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第一章计数原理


2008 年高三第一轮复习讲义

山东省济宁一中

贾广素编写

选修 2-3 第一章 计数原理

[课标研读]
[课标要求] 1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理; ② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 2.

排列与组合 ① 理解排列、组合的概念. ② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③ 能解决简单的实际问题. 3.二项式定理 ① 能用计数原理证明二项式定理. ② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. [命题展望] 排列、组合与概率的联系十分密切,这是解答等可能事件的概率问题的基础,是高考考 查的重要内容之一。 该部分的内容在高考试题中主要以两种方式进行考查: 一是单独命题, 一般以选择题与 填空题的形式出现;二是与概率方面的试题融合在一起进行考查。 排列、 组合在高考试题中所占的比重在算太大, 但在解答这一部分的试题时却需要具有 一定的灵活能力。应注意认真审题,根据题意分析它属于什么数学问题,题目中的事件是什 么,有无限制条件,通过怎样的程序去完成这件事件,用什么样的计算方法。有些复杂的问 题由于考生的分类不全,常常会出现重复或遗漏的错误;而又有的问题看似非常简单,却由 于思考角度不科学,导致找不到问题的突破口、解题过程繁琐或数值计算错误等,所以排列 组合综合题成为高考的一大难点。 解决这一难点的关键是掌握一些常见的解题方法, 具体的解题策略有: 特殊元素优先安 排策略;合理分类与准确分类策略;先选后排策略;正难则反、等价转化策略;相邻问题梱 绑处理策略;间隔问题插空处理策略;序问题除法处理策略;分排问题直排处理策略; “小 团体”排列问题中先整体后局部的策略;构造模型的处理策略等等。 对于二项式定理也是高考考查的重点内容, 一般以选择与填空的形式出现, 在复习的过 程中要充分认识到二项展开式的通项公式的重要性, 对于涉及到二项展开式中的某一项或某 项的系数的题目上,都需要利用通项来进行求解;对于涉及到系数的问题,可以对照二项展 开式,对 a , b 赋以特殊值,用赋值法加以解决;处理三项或多项展开式问题时,可以运用转 化思想,将其中的某些项作为一个整体,使用二项式定理处理。这样就要求我们在了解二项 式定理的推导思想的同时,掌握其蕴含的相关有数学思想及方法。

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第一讲

两个计数原理

[知识梳理]
[知识盘点] 1.分类加法计数原理 完成一件事件有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m 1 种不同的方法,在第二类方案 中有 m 2 种不同的方法,??,在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法,则完成这件事情,共有 N= 2.分步乘法计数原理 种不同的方法。

完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m 1 种不同的方法,完成第二步 有 m 2 种不同的方法,??,完成第 n 步有 m n 种不同的方法,那么完成这件事情共有
N ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 种不同的方法。

3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及 的不同方法的种数,它们的 区别在于:分类加法计数原理与 有关,各种方法 ,用其中的任一 种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理有 有关,各个步骤 ,只 有各个步骤都完成了,这件事才算完成。 [特别提醒] 分类加法计数原理是对要做的这件事情的所有方法的一个分类, 分类时, 首先要根据问 题的特点确定一个分类的标准,然后在确定的分类标准下进行分类;其次,分类时要注意满 足一个基本要求: 完成这件事的任何方法必属于其中的革一类, 并且分别属于不同两类的两 种方法都是不同的方法。只有满足这些条件,才能使用分类加法计算原理。 分步乘法计数原理是指完成这件事情的任何一种方法,都要分成 n 个步骤。分步时,首 先要根据问题的特点确定一个分步标准, 其次, 分步时还要注意满足完成一件事情必须且只 n 个步骤后才能完成,只有满足这些条件,才能使用分步乘法原理。 需连续完成这 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别在于: 分类加法计数原理中的每一种方法 都成完成这件事情;而分步乘法计数原理中的各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了, 这件事情才算完成。 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习排列组合与二项式定理和计算事件概率 的的预备知识。 在对应用题的考查中, 经常要用到分类加法计数原理或分步乘法计数原理对 问题进行分类或分步分析求解, 如何灵活运用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解决 应用题的关键。

[基础闯关]
1.某班有 26 名男生,24 名女生,从中选一位同学为数学课代表,则不同的选法有( A.50 B.26 C.24 D.616 2.4 人去借三本不同的书(全部借完) ,所有的借法的种类是( ) A. 3
4



