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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:1-1-1 命题


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
常用逻辑用语

第一章

常用逻辑用语

成才之路 · 高

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本章概述

第一章

常用逻辑用语

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●课程目标 1.知识、技能、过程、方法目标 (1)了解命题的概念,会判断命题的真假. (2)通过生活和数学中的丰富实例, 理解全称量词与存在量 词的意义,会用符号语言表示全称命题和特称命题,并能判断 其真假,能正确地对含一个量词的命题进行否定.

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常用逻辑用语

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(3)通过数学实例, 了解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非” 的含义及相应命题的意义和真假判断. (4)理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. (5)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命 题的相互关系.

第一章

常用逻辑用语

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2.情感、态度、价值观目标 (1)通过学习常用逻辑用语及其符号表达方式, 提高逻辑分 析、数学表达和逻辑思维能力. (2)通过本章的学习体会数学的美,养成一丝不苟、追求完 美的科学态度. (3)通过本章的学习体会用对立统一的思想认识数学问题, 培养学生的辩证唯物主义思想方法.

第一章

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●重点难点 本章重点:命题与量词;基本逻辑联结词“或”、“且”、 “非”; 充分条件、 必要条件与命题四种形式之间的逻辑关系, 对含有一个量词的命题进行否定. 本章难点:对一些代数命题真假的判定和对全称命题和特 称命题的否定;对命题的充分条件,必要条件的判定.

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●学法探究 (1)本章的内容相对比较抽象,不易理解,学习中要注意多 结合实例去理解概念.另外,用符号语言表述数学命题也增加 了学习的难度,要逐步提高数学语言、符号语言的转换能力. (2)要学会类比的方法,将有关概念进行类比,以便更好地 理解和运用.同时,还要用联系的观点去认识相关知识.如逻 辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的交、并、补的联系, 充分条件、必要条件、充要条件与四种命题的联系.

第一章

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(3)本章内容与已学过的知识有紧密的联系, 这就需要有比 较扎实的基础知识,如对充分条件、必要条件的判定,除要正 确理解相关概念外,还要有一定的推理能力. (4)用集合的观点去理解相关概念, 提高分析问题和解决问 题的能力.

第一章

常用逻辑用语

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第一章
1.1 命题及其关系

第一章

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第一章
第 1 课时 命题

第一章

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第一章

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课程目标解读

第一章

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1.理解什么是命题,会判断一个命题的真假. 2.分清命题的条件和结论,会判断命题的真假,能将明 确给出条件与结论的命题写成“若 p,则 q”的形式.

第一章

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重点难点展示

第一章

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本节重点:了解命题的定义,会判断命题的真假,正确区 分命题的条件与结论. 本节难点:判定一个句子是不是命题以及命题真假的判 断.

第一章

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学习要点点拨

第一章

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1.命题及其概念 (1)判断一个语句是不是命题, 首先应明确它是否符合“是 陈述句”和“可以判断真假”两个条件,只有能判断真假的陈 述句才是命题.一个命题要么是真的,要么是假的,不能既是 真命题又是假命题,也不能模棱两可,无法判断其真假. (2)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不 一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理是真命题.

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2.命题的结构形式 (1)数学中的命题大多是:“若 p,则 q”的形式,其中 p 叫做命题的条件,q 叫做命题的结论.而数学中的有些命题从 形式上看,不是“若 p,则 q”的形式,但是将它的表述作适 当改变,也可以写成“若 p,则 q”的形式,因此,在研究命 题时,不要受其形式的影响.

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(2)“若 p,则 q”形式的命题中,p 和 q 本身也可为一个 简单命题. 1 (3)并非所有的命题都可写成“若 p,则 q”型,如“ 是有 3 理数”,“5>3”.

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3.命题真假的判断 (1)一个命题的真假与命题所在环境有关.对其进行判断 时,要注意命题的前提条件,如“若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b”在 平面几何中是真命题,而在立体几何中却是假命题.

