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第一章计数原理


2008 年高三第一轮复习讲义

山东省济宁一中

贾广素编写

选修 2-3 第一章 计数原理

[课标研读]
[课标要求] 1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理; ② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 2.

排列与组合 ① 理解排列、组合的概念. ② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③ 能解决简单的实际问题. 3.二项式定理 ① 能用计数原理证明二项式定理. ② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. [命题展望] 排列、组合与概率的联系十分密切,这是解答等可能事件的概率问题的基础,是高考考 查的重要内容之一。 该部分的内容在高考试题中主要以两种方式进行考查: 一是单独命题, 一般以选择题与 填空题的形式出现;二是与概率方面的试题融合在一起进行考查。 排列、 组合在高考试题中所占的比重在算太大, 但在解答这一部分的试题时却需要具有 一定的灵活能力。应注意认真审题,根据题意分析它属于什么数学问题,题目中的事件是什 么,有无限制条件,通过怎样的程序去完成这件事件,用什么样的计算方法。有些复杂的问 题由于考生的分类不全,常常会出现重复或遗漏的错误;而又有的问题看似非常简单,却由 于思考角度不科学,导致找不到问题的突破口、解题过程繁琐或数值计算错误等,所以排列 组合综合题成为高考的一大难点。 解决这一难点的关键是掌握一些常见的解题方法, 具体的解题策略有: 特殊元素优先安 排策略;合理分类与准确分类策略;先选后排策略;正难则反、等价转化策略;相邻问题梱 绑处理策略;间隔问题插空处理策略;序问题除法处理策略;分排问题直排处理策略; “小 团体”排列问题中先整体后局部的策略;构造模型的处理策略等等。 对于二项式定理也是高考考查的重点内容, 一般以选择与填空的形式出现, 在复习的过 程中要充分认识到二项展开式的通项公式的重要性, 对于涉及到二项展开式中的某一项或某 项的系数的题目上,都需要利用通项来进行求解;对于涉及到系数的问题,可以对照二项展 开式,对 a , b 赋以特殊值,用赋值法加以解决;处理三项或多项展开式问题时,可以运用转 化思想,将其中的某些项作为一个整体,使用二项式定理处理。这样就要求我们在了解二项 式定理的推导思想的同时,掌握其蕴含的相关有数学思想及方法。

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第一讲

两个计数原理

[知识梳理]
[知识盘点] 1.分类加法计数原理 完成一件事件有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m 1 种不同的方法,在第二类方案 中有 m 2 种不同的方法,??,在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法,则完成这件事情,共有 N= 2.分步乘法计数原理 种不同的方法。

完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m 1 种不同的方法,完成第二步 有 m 2 种不同的方法,??,完成第 n 步有 m n 种不同的方法,那么完成这件事情共有
N ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 种不同的方法。

3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及 的不同方法的种数,它们的 区别在于:分类加法计数原理与 有关,各种方法 ,用其中的任一 种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理有 有关,各个步骤 ,只 有各个步骤都完成了,这件事才算完成。 [特别提醒] 分类加法计数原理是对要做的这件事情的所有方法的一个分类, 分类时, 首先要根据问 题的特点确定一个分类的标准,然后在确定的分类标准下进行分类;其次,分类时要注意满 足一个基本要求: 完成这件事的任何方法必属于其中的革一类, 并且分别属于不同两类的两 种方法都是不同的方法。只有满足这些条件,才能使用分类加法计算原理。 分步乘法计数原理是指完成这件事情的任何一种方法,都要分成 n 个步骤。分步时,首 先要根据问题的特点确定一个分步标准, 其次, 分步时还要注意满足完成一件事情必须且只 n 个步骤后才能完成,只有满足这些条件,才能使用分步乘法原理。 需连续完成这 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别在于: 分类加法计数原理中的每一种方法 都成完成这件事情;而分步乘法计数原理中的各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了, 这件事情才算完成。 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习排列组合与二项式定理和计算事件概率 的的预备知识。 在对应用题的考查中, 经常要用到分类加法计数原理或分步乘法计数原理对 问题进行分类或分步分析求解, 如何灵活运用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解决 应用题的关键。

[基础闯关]
1.某班有 26 名男生,24 名女生,从中选一位同学为数学课代表,则不同的选法有( A.50 B.26 C.24 D.616 2.4 人去借三本不同的书(全部借完) ,所有的借法的种类是( ) A. 3
4