B. 4

3

C. A 4

3

D. C 4

3

3.用 1,2,3,4,5 组成没有重复的三位数,其中偶数共有( A.24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个



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4. (2006 年山东卷)已知集合 A ? {5} , B ? {1, 2} , C ? {1, 3, 4} ,从这一个集合中各取一个 元素构成空间直角坐标系中的点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) A.33 B.34 C.35 D.36 5.在 3000 至 8000 中有 个无重复数字的奇数。 6. (2006 年河南模拟)将 3 种作物种值在如图所示的 5 块试验田里,每块种值一种作物且 相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有 。

[典例精析]
例 1.求三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数。 [剖析]该问题与计数有关,故考虑选用两个基本原理来解决,完成这件事,应注意最大边 长为 11,且两边之和小于第三边,因此可考虑对边长进行分类讨论。 [解]设较小的两边长为 x、y 且 x≤y, 则 x≤y≤11, x+y>11, x、y∈N*. 当 x=1 时,y=11; 当 x=2 时,y=10,11; 当 x=3 时,y=9,10,11; 当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11; 当 x=6 时,y=6,7,8,9,10,11; 当 x=7 时,y=7,8,9,10,11; ?? 当 x=11 时,y=11. 所以不同三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36. [警示] 分类加法计数原理是涉及完成一件事情的不同方法的计数种类, 第一类中的各咱方 法都是相互独立的, 且第一类方法中的第一种方法都可以独立地完成这件事。 解决这类问题 应从简单的分类入手进行讨论,做到不重不漏,尽可做到一题多解,从不同的角度进行思考 问题。 [变式训练] : 1.直线方程 A x ? B y ? 0 ,若从 0,1,2,3,5,7 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为 A、 B 的值,求表示的不同直线条数。

例 2. (2006 年全国 I 卷)设集合 I ? {1, 2 , 3, 4 , 5} . 选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中 的最小的数大于 A 中的最大的数,则有多少种不同的选择方法? [剖析]B 作为 I 的子集,可以是单元素集、双元素集、三元素集及四元素集,因此可以按 B 中元素的个数进行分类。

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[解]若 B 是单元素集,则可能 B ? {1} ,此时构成 A 的元素可以从余下的 4 个元素中随意 选择,任何一个元素都可能成为 A 的元素,也可能不成为 A 的元素,故 A 有 2 4 ? 1 个;依 此类推, B ? { 2} 时, 有 2 ? 1 个; B ? {3} 时, 有 2 ? 1 个; B ? { 4} 时, 有 2 ? 1 当 A 当 A 当 A
3 2

个. 若 B 为双元素集时,当 B 中的最大元素是 2 时,则 B ? {1, 2} ,A 有 2 ? 1 个;当 B 中的最
3
1 2 大数是 3 时, 则另一个元素可以在 1,2 中选择, 故有 C 2 ( 2 ? 1) 个; B 中的最大数是 4 时, 当

1 则有 C 3 ( 2 ? 1) 个;

若 B 为三元素集时,B 中的最大元素是 3,则 B ? {1, 2 , 3} ,则 A 有 2 ? 1 个;
2

若 B 为四元素集时,则 B ? {1, 2 , 3, 4} ,A={5} ,只有 1 个. 由分类加法计数原理知不同的选择方法有:
( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? C 2 ( 2 ? 1) ? C 3 ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1)
4 3 2 3 1 2 1 2

? C 3 ( 2 ? 1) ? 1 ? 4 9 种 .
2

[警示] [变式训练] 2.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观 众来信,甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一 名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?

例 3.从集合{1,2,3,?,10}中,选出由 5 个数组成的子集,使得这 5 个数中的任何两 个数的和不等于 11,这样的子集共有多少个? [剖析]解本题的关键是找出和为 11 的 5 组数,然后再用分步计数原理求解. [解]和为 11 的数共有 5 组:1 与 10,2 与 9,3 与 8,4 与 7,5 与 6,子集中的元素不能 取自同一组中的两数,即子集中的元素取自 5 个组中的一个数.而每个数的取法有 2 种,所 以子集的个数为 2×2×2×2×2=25=32. [警示] [变式训练] 3. 从 6 对老搭档运动员中选派 5 名出国参加比赛,要求被选中的运动员中任意两名都不能 是搭档,则有多少种不同的选派方式?

