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新课程卷中三视图试题的特点及启示


高考新课程卷中三视图试题的特点及启示
宜昌金东方高中 翁平
【摘要】 高中数学教材必修二第一章《立体几何初步》是新课改中出现的新内容和新考点,不光是高中学生的首次 接触,作为高中数学教师的我也是第一次“触电” 。这一部分的内容在课堂教学的过程中因其图形多、与实际结合紧 密容易激发学生的学习兴趣,但是在解决相应习题和应对考试题目时,却也存在着许多的困难。为了帮助

学生提高 解题速度和准确度,我针对这部分常见的习题做了一些研究和思考,并结合 2009—2011 年这三年新课程高考试卷中 的考题,总结和归纳出了一些解题规律和常用步骤。 【关键词】 三视图 空间几何体

一、高考新课程卷中三视图试题的特点
1.试题分布 从 2009-2011 这三年新课程高考试卷中,考三视图的概率很高,在 80﹪以上,且逐年增加,到 2011 年几乎都有 三视图的试题。 2.试题分析 (1)纵观 2009-2011 的高考题,试题通常是通过对课本原题的改编,通过对基础知识的重新组合、拓广,充分 表现出教材的基础作用。因此密切联系教材,要把书本上的习题弄懂,弄透。 (2)三视图试题与立体几何相联系,需要一定的空间想象能力,同时又有区别,和平行投影中的正投影有关。 近三年来出现过两种类型:类型一是根据几何体的图形来判断三视图(如 2011 年江西卷第 9 题等) ;类型二是已知 三视图求几何体的体积,表面积和边长等(如 2011 年湖南卷第 4 题,2010 年安徽第 9 题等) 。 (3)三视图试题多半以选填题形式出现,以中低档题为主,注重了对“长对正,高平齐,宽相等”的考查,注 重对几何体表面积,体积公式的考查。

二、近三年新课程卷中三视图试题对高考复习的启示
1. 在复习中,应充分研究数学课程课标 按照课标要求,了解中心投影和平行投影的意义;理解三视图画法的规则,能画简单几何体的三视图,其次能 识别三视图所表示的空间几何体。由此,要特别注重三视图“长对正,高平齐,宽相等”的规则,以及由三视图能 识别空间几何体,这是考查的重点。 2.在复习中,应注重对三视图选填题形式的考查 首先三视图作为新课程改革新增加的内容要在思想上引起重视,其次通过对 2009-2011 新高考题的研究,应注 重对三视图选填题形式的考查,但也不能因为三视图与立体几何在一章,认为只可能出现填空、选择题的类型。因 为从近几年的高考试卷看到,2008 年宁夏海南第 18 题,2009 年广东第 17 题,2010 年上海文科第 20 题都是以大题 形式出现,通过给出几何体的三视图,先从三视图中得到线面关系以及边的长度再来证明。 3. 在复习中,侧重两种类型的复习 类型一,根据几何体的图形来判断三视图;类型二,已知三视图求几何体的体积,表面积等求值问题,这两种 类型以类型二为考查的重点和难点。对这类型的复习,在前一节对几何体的结构特征充分理解的基础上,结合三视 图画法的规则,从而总结出简单多面体和旋转体三视图的特点。以下是简单多面体和旋转体三视图的特点: (1) 多面体 注意:1、多面体的棱长应注意不要漏画,先确定顶点的位置,再确定棱;

2、看见的画实线,看不见的画虚线。 ① 棱柱(这里棱柱主要研究直棱柱,对于斜棱柱则要依据具体的题目条件) 直棱柱:三视图中有两个矩形+多边形(从多边形的边数能确定棱柱的分类) 【例 1】 (2011·安徽卷 8)一个空间几何体的三视图如图 1 所示,则该几何 表面积为( ) 体的

图1 A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80

命题意图:本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 解析:图中三视图是由两个矩形+一个四边形可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所 示), 再由三视图的作图法则 “长对正,高平齐,宽相等” ,可知直四棱柱底面等腰梯形的上底为 2,下底为 4,高为 4, 两底面积和为 2 ?

1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 24 ,四个侧面的面积为 4 4 ? 2 ? 2 17 ? 24 ? 8 17 ,所以几何体的表面积为 2

?

?