B. 4

3

C. A 4

3

D. C 4

3

3.用 1,2,3,4,5 组成没有重复的三位数,其中偶数共有( A.24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个



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4. (2006 年山东卷)已知集合 A ? {5} , B ? {1, 2} , C ? {1, 3, 4} ,从这一个集合中各取一个 元素构成空间直角坐标系中的点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) A.33 B.34 C.35 D.36 5.在 3000 至 8000 中有 个无重复数字的奇数。 6. (2006 年河南模拟)将 3 种作物种值在如图所示的 5 块试验田里,每块种值一种作物且 相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有 。

[典例精析]
例 1.求三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数。 [剖析]该问题与计数有关,故考虑选用两个基本原理来解决,完成这件事,应注意最大边 长为 11,且两边之和小于第三边,因此可考虑对边长进行分类讨论。 [解]设较小的两边长为 x、y 且 x≤y, 则 x≤y≤11, x+y>11, x、y∈N*. 当 x=1 时,y=11; 当 x=2 时,y=10,11; 当 x=3 时,y=9,10,11; 当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11; 当 x=6 时,y=6,7,8,9,10,11; 当 x=7 时,y=7,8,9,10,11; ?? 当 x=11 时,y=11. 所以不同三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36. [警示] 分类加法计数原理是涉及完成一件事情的不同方法的计数种类, 第一类中的各咱方 法都是相互独立的, 且第一类方法中的第一种方法都可以独立地完成这件事。 解决这类问题 应从简单的分类入手进行讨论,做到不重不漏,尽可做到一题多解,从不同的角度进行思考 问题。 [变式训练] : 1.直线方程 A x ? B y ? 0 ,若从 0,1,2,3,5,7 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为 A、 B 的值,求表示的不同直线条数。

例 2. (2006 年全国 I 卷)设集合 I ? {1, 2 , 3, 4 , 5} . 选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中 的最小的数大于 A 中的最大的数,则有多少种不同的选择方法? [剖析]B 作为 I 的子集,可以是单元素集、双元素集、三元素集及四元素集,因此可以按 B 中元素的个数进行分类。

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[解]若 B 是单元素集,则可能 B ? {1} ,此时构成 A 的元素可以从余下的 4 个元素中随意 选择,任何一个元素都可能成为 A 的元素,也可能不成为 A 的元素,故 A 有 2 4 ? 1 个;依 此类推, B ? { 2} 时, 有 2 ? 1 个; B ? {3} 时, 有 2 ? 1 个; B ? { 4} 时, 有 2 ? 1 当 A 当 A 当 A
3 2

个. 若 B 为双元素集时,当 B 中的最大元素是 2 时,则 B ? {1, 2} ,A 有 2 ? 1 个;当 B 中的最
3
1 2 大数是 3 时, 则另一个元素可以在 1,2 中选择, 故有 C 2 ( 2 ? 1) 个; B 中的最大数是 4 时, 当

1 则有 C 3 ( 2 ? 1) 个;

若 B 为三元素集时,B 中的最大元素是 3,则 B ? {1, 2 , 3} ,则 A 有 2 ? 1 个;
2

若 B 为四元素集时,则 B ? {1, 2 , 3, 4} ,A={5} ,只有 1 个. 由分类加法计数原理知不同的选择方法有:
( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? C 2 ( 2 ? 1) ? C 3 ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1)
4 3 2 3 1 2 1 2

? C 3 ( 2 ? 1) ? 1 ? 4 9 种 .
2

[警示] [变式训练] 2.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观 众来信,甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一 名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?

例 3.从集合{1,2,3,?,10}中,选出由 5 个数组成的子集,使得这 5 个数中的任何两 个数的和不等于 11,这样的子集共有多少个? [剖析]解本题的关键是找出和为 11 的 5 组数,然后再用分步计数原理求解. [解]和为 11 的数共有 5 组:1 与 10,2 与 9,3 与 8,4 与 7,5 与 6,子集中的元素不能 取自同一组中的两数,即子集中的元素取自 5 个组中的一个数.而每个数的取法有 2 种,所 以子集的个数为 2×2×2×2×2=25=32. [警示] [变式训练] 3. 从 6 对老搭档运动员中选派 5 名出国参加比赛,要求被选中的运动员中任意两名都不能 是搭档,则有多少种不同的选派方式?

