ?2 ? ? ?2 ?2 2 3 2 2 32 16 11. 解: (1) 由题意知, 该长方体的底面积为 故它的底面另一边长为 (m) . ? 16(m2 ) , 2 x
所以, A ? ? ( x ? 2)dx ? ? (? x 2 )dx ? (
1 1

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S ? 2(2x ? 32 16 ) ? 4( x ? )( x ? 0) . x x

(2)要使用纸最少,即是使长方体的表面积最小,也就是求 S 的最小值.

16 ) ,令 S ' ? 0 ,解得 x1 ? 4 , x2 ? ?4 (舍去). x2 当 0 ? x ? 4 时, S ' ? 0 ;当 x ? 4 时, S ' ? 0 .
由于 S ' ? 4(1 ? 所以,当 x ? 4 时, S 取最小值,即此时用纸最少. 时杨中学 2009 届高三数学单元检测(10)参考答案: 1~5 ACCDD 6.
?2 ? 3i , 3 ? 3i

7.

2 9 ? i 5 5

8. 5 ? 5i

9. 解: (1) ?1 ? 2i ?? 3 ? 4i ? ? 3 ? 4i ? 6i ? 8i 2 ? 11 ? 2i

(2)

4i ?1 ? i ? 2?i

2

?

4i ?1 ? 2i ? i 2 ? 2?i

?

8? 2 ? i ? 8 ? 2 ? i ? 16 8 ?8i 2 8 ? ? ? ? ? i. 2 ? i 2 ? i ? 2 ? i ?? 2 ? i ? 5 5 5
i? ? ? i ??b
得 b1 ? 0(舍) ,b2 ? 2 , ? ? 0,

10. 解: 设 z ? bi(b ? R且b ? 0) , 则 ?b i ??? ? b i ? i ?i b 所以 z ? 2i . 11. 解:化简 z ?

? a ? ?3 (1 ? i ) 2 ? 3(1 ? i ) 2 ? 1 ? i ,所以 ?1 ? i ? ? a ?1 ? i ? ? b ? 1 ? i ,得 ? . 2?i ?b ? 4

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