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(2)关于“若 p,则 q”型的命题 许多命题都可写成“若 p,则 q”的形式.其中 p 为条件, q 为结论,p 和 q 本身也可为一个简单命题,这种命题形式明 确、简洁,是我们研究命题的主要形式之一.很多命题表面上 不是“若 p,则 q”型的,但是,可以改写成“若 p,则 q”型, 当一个命题改写成“若 p 则 q”的形式之后,判断这种命题的 真假的办法:

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①若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若 p,则 q” 是真;确定“若 p,则 q”为假,则只需举一个反例说明即可. ②从集合的观点看,我们建立集合 A、B 与命题中的 p、q 之间的一种联系:设集合 A={x|p(x)成立},B={x|q(x)成立}, 就是说,A 是能使条件 p 成立的全体对象 x 所构成的集合,B 是能使条件 q 成立的全体对象 x 所构成的集合, 此时, 命题“若 p,则 q”为真,当且仅当 A?B 时满足.

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课前自主预习

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1.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以 ________的陈述句叫做命题. 判断真假

真命题 判断为假的语句叫______. 假命题 2. 判断为真的语句叫_______, 若 p,则 q 3.命题常写成“__________”的形式,其中命题中的 p 结论 条件 叫做命题的______,q 叫做命题的________.

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4.下列语句不是命题的是( A.地球是太阳系的行星 B.等腰三角形的两底角相等 C.今天会下雪吗? D.正方形的四个内角均为直角
[答案] C

)

[解析]

疑问句不是命题,故选 C.

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5.已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2 是一个 偶数;④若 x=2,则 x2-5x+6=0.其中是命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

[答案] B

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[解析]

①不能判断真假,不是命题;②含变量 x,无法判

定其真假,不是命题;③、④都是真命题.

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6.若下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并判断是真命 题还是假命题. (1)面积相等的两个三角形全等; (2)实数的平方是非负数.

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[解析] 是假命题.

(1)若两个三角形面积相等, 则这两个三角形全等,

(2)若一个数是实数,则它的平方是非负数,是真命题.

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课堂典例讲练

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

命题概念的理解
判断下列语句是否是命题,并说明理由.

(1)求证: 3是无理数; (2)x2+4x+4≥0; (3)你是高一的学生吗? (4)并非所有的人都喜欢苹果.

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[分析]

由题目可获取以下主要信息:①给定一个语句,

②判定其是否为命题并说明理由.解答本题要严格验证该语句 是否符合命题的概念.

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[解析]

(1)祈使句,不是命题.

(2)x2+4x+4=(x+2)2≥0,它包括 x2+4x+4>0,或 x2+4x +4=0,对于 x∈R,可以判断真假,它是命题. (3)是疑问句,不涉及真假,不是命题. (4)是命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果 的人.

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[点评]

判定一个语句是否为命题,主要把握以下两点:

(1)必须是陈述语句. 祈使句、 疑问句、 感叹句都不是命题. (2)其结论可以判定真或假.含义模糊不清,不能辨其真假 的语句,不是命题.另外,并非所有的陈述语句都是命题,凡 是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的,都不 是命题.

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判断下列语句是否为命题,并说明理由. (1)若 x<2,则 x<1; (2)x2+2x-1=0; (3)存在实数 x,使得不等式 x2-3x+1<0 成立.

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[解析] 判断.

(1)是命题.因为由 x<2 不能推出 x<1,可以作出

(2)不是命题.因为字母的性质不明确,所以不是命题. (3)是命题. 因为根据不等式的解法我们可以求得不等式 x2 -3x+1<0 的解,所以是命题.

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建模应用引路
命题方向 命题真假的判断 [例 2] 判断下列命题的真假:
→ → → ①AB+BC=AC; ②log2x2=2log2x; ③若 m>1,则方程 x2-2x+m=0 无实根; π ④直线 x+y=0 的倾斜角是 ; 4

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3π 2 ⑤若 α= 4 ,则 sinα= 2 ; ⑥若 x∈A,则 x∈(A∩B). [分析] 运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行 判断.

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[解析] ①是真命题; ②是假命题. x=-1 时, 2x2=0, 如 log 而 2log2x=2log2(-1)无意义;③是真命题.若 m>1,则 Δ=4- 3π 4m<0;④是假命题.直线 x+y=0 的倾斜角是 4 ;⑤是真命题; ⑥是假命题.如 A={1,2,3},B={2,3,4}时,1∈A,但 1?A∩B.

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[点评] (1)真命题的判定方法 真命题的判定过程实际就是利用命题的条件, 结合正确的逻 辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程. 判断命题为真的关键 是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法. (2)假命题的判定方法 通过构造一个反例否定命题的正确性, 这是判断一个命题为 假命题的常用方法. 另外,一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.