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例 4.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如下图).现要栽种 4 种不同颜 色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有多少种?
5 1 6 2 3 4

[剖析]由于 6 部分种 4 种共,故必有两部分或两部分以上的区域种同种颜色的花,从而从 同颜色的花进行分类。另外,本题也可以用“树支结构”解答。 [解]解法一:从题意来看 6 部分种 4 种颜色的花,又从图形看知必有 2 组同颜色的花,从 同颜色的花入手分类求. (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48 种; (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有 N2=4×3×2×2×1=48 种; (3)②与④且③与⑥同色,则共有 N3=4×3×2×1=24 种. 所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120 种. 解法二:记颜色为 A、B、C、D 四色,先安排 1、2、3 有 A 3 种不同的栽法,不妨设 1、2、 4 3 已分别栽种 A、B、C,则 4、5、6 栽种方法共 5 种,由以下树状图清晰可见.
4 5 C B D C C B D C D D 6 D

根据分步乘法计数原理,不同栽种方法有 N=A 3 ×5=120. 4 [警示]解法一是常规解法,解法二安排 4、5、6 时又用了分类和列举的方法,这也是解决 排列与组合问题的一种常见方法,需要注意掌握。 [变式训练] 4.如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色. 现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?
② ① ③ ④ ⑤

例 5.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)可以组成多少个三位数? (2)可以组成多少个允许重复的三位数? (3)可以组成多少个不重复的三位奇数? (4)可以组成多少个数字不重复且小于 1000 的自然数? (5)可以组成多少个数字不重复的大于 3000 小于 5421 的四位数? [剖析] 本题是一种典型的选数与组数的问题, 与计数有关, 故考虑利用两个计数原理解决, 但需要注意的是,无论组成多少位数字,首位均不能为 0. [解] (1)分三步:①先选百位数字,由于 0 不能作为百位数,因此有 5 种不同的选法;② 十位数字有 5 种选法;③个位数字有 4 种不同的选法,由分步乘法计数原理知,所求的三位

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数共有 5 ? 5 ? 4 ? 1 0 0 个。 (2)分三步:①先选百位数字,由于 0 不能作为百位数字,因此有 5 种不同的选法; ②十 位数字有 6 种不同的选法; ③个位数字有 6 种不同的选法。 由分步乘法计原理可知所求的三 位数共有 5×6×6=180 个。 (3)分三步:①先选个位数字,由于组成的三位数是奇数,因此有 3 种不同的选法;②再 选百位数字有 4 种选法;③十位数字也有 4 种选法。由分步乘法计数原理知,所求的三位数 3×4×4=48. (4)分三类:①一位数,共有 6 个;②两位数,共有 5×5=25 个;③三位数,共有 5×5 ×4=100 个.因此,由分类加法计数原理知所求 6+25+100=131 个。 (5)分四类:①千位数为 3,4 之一时,共有 2×5×4×3=120 个;②千位数字为 5,百位数 字为 0,1,2,3 之一时,共有 4×4×3=48 个;③千位数字为 5,百位数字为 4,十位数字为 0,1 之一时,共有 2×3=6 个;④还有 5420 也满足条件,此时有 1 个.故所求的自然数共有 120 +48+6+1=175 个。 [警示] [变式训练] 5.在所有两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

例 6.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子.现将这五个 球投放入这五个盒子内, 要求每个盒子内投放一球, 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号 相同,则这样的投放方法有多少种? [剖析]五个球分别投放到五个盒子内,恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则其他三 个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内,此时,这三个球与对应的三个盒子,就成了受 限的特殊元素与特殊位置.
2 [解]先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内,有 C 5 种;剩下的三个球,

不失一般性,不妨设编号为 3,4,5,投放 3 号球的方法数为 C 12 ,则投放 4,5 号球的方法
2 只有一种,根据分步计数原理共有 C 5 ·C 12 =20 种. [警示]本题投放球有两种方法,一种是投入到与编号相同的盒子内,另一种是投入到与编 号不同的盒子内,故应分步完成. [变式训练] 6.将字母 a,a,a,b,c,d,e 排成一行,有多少种不同的排法?