48 ? 8 17 。答案 C
解题指导:三视图还原很关键,每一个数据都要标注准确 ② 棱锥:三视图中有两个三角形+多边形; 从 2009-2011 近三年的高考题,考查比例较多的为三棱锥,四棱锥。 三棱锥:2009 宁夏第 11 题,2009 辽宁第 16 题,2010 辽宁第 16 题,2010 湖南第 13 题,2010 陕西第 8 题,2011 辽宁第 8 题; 四棱锥:2011 北京第 5 题,2011 广东第 9 题。 【例 2】 : (2010 湖南第 13 题)图 2 中的三个直角 20cm 的几何体的三视图, 则 h= cm。 体体积的求法。 图形为三棱锥,由俯视 高 。
3

三角形是一个体积为

命题意图:本题考查三视图的识别以及空间多面 解析:图中三视图是由两个三角形+三角形,知该 图可知底面是一个直角三角形,h 表示的是三棱锥的

1 1 ? ? 5 ? 6 ? h ? 20 得到 h ? 4 cm。 3 2
解题指导:三视图作图规则是还原的依据,对于求值问题每一个数据都要标注准确 ③ 棱台:三视图中有两个梯形+“多边形” (特指两个相似的多边形环, ) (2) 旋转体 ① 圆柱:三视图中有两个全等矩形+圆; ② 圆锥:三视图中有两个全等等腰三角形+圆; 【例 3】 : (2011 年高考陕西卷文科 5)某几何体的三视图如图 3 所示,则它的体积是( )

(A) 8 ?

2? 3

(B) 8 ? (D)

(C) 8 ? 2?

2? 3

? 3
图3

命题意图:本题考查三视图的识别以及空间组合体体积的求法.

解析:由三视图可知该几何体为立方体截去圆锥,立方体棱长为 2,圆锥底面半径为 1,高为 2,体积为

1 2? 23 ? ? ? ?12 ? 2 ? 8 ? ,答案为 A。 3 3
③ 圆台:三视图中有两个全等的等腰梯形+圆; ④ 球:三视图中有三个圆。

三、已知三视图辨识几何体小结
1、柱体的三视图中有两个视图为矩形,若另一个视图为圆则为圆柱;若另一个视图为矩形则为直棱柱,再看多 边形边数来判断是几棱柱; 2、椎体的三视图中有两个视图为三角形,若另一个视图为圆则为圆锥,若另一个视图为三角形则为棱锥,同样 由多边形边数来判断是几棱锥; 3、台体的三视图中有两个视图为梯形,若另一个视图为圆环则为圆台,若另一个视图为多边形环则为棱台。

4、在复习中,应注意几何体的三视图是从三个方向的正投影,主要用于处理根据几何体的图形 来识别三视图的问题
已知几何体的图形,来识别其三视图的步骤如下: 第一,首先要弄清三视图的含义,分为正视图(又称为主视图) :从前往后的正投影; 侧视图(又称为左视图) :从左往右的正投影;俯视图:从上往下的正投影。 第二,正投影是特殊的平行投影,在平行投影下: (1)与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同; (2)若平面图形与投影面垂直, ①如果图形为点,无论与平面平行还是垂直,得到的影子均为点; ②如果图形为线段,得到的影子为点; ③如果图形为多边形,则得到的影子为线段; (3)若平面图形与投影面成夹角 ? (0 ? ? ?

?
2

),

①如果图形为线段,得到的影子为线段; ②如果图形为 n 多边形,则投影后也为 n 多边形。 第三,高考时多考查的是多面体,对于由多面体的几何图形得到其三视图,应先找准多面体顶点的位置,再来 确定棱长的位置,称之为顶点确定法。 【例 4】 : (2011 年高考江西卷文科 9)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图 4 所示,则该几何体的左视 图为( )

命题意图:本题考查三视图的识别

图4

解析:左视图是从正左方看,由图可知,几何体有 7 个顶点,先在投影面上把 7 个点的位置确定,即找特殊位 置的可视点,连起来就可以得到答案。上底面与投影面垂直关系,则投影得到的为线段,下底面同理也为线段,前 后两个侧面也与投影面垂直,则投影得到的也是线段。 答案 D 解题指导:顶点确定法 【例 5】 : (08 年广东文科 7)将正三棱柱截去三个角(如图 5)所示 A、B、C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到的 几何体如图 5 中右图,则该几何体按该图所示方向的侧视图为( )

图5 命题意图:本题考查三视图的识别 解析:左视图即是从正左方看,找特殊位置的可视点。 解题时在图 5 的第 2 个图的右边放扇墙即投影面(心中 有墙) ,注意利用第 1 个图,投影后, A 与 G 重合, E 与 D 重合,GD 与底面 EDF 垂直,即 GE 与底面 EDF 垂直, 而 V EDF 与右边投影面相垂直,因此投影后为线段,可得答案 A。

5.在复习中, 还应注意对几何体组合体三视图的训练
【例 6】 : (2011 年新课标卷 8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图 6 所示,则相应的侧视图可以 为( )

图6 命题意图:本题考查三视图的知识,同时考察空间想象能力。 解析:本题先要由正视图和俯视图还原几何体,在正视图和俯视图中均为实线。俯视图中可看成由一个半圆和 三角形的组合,而在正视图中为三角形,因此可判断几何体的位置关系为前部分是一个的三棱锥,后面是一个半圆 锥,由正视图和俯视图可以判断此几何体由两个几何体前后组合而成。由此可选 D。 解题指导:三视图还原很关键,组合图要由实线和虚线确定组合体是上下,前后和左右放置,再来辨识是何几 何体。


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