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平面向量综合测试题

时间:2011-08-24


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2009 届高考数学一轮复习 平面向量综合测试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 30 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题 项是符合题目要求的)

1.已知 a = ( ?1,3), b = ( x, ?1), 且a / / b,则x等于 ( A. B. C. D. A.3

r

r

r

r



1 1 D. ? 3 3 uuu uuu uuu r r r uuur 2.已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且 2 | BC |=| AB |, BC = λ CA,则λ等于 (
B.-3 C. B.



A.3

1 3

C.-3

D. ?

1 3

uuu r
3.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于( )

r uuu 1 uuu r r uuu 1 uuu r r uuu 1 uuu r r 1 uuu BA B. ? BC ? BA C. BC ? BA D. BC + BA 2 2 2 2 rrr 4.若 a、 c 为任意向量, m ∈ R ,则下列等式不一定成立的是( b、 )
A. BC +

uuu r

A

r r r r r r A. a + b ( )+c = a + b+c) (
C. m a + b ? c = ma + mb ( )

r r r r r r r B. a + b ? c = a ? c + b ? c ( )
D. a ? b ? c = a(b ? c) ( ) ?

D

r r r

uuu r

r

r r r

r r r

B
r r
第 3 题图 )

C

5.若 a 与 b ? c 都是非零向量,则“ a ? b = b ? c ”是 a ⊥( b ? c )的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分而不必要条件

r

r r

r r

r r

r

r 4 3 6. 已知平面上直线 l 的方向向量 e = ( ? , ) , O = (0, 0) 和点 A = (1, ?2) 在直线 l 上的射影 点 5 5 uuuu r r 分别为 O1和A1 ,若 O1A1 = λ e ,则 λ 等于( )
A.

11 5

B. ?

11 5

C.2

D.-2

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7 . | OA |= 1 | OB |= ,

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uuu r

uuu r

uuu uuu r r 3, ? OB = 0,点 C 在 ∠ AOB 内 , 且 ∠ AOC= 300 , OA

uuur uuu r uuu r m 设OC = mOA + nOB (m、n ∈ R ), 则 等于 n
A.

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

8.△ABC 中, a=1,B=45 , S ABC = 2, 则△ABC 外接圆的直径是
0

A. 4 3

B.5

C. 5 2

D. 6 2

9.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则 P 是△ABC 的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 10.设过点 P ( x, y ) 的直线分别与此 x 轴的正半轴和轴的正半轴交于 A、B 两点,点 O 与点 P

uuu uuu r r

uuu uuu r r

uuu uuu r r

, 关于轴对称,O 为坐标原点,若 BP = 2 PA且OQ ? AB = 1 则点 P 的轨迹方程是
A. 3x +
2

uuu r

uuu uuur uuu r r

3 2 y = 1( x > 0, y > 0) 2

B. 3x ?
2

3 2 y = 1( x > 0, y > 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 = 1( x > 0, y > 0) 2

D.

3 2 x + 3 y 2 = 1( x > 0, y > 0) 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卷中的横线上。 )

11.已知向量 a 和 b 的夹角是 1200 ,且 | a |= 2,b |= 5,则(2a ? b ? a = ____________ | ) 12.已知向量 a = (-2,2) b = (5, k ) ,若 | a + b | 不超过 5 则 k 的取值范围是____________ , 13.如图所示, OM / / AB ,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内(不 含边界)运动,且 OP = xOA + yOB, 则 x 的取值范围是 ________________ ; 当x=?

r r

r

r

r

r r r

r

r r

uuu r

uuu r

uuur

1 时, y 的取值范围是________________ 2

M

p

B A

14.已知 AC、CE 为正六边形 ABCDEF 的两条对角线,

O
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点 M、 分别内分 AC、 且使 N CE,

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AM CN = =r, 如果 B、 N 三点共线, r ________________ M、 则 AC CE r r r r 15.有两个向量 e1 = (1, 0), e 2 = (0,1), 今有动点 P,从 P0 ( ?1, 2) 开始沿着与向量 e1 + e2 相同
的方向做匀速直线运动,速度为 | e1 + e 2 | ;另一动点 Q0 ,从 Q0 ( ?2, ?1) 开始沿着与向量

r

r

r r r r r r 3e1 + 2e 2 e1 + e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为 | 3e1 + 2e 2 | ,设 P、Q 在时刻 t=0 时分别
uuu r

uuuur

在 P0 、 Q0 处,则当 PQ ⊥ P0Q0 是,t=________________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 16.本小题满分 12 分) ( 已知向量 a = ( x 2 , x + 1), b = (1 ? x, t ), 若函数 f ( x) = a ? b 在区间 (?1,1) 上是增函数,求 t 的取值范围是

r

r

r r

17(本小题满分 12 分)设向量 a = (cos (1) 求 a ? b 及 | a + b | ;

r

r x x 3x 3x π ,sin ) ,向量 b = (sin , cos ) , x ∈ [0, ] 2 2 2 2 2

r r

r r

(2) 若函数 f ( x) = a ? b + 2 | a + b | ,求 f ( x ) 的最小值和最大值.