[能力提升]
1.同室的四个人各写了一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则 四张贺卡不同的分配方式有( ) A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种 2.5 名应届比业生报考三所高校,每人只需报且只需报一所院校,则不同的报名方法的种 数是( ) A. 3
5

B. 5

3

C. A 5

3

D. C 5

3

3.从 1,2,3,4,7,9 中任取不同的两个数,分别作为对数的底数和真数,得到的不同的对数 值有( ) A.17 个 B.21 个 C.18 个 D.20 个 4.若 x , y ? N 且 x ? y ? 6 ,则点 ( x , y ) 的个数为(
*



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A.14 B.15 C.15 D.16 5.某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有( A.105 种 B.50 种 C.480 种 D.510 种 6. a , b 两数的两大公约数为 400,则 a , b 两数的公约数的个数是
x
2





7.椭圆

?

y

2

? 1 的焦点在 y 轴上,且 m ? {1, 2 , 3, 4 , 5} , n ? {1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7} ,则这样的

m

n

椭圆的个数有 个。 8.大小不等的四个正方体玩具,分别在其面上标有数字 1,2,3,4,5,6,则向上的面标有的 两个数字之积不小于 20 的结果有 种。 9. 以点 O 为坐标原点, A 的纵坐标为 1 或-1, | O A| 5 点 则 ? 的整数点的个数共有 个。

10. 用 5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻 (有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法? 1 3 2 11.某城市的电话号码是由 7 个数字组成, (1)最多能组成多少个七位数字的电话号码? (2)若电话号码的第一个数字不能用 0,则最多能组成多少个电话号码? 4

12.将一个四棱锥 SABCD 的每一个顶点染一种颜色,并使一条棱的端点异色,如果有 5 种 不同的颜色可供选用,则有多少种不同的染色方法?

第二讲

排列与组合

[知识梳理]
[知识盘点] 1.排列 (1)排列的定义:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素,按照一定的 列,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列。 (2)排列数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素的 从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数,用 A n 表示。
m

排成一

的个数叫做

(3)排列数公式: A n =
m

. ,叫做 n 个为同元素的一个全排列, .于是排列数公式写成阶乘的形式为

(4)全排列: n 个不同的元素全部取出的
A n ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1 ? _ _ _ _ _ _ _ _
m

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An ? _ _ _ _ _ _ _ _
m

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,这里规定 0 ! ? _ _ _ _ _ _ _ .

2.组合 (1)组合的定义:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素 同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素的一个组合。 (2)组合数:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素 不同的元素中取出 m ( m ? n ) 个元素的组合数,用 C n 表示。
m

叫做从 n 个不

的个数,叫做从 n 个

(3)组合数的计算公式: Cn ?
m

= ____________= ___________. 由 于 (        )

An

m

所以 0 !? _ _ _ _ _ _ _ , C n ? _ _ _ _ _ _ .
0 m m (4)组合数的性质:① C n ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;② C n ? 1 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

[特别提醒] 1.排列与组合的定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。处理排列组合的综合题一般 思想是先选元素(组合) ,后排列,按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步” , 始终是处理排列组合问题的基本方法和原理,通过训练要注意积累分类与分步的基本技能; 2.复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解 题途径。 由于结果的正确性难以直接验证, 因而常常需要用不同的方法求解来获得对结果的 检验; 3.在解决排列组合的综合题蛙,必须深刻理解排列组合的概念,能够熟练确定一个问题是 排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数的计算公式和组合数的性质。 4.排列组合问题的常见解法主要有以下几种: (1)特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题除法处理的策略; (8)分排问题直排处理的策略; (9) “小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10)构造模型的策略。

[基础闯关]
1.七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的种数是( ) A.1440 B.3600 C.4820 D.4800 2.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选出 4 人承 担这三项任务,不同的选法总数有( ) A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种

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3.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台, 则不同取法共有( ) A.140 种 B.80 种 C.70 种 D.35 种 4. (2006 年湖南卷)某外商计划在 4 上侯选城市投资 3 个不同的项目,且大同一个城市投 资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 5.市内某公共汽车站有 10 个候车位(成一排) ,现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车, 则恰好有 5 个连续空座位的候车方式共有_____________种.(用数字作答) 6. (2006 年天津卷)用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复的五位数字,其中 1,2 相邻的偶数有 个(用数字作答) 。

[典例精析]
例 1.从 a , b , c , d , e 这 5 个元素中取出 4 个放在 4 个不同的格子中,且元素 b 不能放在第二 个格子里,问共有多少种不同的放法? [剖析]这里 b 是特殊元素,第二个位置是特殊位置,因此要先“照顾”特殊,再考虑“一 般” ;也可以从问题的反面出发,将 b 元素放在第二格子中的放法减去,也可以得到问题的 解答。 [解]解法一: (元素分析法)这里 b 是特殊元素,应先排 b ,但考虑到取出的 4 个元素中 可能有 b 也可能没有 b ,因此对此问题应该分为两类: 第一类:若取出的 4 个元素中有 b ,则排 b 有 A 3 种排法;再从 a , b , c , e 中取出 3 个,排在另
1 3 1 3 外的三个格子中,有 A 4 种,所以此类的排法总数为 A 3 ? A 4 种;