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例 4.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如下图).现要栽种 4 种不同颜 色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有多少种?
5 1 6 2 3 4

[剖析]由于 6 部分种 4 种共,故必有两部分或两部分以上的区域种同种颜色的花,从而从 同颜色的花进行分类。另外,本题也可以用“树支结构”解答。 [解]解法一:从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花,又从图形看知必有 2 组同颜色的花,从 同颜色的花入手分类求. (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48 种; (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有 N2=4×3×2×2×1=48 种; (3)②与④且③与⑥同色,则共有 N3=4×3×2×1=24 种. 所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120 种. 解法二:记颜色为 A、B、C、D 四色,先安排 1、2、3 有 A 3 种不同的栽法,不妨设 1、2、 4 3 已分别栽种 A、B、C,则 4、5、6 栽种方法共 5 种,由以下树状图清晰可见.
4 5 C B D C C B D C D D 6 D

根据分步乘法计数原理,不同栽种方法有 N=A 3 ×5=120. 4 [警示]解法一是常规解法,解法二安排 4、5、6 时又用了分类和列举的方法,这也是解决 排列与组合问题的一种常见方法,需要注意掌握。 [变式训练] 4.如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色. 现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?
② ① ③ ④ ⑤

例 5.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)可以组成多少个三位数? (2)可以组成多少个允许重复的三位数? (3)可以组成多少个不重复的三位奇数? (4)可以组成多少个数字不重复且小于 1000 的自然数? (5)可以组成多少个数字不重复的大于 3000 小于 5421 的四位数? [剖析] 本题是一种典型的选数与组数的问题, 与计数有关, 故考虑利用两个计数原理解决, 但需要注意的是,无论组成多少位数字,首位均不能为 0. [解] (1)分三步:①先选百位数字,由于 0 不能作为百位数,因此有 5 种不同的选法;② 十位数字有 5 种选法;③个位数字有 4 种不同的选法,由分步乘法计数原理知,所求的三位

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数共有 5 ? 5 ? 4 ? 1 0 0 个。 (2)分三步:①先选百位数字,由于 0 不能作为百位数字,因此有 5 种不同的选法; ②十 位数字有 6 种不同的选法; ③个位数字有 6 种不同的选法。 由分步乘法计原理可知所求的三 位数共有 5×6×6=180 个。 (3)分三步:①先选个位数字,由于组成的三位数是奇数,因此有 3 种不同的选法;②再 选百位数字有 4 种选法;③十位数字也有 4 种选法。由分步乘法计数原理知,所求的三位数 3×4×4=48. (4)分三类:①一位数,共有 6 个;②两位数,共有 5×5=25 个;③三位数,共有 5×5 ×4=100 个.因此,由分类加法计数原理知所求 6+25+100=131 个。 (5)分四类:①千位数为 3,4 之一时,共有 2×5×4×3=120 个;②千位数字为 5,百位数 字为 0,1,2,3 之一时,共有 4×4×3=48 个;③千位数字为 5,百位数字为 4,十位数字为 0,1 之一时,共有 2×3=6 个;④还有 5420 也满足条件,此时有 1 个.故所求的自然数共有 120 +48+6+1=175 个。 [警示] [变式训练] 5.在所有两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

例 6.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子.现将这五个 球投放入这五个盒子内, 要求每个盒子内投放一球, 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号 相同,则这样的投放方法有多少种? [剖析]五个球分别投放到五个盒子内,恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则其他三 个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内,此时,这三个球与对应的三个盒子,就成了受 限的特殊元素与特殊位置.
2 [解]先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内,有 C 5 种;剩下的三个球,

不失一般性,不妨设编号为 3,4,5,投放 3 号球的方法数为 C 12 ,则投放 4,5 号球的方法
2 只有一种,根据分步计数原理共有 C 5 ·C 12 =20 种. [警示]本题投放球有两种方法,一种是投入到与编号相同的盒子内,另一种是投入到与编 号不同的盒子内,故应分步完成. [变式训练] 6.将字母 a,a,a,b,c,d,e 排成一行,有多少种不同的排法?