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给出下列几个命题: (1)若 x,y 互为相反数,则 x+y=0; (2)若 a>b,则 a2>b2; (3)若 x>-3,则 x2+x-6≤0; (4)若 a,b 是无理数,则 ab 也是无理数. 其中的真命题有________个.
[答案] 1

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[解析]

(1)是真命题.(2)设 a=1>b=-2,a>b,但 a2<b2,

假命题. (3)设 x=4, 显然 x>-3, x2+x-6=14>0, 但 假命题. (4) 设 a=( 2)
2

,b= 2,则 ab=( 2)2=2 是有理数,假命题.

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探索延拓创新
命题方向 命题结构分析 [例 3] 指出下列命题的条件与结论. (1)负数的平方是正数; (2)正方形的四条边相等. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①给出了命题的一般

简略形式.②找出命题的条件和结论. 解答本题的关键是正确改变命题的表述形式.

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[解析] (1)可表述为“若一个数是负数, 则这个数的平方是 正数”条件为:“一个数是负数”;结论为:“这个数的平方是 正数”. (2)可表述为:“若一个四边形是正方形,则这个四边形的 四条边相等”. 条件为:“一个四边形是正方形”; 结论为:“这个四边形的四条边相等”.

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[点评] 一个命题总存在条件和结论两个部分,但是,有的 时候条件和结论不是很明显,这时可以把它的表述作适当的改 变,写成“若 p,则 q”的形式,其中 p 为条件,q 为结论.

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写出下列命题的条件与结论. (1)质数是奇数; (2)矩形是两条对角线相等的四边形.

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[解析] 数”.

(1)可表述为:“若一个自然数是质数,则它是奇

条件为:“一个自然数是质数”; 结论为:“这个自然数是奇数”. (2)可表述为:“若一个四边形是矩形,则它的两条对角线 相等.” 条件为:“若一个四边形是矩形”; 结论为:“这个四边形的两条对角线相等”.

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名师辨误做答

[例 4]

将下面的命题写成“若 p,则 q”的形式.

当 a>0 时,函数 y=ax+b 的值随 x 的增加而增加. [错解] “若 p,则 q”的形式为:如果 a>0,则函数 y=ax +b 的值随 x 的增加而增加.

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[辨析]

原命题有两个条件:a>0 和 x 增加,其中 a>0 是

大前提,x 增加是条件.

[正解]

“若 p,则 q”的形式为:当 a>0 时,若 x 的值增

加,则函数 y=ax+b 的值也增加.

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课堂巩固练习

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一、选择题 1.下列命题中,是真命题的是( A.{x∈R|x2+1=0}不是空集 B.{x∈N||x-1|<3}是无限集 C.空集是任何集合的真子集 D.x2-5x=0 的根是自然数
[答案] D

)

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[解析]

对选项 A,集合是空集,对选项 B 中的集合为{-

1,0,1,2,3},是有限集,对于 C,空集不是它本身的真子集,对 于 D,x2-5x=0 的根为 0 和 5,它们都是自然数,故选 D.

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2.下列语句为命题的是( A.对角线相等的四边形 B.a=b C.x≥2 D.x2-2x+1<0
[答案] D

)

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[解析]

∵对任意 x∈R,x2-2x+1=(x-1)2≥0 恒成立,

∴x2-2x+1<0 是假命题.

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二、填空题 3.下列命题: ①方程 x2-2x=0 的根是自然数;②0 不是自然数;③{x ∈N|0<x<12}是无限集;④如果 a· b=0,那么 a=0 或 b=0. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).
[答案] ①

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[解析] 由 x2-2x=0 得 x=0 或 2, 故①真; {x∈N|0<x<12} ={1,2,3,?,11}中只有 11 个元素,故②假;由 a· b=0 只能 得出 a⊥b,故③假.

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4.下列命题:①若 xy=1,则 x,y 互为倒数;②平行四 边 形 是 梯 形 ;③ 若 ac2>bc2 , 则 a>b.其中 真命题的序号是 ________.

[答案]

①③

[解析]

①、③是真命题;②平行四边形不是梯形.

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课后强化作业(点此链接)

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