第二类:若取出的 4 个元素中没有 b ,则有 A 4 种排法;
4 1 3 4 所以共有 A 3 ? A 4 + A 4 =96 种不同的排法。

解法二: (位置分析法)由于第二个格为特殊位置,应先排第二格,有 A 4 种(从 a , c , d , e 这
1 3 1 3 四个元素中取 1 个) ,再排另外的 3 个元素,有 A 4 种不同的排法,所以共有 A 4 ? A 4 ? 9 6 种

不同的排法。 解法三:从 5 个元素中取出 4 个的排列数是 A 5 ,其中 b 在第二个格子里时的排法有 A 4 种排
4 3 4 3 法,所以满足条件的排法有 A 5 ? A 4 ? 9 6 种。

[警示]对于存在特殊元素的排列组合问题,我们可双从这些特殊元素入手,先满足特殊元 素或特殊位置的要求,再去满足其它元素或位置的要求,这种解法叫特殊元素优先法。 [变式训练] : 1.乒乓球队中有 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名队员参加比赛,其中 3 名主力队员要 安排在第一、三、五位置,其余的 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安

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排共有多少种?

例 2.某天某班的课程安排要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程,根据课 程特点,第一节不能排体育,第六节不能排数学,那么一共有多少种不同的排法? [剖析]将六门课程看作是元素,把节次看作是位置,因此这个问题中可以把第一节与第六 节看作是特殊位置, 也可以将体育与数学看作是特殊元素, 从而可采用两种不同的方法加以 解决。 [解]解法一(位置分析法)依第一节课的排法进行分类: 第一节排数学,第六节排体育的排法有 A 4 种;
4 1 4 第一节排数学,第六节不排体育的排法有 A 4 ? A 4 种;

1 4 第一节不排数学,第六节排体育的排法有 A 4 ? A 4 种;

2 4 第一节和第六节都不排数学和体育的排法有 A 4 ? A 4 种。

4 1 4 2 4 由分类加法计数原理,所求的不同的排法为: A 4 +2 A 4 ? A 4 + A 4 ? A 4 =504 种。

解法二:依数学课的排法进行分类: 因为数学排在第一节,体育排在第六节的排法有有 A 4 种;
4 1 4 数学排在第一节,体育不排在第六节的排法有 A 4 ? A 4 种;

1 4 数学不排在第一节,体育排在第六节的排法有 A 4 ? A 4 种;

2 4 数学、体育都在排在第一节和第六节的排法有 A 4 ? A 4 种。

4 1 4 2 4 由分类加法计数原理,所求的不同的排法为: A 4 +2 A 4 ? A 4 + A 4 ? A 4 =504 种。

[警示]对于较为复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种产同的情况进行合理 的分类与准确的分步,以使有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏的现象发生。 [变式训练] 2.2008 年北京奥运会即将开幕,若在奥运会田径比赛中,某一代表队从 6 名运动员中选出 4 人参加 4 ? 1 0 0 米接力赛,其中甲不愿跑第一棒,乙不愿跑第四棒,则有多少种不同的参 赛方案?

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例 3.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数 (1)能组成多少个六位数? (2)能组成多少个六位奇数? (3)能组成多少个能被 5 整除的六位数? (4)能组成多少个比 240135 大的数? [剖析]应注意到 0 这一特殊元素,这不能排在首位这一特殊位置,在解答过程中,以位置 优先,较容易解决,但若以特殊元素为主,也可以解决。这类问题还注意排成的数字是不允 许有重复数字的。 [解] (1)第一位数字不能为 0,有 A 5 种方法,其它各位数字有 A 5 种不同的排法,故共能
1 5 1 5 组成的六位数有 A 5 ? A 5 ? 6 0 0 个。

(2)要使六位数为奇数,其个位数字必须是 1 或 3 或 5 中的一个,且第一位数字不能为 0,
1 1 4 故所求的六位奇数的个数为 A 3 ? A 4 ? A 4 ? 2 8 8 个。

