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高一暑假补短班 第一讲 不等关系与不等式


一、课题: 不等式 1 二、学习目标: 1. 理解不等式的性质及其证明。 2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用。 三、教学过程 知识回顾: 1.实数的大小: ;a ?b ; 比较两个数或两式的大小的常用方法: ①作差比较法;②作商比较法;③函数法;④放缩法;⑤数学归纳法 2.不等式性质: 1) a ? b 对称性 2) a ?

b , b ? c 传递性 3) a ? b 可加性 4) a ? b , c ? d 同向可加性 5) a ? b, c ? 0 6) a ? b ? 0, c ? d ? 0 7) a ? b ? 0(n ? N )
?

a?b

可乘性 同向可乘性 乘方法则 开方法则

思考探究: 1.若 a<b<0,c<d<0,则 ac 与 bd 的大小关系如何? 2.若 a>b,__ ?

1 1 < . a b

3.基本不等式:基本不等式 ab ? 1)、如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当a ? b时取" ?"号). 2 a?b 2)、基本不等式 ab ? 几何意义是“半径不小于半弦” 。 2
例题分析 例 1 .比较大小: (1) ( 3 ? 2)2
2

a?b 2

; 6? 2 6

( 6 ? 1) 2 ; (2) ( 3 ? 2) 1 1 (3) ; 5?2 6? 5 (4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b .
2 2

拓展延伸:1.比较 (a ? 3)( a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) 的大小.

1

2.已知 a,b,x,y 都是正数,且

y 1 1 x > ,x>y,求证: > . a b x?a y?b

例 2.(1).若 a<0,-1<b<0,则有( ) 2 2 A.a>ab>ab B.ab >ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a (2).若 1<α<3,-4<β<2,则 α-|β|的取值范围是________

拓展延伸:已知 ? , ? 满足 ?

? ?1 ≤ ? ? ? ≤ 1 , 试求 ? ? 3? 的取值范围. ?1 ≤ ? ? 2 ? ≤ 3

例 3.(1)设 0<x<2,求函数 y= 3x(8-3x)的最大值; 3 (2)求 +a (a<4)的取值范围; a-4 8 2 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值.

x y

拓展延伸: 1.求函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x2 ? 2

的值域。

2.已知 a, b ? 0, a ? b, ab ? a ? b ? 2, 比较 2 , a, b 的大小。

2

a2 例 4.(2013 年上海高考数学试题(文科) 设常数 a ? 0 ,若 9 x ? ) ? a ? 1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值 x
范围为________.

四、作业: 1. 已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d 。则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A. 充分而不必要条件 C.充要条件
2 2

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
.

2.若 x≠2 且 y≠-1,M=x +y -4x+2y,N=-5,M 与 N 的大小关系是( A.M>N B.M<N C.M=N D.M≥N 3.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则 A. ac ? bc B.

) ( )

1 1 ? a b

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

3

4.已知 x ? a ? 0 ,则一定成立的不等式是( ). 2 2 2 2 A. x ? a ? 0 B. x ? ax ? a C. x2 ? ax ? 0 D. x2 ? a 2 ? ax ? ?? ? ? 5.已知 ? ? ? ? ? ? ,则 的范围是( ). 2 2 2 ? ? A. (? , 0) B. [? ,0] 2 2 ? ? C. (? , 0] D. [? , 0) 2 2 6.给出下列命题:①a>b 与 b<a 是同向不等式; ②a>b 且 b>c 等价于 a>c; a b ③a>b>0,d>c>0,则 > ; c d 2 2 ④a>b?ac >bc ; a b ⑤ 2> 2?a>b.其中真命题的序号是________. c c 1 1 7. 如果 a ? b ,有下列不等式:① a2 ? b2 ,② ? ,③ 3a ? 3b ,④ lg a ? lg b ,其中成立的是 a b 8.下列不等式一定成立的是 ( ) A. lg( x ? ) ? lg x( x ? 0)
2

.

1 4

B. sin x ? D.

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)
2

1 ? 1( x ? R) x ?1
2

9.设 a=log32,b=log52,c=log23,则

( C.c>b>a D.c>a>b

) 3

A.a>c>b

B.b>c>a

10.下列选项中,使不等式 x<错误!未找到引用源。< x 成立的 x 的取值范围是

2





A.(错误!未找到引用源。,-1) 误!未找到引用源。) 高考真题体验 若-1<a<b<0,把

B.(-1,0)

C.0,1)

D . (1,+ 错

1 1 , ,a 2 ,b 2 按照从小到大的顺序排列起来为___; a b

已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 b ?

f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,则实数 c 的值为____. m

4


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