r r

r r

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ur

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ur r 3π ,且 m ? n = ?1 , 4

18(本小题满分 12 分)已知向量 m = (1,1), 向量 n 与向量 m 的夹角是

r

ur

r
(1) 求向量 n ; (2) 若向量 n 与向量 q = (1, 0) 的夹角是

r

r

π
2

,向量 p = (cos A, 2 cos

u r

2

C ) ,其中 A、C 为△ 2

ABC 的内角,且 A、B、C 依次成等差数列,求 | n + p | 的取值范围

r u r

19 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 所 示 , △ ABC 的 BC 边 的 中 点 为 M , 利 用 向 量 证 明 :

AB 2 + AC 2 = 2( AM 2 + BM 2 )

A

B

M

C

20(本小题满分 13 分)已知两定点 F1 ( ? 2, 0) , F2 ( 2, 0) ,满足条件 | PF2 | ? | PF1 |= 2 的
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uuuu r

uuur

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点 P 的轨迹是曲线 E,直线 y = kx ? 1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 (1) 求 k 的取值范围;

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(2) 如果 | AB |= 6 3 , 且曲线 E 上存在点 C, OA + OB = mOC , 使 求式中 m 的值和△ABC 的面积 S。

uuu r

uuu uuu r r

uuur

21(本小题满分 14 分)如图所示,三定点 A(2,1) 、B(0,-1) 、C(-2,1) ;三点 D、E、M 满足 AD = t AB, BE = t BC , DM = t DE , t ∈ [0,1]. (1) 求动直线 DE 斜率的变化范围; (2) 求动点 M 的轨迹方程。 C D M 1 -1 B A

uuur

uuuruuu r

uuu uuuu r r

uuur

y

-1

x

届高考数学一轮复习平面向量 一轮复习平面向量综合测试题 2009 届高考数学一轮复习平面向量综合测试题 参考答案
1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.B 8.C 9.D 10.D

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11. 13 12. [ ?6, 2] 13. x < 0 ;

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14.

1 3 < y< 2 2

3 3

15. 2

16解:依定义f ( x) = x 2 (1 ? x) + t ( x + 1) = ? x3 + x 2 + tx + t ∴ f / ( x ) = ?3 x 2 + 2 x + t 若f ( x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f / ( x) ≥ 0 ∴ f / ( x) ≥ 0 ? t ≥ 3 x 2 ? 2 x在区间(-1,1)上恒成立 1 3, 2 开口向上的抛物线,故要使t ≥ 3 x ? 2 x在区间(-1,1)上恒成立 考虑函数g ( x) = 3 x 2 ? 2 x,由于g ( x)的图象是对称轴为x = ? t ≥ g (?1),即t ≥ 5.而当t ≥ 5时,f / ( x)在(-1,1)上满足f / ( x) > 0. 即f ( x)在(-1,1)上是增函数。 故t的取值范围是t ≥ 5.

r → x 3 x 3 3 x 17解:(1) ? b = cos sin x + sin cos x = sin( x + ) = sin 2 x a 2 2 2 2 2 2 r → 2 r → 2 r 2 r2 r → Q| a + b | = ( a + b ) = a + b + 2a ? b = 2 + 2sin 2 x r → π ∴| a + b |= 2 + 2sin 2 x = 2(1 + sin 2 x) = (sin x + cos x) 2 = 2(sin x + cos x), x ∈ [0, ] 2 (2)由(1)得:f ( x) = sin 2 x + 2(sin x + cos x) = 2sin x cos x + 2(sin x + cos x) 令 sin x + cos x = t Q x ∈ [0, ] 2 ∴ t ∈ [1, 2] ∴ 2sin x cos x = t 2 ? 1 ∴ y = t 2 ? 1 + 2t = (t + 1) 2 ? 2, t ∈ [1, 2] ∴当t = 1时,y min = 2;当t = 2时,y max = 1 + 2 2.