(3)要使六位数能被 5 整除,其个位数字必须为 5 或 0.当个位数字是 0 时,有 A 5 个;当个
5

位数字是 5 时,有 4 A 4 个,因此能被 5 整除的六位数的个数为 A 5 + 4 A 4 =216 个。
4 5 4

(4)要比 240135 大,首先必须是六位数,有以下几类情况: 首位数字是 3 或 4 或 5 时,各有 A 5 个;
5
4 首位数字是 2 时,第二位数字是 4 或 5,但不包含 240135 在内,有 2 4 ? 1 个;

5 4 因紫共有比 240135 大的数的个数为 3 A 5 + 2 4 ? 1 =407 个。

[警示]排数字问题是排列组合问题中最常见的一类题型,这类问题应把握住在排数字时, 如首位和未位等这些特殊位置,如 0、5、奇数、偶数等这些特殊元素,需要认真地分析题 意,分清主次,选择其一作为主线。 [变式训练] 3. 从 1,3,5,7 中任取 2 个数,从 0,2,4,6,8 作取 2 个数字,组成没有重复数字四位数,其中能 被 5 整除的四位数字共有多少个?

例 4.4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中,现从中取出 4 个球: (1)若取出的球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法? (2)取出一个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,若取出 4 个球总分不小于 5 分,则有多 少种不同的取法? [剖析] 由于取出的 4 个球中红球的个数不少于白球的个数, (1) 因此至少要取出 2 个红球, 可分为三类:①全部取出红球;②取出 3 个红球;③取出 2 个红球,可用搭配法进行求解。 [解] (1)依题意可知,取出的 4 个球中至少有 2 个红球,可分为三类:
4 3 1 ①全取出红球,有 C 4 种不同的取法;②取出的 4 个球中有 3 个红球 1 个白球,有 C 4 ? C 6 种

2 2 取法;③取出的 4 个球中有 2 个红球 2 个白球的取法有 C 4 ? C 6 种不同的取法,

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4 3 1 2 2 由分类加法计数原理知,共有 C 4 + C 4 ? C 6 + C 4 ? C 6 =115 种不同的取法。

(2)依题意中知,取出的 4 个球中至少要有 1 个红球,从红白 10 个球中取出 4 个球的取法 有 C 1 0 种不同的取法, 而全是白球的取法有 C 6 种, 从而满足题意的取法有:C 1 0 - C 6 =195.
4

4

4

4

[警示]在解决某些问题时,直接法往往不能奏效,需要利用间接法去求解,即把问题中不 符合题意要求的情况求出来, 从总数减去即可得到所要求解的结果。 直接法与间接法在使用 时要根据题目的特点进行恰当地选择,在直接法不便解题时,应考虑使用间接法。 [变式训练] 4.以三棱柱的顶点为顶点共可以组成多少个不同的三棱锥?

例 5.某运输公司有 7 个车队,每个车队的车均多于 4 辆,现从这个公司中抽调出 10 辆车, 并且每个车队中至少抽取 1 辆车,那么共有多少种不同的抽调方式? [剖析]要抽取 7 辆车,可以看作是将 7 个抽取名额分配到 7 个车队中去,每个车队至少有 一个名额,从而可想到分类,也可以使用挡板法。 [解]解法一:在每个车队抽调 1 辆车的基础上,还需抽调 3 辆车,可分为三类:从第一个 车队中抽调,有 C 7 种;从两个车队中抽调,一个车队中抽 1 辆,另一个车队中抽 2 辆,有
1

C 7 ? 4 2 种;从三全车队中抽调,每个车队中抽调 1 辆,有 C 7 ? 3 5 种。故由分类加法计数
2
3

原理知,共有 7 ? 4 2 ? 3 5 ? 8 4 种抽调方法。 解法二: (档板法)由于每个车队的车均多于 4 辆,只需将 10 个份额分成 7 份.可将 10 个元 素排成一排,在相互之间的 9 个空档(除去两端)中插入 6 个档板,即可将元素纷成了 7
6 份,因而有 C 9 ? 8 4 种抽调方法。

[警示]指标分配问题是指 n 个相同的元素分配给 m 个不同的单位( n ? m ) ,每个单位至 少分配一个元素。该问题常用档板法来解决,在元素的个数不是太多时,有时也可以用分类 法来解决(如本例) 。在有些问题中,有时还需要分析,把相似的其它问题转化为档板问题, 比如求方程 a ? b ? c ? 1 0 有多少组不同的正整数解,就相当于当 10 个相同的糖果分给 3 个 小朋友,每位小朋友至少一个,有多少种不同的排法。 [变式训练] 5.将组成篮球队的 10 个名额分配给 7 个学校,每个学校至少 1 个名额,问名额的分配方式 共有多少种情况?

