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利用摩擦角解有关竞赛题第一期


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Vl o I . 28No . 1  







师 

第2 8 卷第 1 期 
2 0 0 7年 

>
( 2 0 0 7 )  

PH YSI CS   TE ACHER 

的 C点 , 木杆呈水平状态 , 绳与杆 的夹 角为 口 . ( 见图 9 )  
C 
‘ 

柱的最低点 , 由简单 的几何关系可 以证 明 : B、 C两 点连线 的  延长线必过 A 点 . 即 B、 C、 A 三点共线 .  

‘ \  
  .

/, r  
A   L 
图1 O  
图 1 2  

A  

I  
图9  

亚 F   A  
I 墨 l   1 3  

( 1 ) 求杆能保 持平衡时 ,   与0应满 足的条件 ;   ( 2 ) 杆保 持平衡时 , 杆上存在 一点 P, 若 在 A 点 与 P点  之 间任一点悬挂一重 物 , 则 当重物 的重 量 G 足 够大 时总可  以使平衡破坏 ; 而在 P点 与 B点 之 间任一 点悬 挂任意 重量  的重物, 则都 不能 使平 衡破 坏 . 求 出这一 点 尸 与 A 点 的距 
离.  
, 

如图 1 3 , 以 OI 、O2表 示 两 圆 柱 的 圆 心, a 表 示  A C O2 ; 其余各位 置标示如图 . 则 当大 圆柱 刚好 能离开地 面  滚上 小圆柱时 , 大 圆柱受 到 自己的重 力 G2 , 绳 的拉 力 F 和  小圆柱对它的全反力 R1 2 三个 力 的作 用 , 其 中 G2与 F 的作  用线 交于A 点 , 由三 力平 衡 的条件 知 R1 2 的作 用线必 过 A  
点, 则 a就 是 C处接触 面法 线 ol o2 与 全反力 Rl 2 的夹角 ,  

解析 : 设杆与墙壁 间的摩擦角为 l I  , 则t a n  =  =   .   ( 1 ) 在未挂重物 时 , 杆受 重力 Gn 、 绳 拉力 T、 A 点 全 反  力R 三力 的作 用 ( 见图 1 0 ) , 要 使杆 平衡 , 必须 使 该三 力共  点. 即l I =口 , 因此 , 必须满足 口 ≤9 I  的条件 , 即可得 

由摩擦角 的概念知 , 要在 C处不发生滑动 , 则 a应不大 于该  处 的摩擦角 l I  , 即要求 a ≤l I  , 而t 扪l r I  
≥t . a n  ̄ .  

, 故应有 

对于小 圆柱 , 它受 到 自己的重力 G1 , 大 圆 

t a n 0  ̄ .  
( 2 ) 如图 l 1 所示, 作D P 上A B, 且满 足  D A B=   , 在  尸、 B之间挂重 物 G, 则根据 同向平行 力 的合 成原理 . 可 知合 
力 F作用线必介于 G 与 G0 两作 用线 之间 . 当 G无 限增 大  时, F的作用线无 限接近 于G 的作用 线. 从杆 受力 R、 F、 1 1   三力而言 , 也 必须 满足 这三力 共点 的要 求 . 很 清楚 , 即使 F   的作用线与 G 的作 用线相重 合, 杆 的平 衡也 是能保 持的 . 因 
此此时全反力与接触面 法线 间的夹 角不会 大 于摩擦 角  ,   平衡可 以维持 . 但 当重 物挂 于 A、 尸之间 , 则 只要 G 足够 大 ,  

柱对它的全 反力 R2 】 和 地面对 它 的全反 力 Rl  

三个力的作用 ( 见图 1 3 ) , 其中 R 2 l 为前 述 Rl 2  
的反作 用 力 , 由小 圆柱 的 受力 平 衡 条 件 可 知  Gl 、 R2 l 、 RI 三力矢量必组成~封 闭的三角形 ,  

如图 1 4 , 由图可见 , G】 与 R】 的夹角 口 ( 即 B处  全反力与接触 面法线 间的夹角) 小于 a , 前 已有 
≥t A t n t z , 由此进一 步应 有  >t a n 0 , 说 明此 时  在接触面 B处不发生滑动 . 又由于小 圆柱 所受  诸力 交于一点 , 其合 力矩 为零 , 故小 圆柱也不会发生转动 .   综 合上述知 ≥t a r l t z 时, 在拉力 F作用下 , 大圆柱 可翻 
过小 圆柱 . 为求得 t a n g与 I 、  2 之间的关系 , 在 图中有 
图 1 4  

必能使全反力 R 与接触 面法线 间的夹角会 大于摩 擦角  ,   平衡将会被破坏 . 可见 , 该 尸 点正是本题要求 的位置.  
由 图 儿 中几 何 条 件 司知 :  
C 

百 D  l =( r l +r 2 )  一( r 2 一r 1 )   =4 r l   2 , 故得 
,  

t a n O  

(   与 尸 与 A 点 的 

\ 

距离 ) , 而t a n  :   , 即有 
.  


>   ‘  
、    .

9  

B D


、  
  ‘  

所以, 在拉力 F作 用下 , 为使 大 圆柱 能翻 过小 圆柱 , 静 
厂- 

! 塑旦一— t a — n O  
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d—t a n (  ̄  一  
十  t a nu .  

P   G   I G 。  
I F 

摩 擦因数  应满足的条件是 

l r
.  

, . ,

 ̄l t t   d;  l t a   n   O

通过对上面几道有关竞赛题 的求解 , 可 以看出运 用摩擦 

角及 全反力进行 求解 , 会 使得问题 简单很 多 ; 而在解题过 程  中, 主要是利用 欲使 物体 与接触 面问不发 生相 对滑动 , 必须  使其 所受全反力与接触 面法线 问 的夹角小 于所 对应 的静摩  擦角这一性质 .   参考文献 :  
1 张大同. 高 中物理 竞赛辅 导. 第 2版. 西安: 陕西 师范大学 出版社 ,  
2 0 0 3. 2- -3  

例5 . 如图 1 2 , 半径分别 为  r I 和r 2的两个均 匀圆柱体 置 

图 1 1  

于同一水平面上 , 在大 圆柱 上绕有 一根 细绳 , 通过 细绳 对大 

圆柱施 以水平拉力 F. 设 所有接触 处 的静摩擦 因数 均为  ,   为使在力 F的作用下 , 大 圆柱能翻过小 圆柱 , 问  应满足什  么条件?   解析 : 设 大圆柱能翻过小圆柱 , 则在 图示的情况下 , 必 是  小 圆柱在地面上 既不滑动也不转 动 , 而 大圆柱则在 小圆柱上  做无滑动 的滚动 ( 向上 ) . 显然 , 此 时 B、 C两处 必定有摩 擦力  作用 , 且由于此两处都不 能发生滑 动 , 则两处 的全 反力与 接  触面法线 的夹 角都 必小 于对 应的摩擦 角 .   由于 A 为大 圆柱 的最 高点 。 C为两圆的切点 , B为小 圆 


2 彭 大斌. 物理 竞赛 教程 . 上海 : 华东 师范大 学 出版社 。 2 0 0 1 . " / 9 .  
2 8 0 ̄ 2 8 1. 6 4~ 6 5  

3 宓子宏. 中学生物理奥林 匹克辅 导讲座 . 长沙 : 湖南教育 出版社 。  
1 9 95 . 1 1 ~1 3  

6 8 一 


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