π

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r uur r 18解: 设n = ( x, y ),由m ?n = ?1, 可得x + y = ?1 (1) ur r uur r ur r 3π 3π m与n的夹角为 ,有m ?n =| m | ? | n | cos 4 4 r 2 2 ∴| n |= 1, 则x + y = 1

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? x + y = ?1 ? x = ?1 ? x = 0 ?? 或? ? 2 2 ? y = ?1 ?x + y = 1 ? y = 0 r (-1,0)或(0,-1) ∴n = r r r π 2π 2π (2)由n与q垂直知: = ,0<A< n (-1,0),由2 B = A + C知B = ,A + C = 3 3 3 r r u r C 若n = (-1,0),则n + p = (cos A, 2 cos 2 ? 1) = (cos A, cos C ) 2 r u 2 r 1 + cos 2 A 1 + cos 2C ∴| n + p | = cos 2 A + cos 2 C = + 2 2 1? 4π 1 π ? = 1 + ?cos 2 A + cos( ? 2 A) ? = 1 + cos(2 A + ) 2? 3 2 3 ? 2π π π 5π Q0 < A < , < 2A + < 3 3 3 3 1 1 1 5 π π ∴?1 ≤ cos(2 A + ) < , ≤ 1 + cos(2 A + ) < 3 2 2 2 3 4 r u ? 2 5? r ∴| n + p |∈ ? , ? ? ? 2 2 ?

r r r r r r uuuu ur uuu r uuu r r r r b + c ur ur b + c b + c 19证明:设AM = m, AB = b, AC = c, 则m = , m? m = ? 2 2 2 r2 1 rr 1 r2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 AB2 + AC2 ? BC2 = b + bc + c = AB + AC + AB ? AC cos ∠BAC = AB2 + AC2 + AB ? AC 4 2 4 4 4 2 4 4 2 2AB ? AC 1 1 1 = AB2 + AC2 + ( AB2 + AC2 ? BC2 ) 4 4 4 1 1 1 ∴ AM 2 = AB2 + AC2 ? BC2 2 2 4 2 2 又QBC = 4BM ∴ AB2 + AC2 = (AM 2 + BM 2) 2

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c= 2,a = 1,易知b=1 2 2 故曲线 E 的方程为: x + y = 1( x < 0)

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20 解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 - 2,0),F2 2,0) ( ( 为焦点的左支,且

? y = kx ? 1 设(x1 , y1 ), B x2 , y2 ) ,由题意建立方程组 ? 2 A ( ? (1 ? k 2 ) x 2 + 2kx ? 2 = 0 2 ?x ? y = 1
又已知直线和双曲线左支交于两点 A、B,有

?1 ? k 2 ≠ 0 ? 2 2 ?? = (2k ) + 8(1 ? k ) > 0 ? ? ? 2 < k < ?1 ? x1 + x2 = ?2k2 < 0 1? k ? ? ?2 >0 ? x1 x2 = 1? k 2 ?
(2)Q| AB |= 1 + k

2

( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2

?2 k 2 ?2 = 1+ k 2 ( ) ?4 2 1? k 1? k 2 (1 + k 2 )(2 ? k 2 ) =2 =6 3 (1 ? k 2 )2 28k 4 ? 55k 2 + 25 = 0 5 5 ∴k2 = 或 7 4 但 ? 2 < k < ?1 ∴k = ? 5 2

故直线 AB 的方程为

5 x + y +1 = 0 2r uuu uuu r uuur 设 C x0 , y0 ),由已知OA + OB = mOC,得(x1 , y1 ) + x2 , y2 ) = m x0 , y0 ) ( ( (
x1 + x2 y1 + y2 , ) , (m ≠ 0) m m ?2 k 又x1 + x2 = = ?4 5 1? k 2

Q x0 , y0 ) = ( (

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y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) ? 2 =
∴C ( ?4 5 8 , ) m m
80 64 ? = 1, 得m = ±4 m2 m2

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2k 2 2 ?2= 2 =8 2 k ?1 k ?1

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

当 m = ?4 时,所得点在双曲线的右支上,不合题意。

∴ m = 4, 点C的坐标为(- 5,2) 5 × (- 5)+2+1 | 1 = C 到 AB 的距离为 2 3 5 2 ( ) + 12 2 1 1 ∴?ABC的面积S = × 6 3 × = 3 2 3 |

uuur uuu uuu r r uuu r 21解:(1)设D(xD ,yD),E(xE ,yE),M(x,y),由AD = t AB, BE = t BC
知(xD ? 2,yD ? 2)=t(-2,2) ? xD = ?2t + 2 ? xE = ?2t y ? yD 2t ? 1 ? (?2t + 1) ∴? 同理 ? ∴ k DE = E = = 1 ? 2t yD = ?2t + 1 yE = 2t ? 1 xE ? xD ?2t ? (?2t + 2) ? ? Q t ∈ [ 0,1]
∴ k DE [ ?1,1]

uuuu r uuur (2) Q DM = t DE ∴ ( x + 2t ? 2, y + 2t ? 1) = t (?2t + 2t ? 2, 2t ? 1 + 2t ? 1) = t (?2, 4t ? 2) = (?2t , 4t 2 ? 2t )
? x = 2(1 ? 2t ) ∴? 2 ? y = (1 ? 2t ) x2 ∴ y = 即x 2 = 4 y Q t ∈ [ 0,1],x = 2(1 ? 2t ) ∈ [ ?2, 2] 4

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