例 6.有 10 只不同的试验产品,其中 4 只是次品,6 只是正品。现每次取 1 只进行测试,直 到 4 只次品全部测出为止, 求最后 1 只次品恰好在第五次测试时被发现的不同的情形有多少 种? [剖析]本题的实质是前五次测试中有 1 只是正品,4 只正品,且第五次测试的是次品。 [解]解法一:设想有 5 个位置,先从 6 只正品中任选 1 只,放在前四个位置的任一个上, 有 C 6 C 4 种方法;再把 4 只次品在剩余的四个位置上任意排列,有 A 4 种排法,故不同的情
1 1 4
1 1 4 形有 C 6 C 4 A 4 ? 5 7 6 种。

解法二:设想有 5 个位置,先从 4 只次品中任选 1 只,放在第五个位置上,有 C 4 种方法;
1

再从 6 只正品中任选 1 只,和剩下的 3 只次品一起在前四个位置上任意排列,有 C 6 A 4 种方
1 4
1 1 4 法。故不同的情形共有 C 4 C 6 A 4 ? 5 7 6 种。

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[警示]排列组合问题从解法看,大致有以下几种: (1)有附加条件的排列组合问题,大多 需要分类讨论的方法,注意分类时应不重不漏; (2)排列与组合的混合型问题,用分类加法 或分步乘法计数原理解决; (3)元素相邻,可以看作是一个整体的方法; (4)元素不相邻, 可以利用插空法; (5)间接法,把不符合条件的排列与组合剔除掉; (6)穷举法,把不符合 条件的所有排列或组合一一写出来。 [变式训练] 6.在一次象棋比赛中,进行单循环比赛。基中有 2 人,他们各赛了 3 场后,因故退出了比 赛,这样,这次比赛其进行了 83 场,那么在比赛刚开始时,参加比赛的人数是多少?

[能力提升]
1. (2006 年天津卷)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得 放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 2. (2007 年广东深圳)5 人站成一排,甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法的种数 ( ) A. 18 B.24 C. 36 D. 48 3.以一个正方体顶点为顶点的四面体共有( ) A.70 个 B.64 个 C.58 个 D.52 个 4.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选出 4 人承 担这三项任务,不同的选法总数有( ) A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种 5. (2006 年全国 II 卷)5 名志愿者分到 3 所学校支教,要求每所学校至少有 1 名志愿者, 则不同的分法有( ) A.150 种 B.180 种 C.200 种 D.280 种 6.为配制某种染色剂,需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂,其中有机染 料的添加顺序不可以相邻。 现研究试验所有的不同添加顺序对染色效果的影 B 响,总共要试验的次数为 (用数字作答) 7.如图,A、B、C、D 为海中的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连 A 接起来,不同的建桥方案共有 种。 8.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(1,1) 、B(-2,-2) 、C(3,5) 、 D C D(-1,1) 、E(1,-1) 、O(0,0) ,则过这 6 个点可以组成的不同的三角 形的个数为 9. (2006 年江苏卷)今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球 排成一列有 种不同的方法(用数字作答) 。 10.在一张节目表上原有 6 个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节 目,求共有多少种安排方法?

11.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,则不同的取法共有多 少种?

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12. 某种产品有 5 件不同的正品,4 件不同的次品,现在一件件地进行检测,直到 4 件次品 全部测出为止,则最后一件次品恰好在第 6 次检测时被测出,这样的检测方案有多少种?

第三讲

二项式定理

[知识梳理]
[知识盘点] 1.二项式定理
(a ? b )
n

? Cna
0

n

? C na
1

n ?1

b ? Cna
2

n?2

b ?? ? Cna
2 r

n?r

b ?? ? Cn
r

n ?1

ab

n ?1

? C n b (n ? N ).
n n *



个公式所表示的定理叫做二项式定理。 2.几个基本概念 (1)二项展开式:右边的多项式叫做 ( a ? b ) 的二项展开式;
n

(2)项数:二项展开式中共有 项。 (3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数 式系数; (4)通项:在二项展开式中的 开式的第 r ? 1 项: T r ? 1 = .
n

(r ?