[能力提升]
1.同室的四个人各写了一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则 四张贺卡不同的分配方式有( ) A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种 2.5 名应届比业生报考三所高校,每人只需报且只需报一所院校,则不同的报名方法的种 数是( ) A. 3
5

B. 5

3

C. A 5

3

D. C 5

3

3.从 1,2,3,4,7,9 中任取不同的两个数,分别作为对数的底数和真数,得到的不同的对数 值有( ) A.17 个 B.21 个 C.18 个 D.20 个 4.若 x , y ? N 且 x ? y ? 6 ,则点 ( x , y ) 的个数为(
*



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A.14 B.15 C.15 D.16 5.某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有( A.105 种 B.50 种 C.480 种 D.510 种 6. a , b 两数的两大公约数为 400,则 a , b 两数的公约数的个数是
x
2





7.椭圆

?

y

2

? 1 的焦点在 y 轴上,且 m ? {1, 2 , 3, 4 , 5} , n ? {1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7} ,则这样的

m

n

椭圆的个数有 个。 8.大小不等的四个正方体玩具,分别在其面上标有数字 1,2,3,4,5,6,则向上的面标有的 两个数字之积不小于 20 的结果有 种。 9. 以点 O 为坐标原点, A 的纵坐标为 1 或-1, | O A| 5 点 则 ? 的整数点的个数共有 个。

10. 用 5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻 (有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法? 1 3 2 11.某城市的电话号码是由 7 个数字组成, (1)最多能组成多少个七位数字的电话号码? (2)若电话号码的第一个数字不能用 0,则最多能组成多少个电话号码? 4

12.将一个四棱锥 SABCD 的每一个顶点染一种颜色,并使一条棱的端点异色,如果有 5 种 不同的颜色可供选用,则有多少种不同的染色方法?

第二讲

排列与组合

[知识梳理]
[知识盘点] 1.排列 (1)排列的定义:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素,按照一定的 列,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列。 (2)排列数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素的 从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数,用 A n 表示。
m

排成一

的个数叫做

(3)排列数公式: A n =
m

. ,叫做 n 个为同元素的一个全排列, .于是排列数公式写成阶乘的形式为

(4)全排列: n 个不同的元素全部取出的
A n ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1 ? _ _ _ _ _ _ _ _
m

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An ? _ _ _ _ _ _ _ _
m

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,这里规定 0 ! ? _ _ _ _ _ _ _ .

2.组合 (1)组合的定义:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素 同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素的一个组合。 (2)组合数:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素 不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素的组合数,用 C n 表示。
m

叫做从 n 个不

的个数,叫做从 n 个

(3)组合数的计算公式: Cn ?
m

= ____________= ___________. 由 于 (        )

An

m

所以 0 !? _ _ _ _ _ _ _ , C n ? _ _ _ _ _ _ .
0 m m (4)组合数的性质:① C n ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;② C n ? 1 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

[特别提醒] 1.排列与组合的定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。处理排列组合的综合题一般 思想是先选元素(组合) ,后排列,按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步” , 始终是处理排列组合问题的基本方法和原理,通过训练要注意积累分类与分步的基本技能; 2.复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解 题途径。 由于结果的正确性难以直接验证, 因而常常需要用不同的方法求解来获得对结果的 检验; 3.在解决排列组合的综合题蛙,必须深刻理解排列组合的概念,能够熟练确定一个问题是 排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数的计算公式和组合数的性质。 4.排列组合问题的常见解法主要有以下几种: (1)特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题除法处理的策略; (8)分排问题直排处理的策略; (9) “小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10)构造模型的策略。

[基础闯关]
1.七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的种数是( ) A.1440 B.3600 C.4820 D.4800 2.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选出 4 人承 担这三项任务,不同的选法总数有( ) A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种

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3.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台, 则不同取法共有( ) A.140 种 B.80 种 C.70 种 D.35 种 4. (2006 年湖南卷)某外商计划在 4 上侯选城市投资 3 个不同的项目,且大同一个城市投 资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 5.市内某公共汽车站有 10 个候车位(成一排) ,现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车, 则恰好有 5 个连续空座位的候车方式共有_____________种.(用数字作答) 6. (2006 年天津卷)用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复的五位数字,其中 1,2 相邻的偶数有 个(用数字作答) 。

[典例精析]
例 1.从 a , b , c , d , e 这 5 个元素中取出 4 个放在 4 个不同的格子中,且元素 b 不能放在第二 个格子里,问共有多少种不同的放法? [剖析]这里 b 是特殊元素,第二个位置是特殊位置,因此要先“照顾”特殊,再考虑“一 般”