)叫做二项

叫做二项式的通项,用 T r ? 1 表示,即通项为展

3. 在二项式定理中, 如果设 a ? 1, b ? x , 得公式 (1 ? x ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 若 a ? 1, b ? ? x , 则得公式 (1 ? x ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
n

4.二项式系数组成的杨辉三角:
1 1 1 1 1 1 1 6 5 15 ? 4 10 20 ? ? 3 6 10 15 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 第 0行 第1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行

其规律是: 表中每行两端都是 1, 而且除 1 以外的每个数都等于它肩上的两个数的 事实上,设表中任一不为 1 的数为 C n + 1 ,那么它肩上的两个数分别为
r 由组合数的性质可知: C n ? 1 ? _ _ _ _ _ _ ? _ _ _ _ _ _ _ .

. ,

r



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5.二项式系数的性质 (1)对称性:与首未两端

的两个二项式系数相等。
n

(2)增减性与最大值:当 n 为偶数时,中间的一项二项式系数 C n2 取得最大值;当 n 为奇数 时,中间的两项的二项式系数 (3)各二项式系数和:
n 0 1 2 ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ____________



相等,且同时取得最大值。

偶 0 2 4 ? ,C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ____________ ,

奇 1 3 5 ? C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ____________ .

[特别提醒]
r n? r r n n 1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式 T r ? 1 ? C n a b ,注意 ( a ? b ) 与 ( b ? a ) 虽然

相同,但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的,所以我们一定要注意顺序问题。另外 二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只是指 C n ,而后
r

者是指字母外的部分。
r n?r r 2.在使用通项公式 T r ? 1 ? C n a b 时,要注意:

(1)通项公式是表示第 r+1 项,而不是第 r 项. (2)展开式中第 r+1 项的二项式系数 C n 与第 r+1 项的系数不同.
r

(3)通项公式中含有 a,b,n,r,T r ? 1 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出 第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几 个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程(或方程组).这里必 须注意 n 是正整数,r 是非负整数且 r≤n. 3.对于二项式的问题,应注意以下几点: (1)求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法” ,通常令字母变量等于 1; (2)关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”――构造函数或构造同一问题的两种算法; (3)有些三项展开式的问题也可以通过变形变成二项式问题加以解决;有时也可以通过组 合解决,但要注意分类清楚,不重不漏; (4)对于二项式的系数,首先要熟记二项式系数的性质,其次应掌握赋值法,赋值法是解 决二项式问题的一个重要方法。 (5)利用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式形式再展开,常 采用“凑配法” “消去法”配合整除的有关性质来解决。

[基础闯关]
1.已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+?+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|等于( ) A.29 B.49 C.39 D.1 2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有 20 个灯泡,只要有一只灯泡坏了,整串灯泡就不 亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( ) 19 20 A.20 B.2 C.2 D.220-1 3.已知(x-
a x

)8 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和

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是( A.28

) B.38
1
4 1 n 2 3 n

C.1 或 38
4

D.1 或 28 ) D.14 .

4.满足关系式 · <C 10
2

? C n ? C n ? ? C n < 10 的正数 n 是(

A.11 B.12 5. (2007 年广东深圳外国语学校) ( x 6.若(x3+
x 1 x

? 1 ) ( 2 x ? 1 ) 展开式中
5

C.13 2 x 系数为

)n 的展开式中的常数项为 84,则 n=_____________.

[典例精析]
例 1.求 (
x 2 ? 1 x ? 2 ) 的展开式中整理后的常数项。
5

[剖析]三项式展开问题,须转化成二项展开式问题,再利用二项式定理解决。 [解] ( ?
2 x 1 x ? 2 ) ? [(
5

x 2

?

1 x

)?

2 ] ? C5 (
5 0

x 2

?
5

1 x

) ? C5(
5 1

x 2

?

1 x

) ?( 2 ) ? C5 (
4 1 2

x 2

?

1 x

) ?( 2)
3

2

?C5 (
3

x 2

?

1 x

) ?(
2

2 ) ? C5 (
3 4

x 2

?

1 x

) ?(
1

2 ) ? C5 (
4

2) ,
5

在上述二项展开式中, 第二项、 第四项、 第六项展开并整理后含有常数项, ( 故 的展开式中整理后的常数项为:
C 5C 4 (
1 2

x 2

?

1 x

?

2)

5

x 2

) (

2

1 x

) (

2

2 ) ? C5C2(
1 3 1

x 2

) (

1

1 x

) (

1

2 ) ? C5 (
3 5

2) ?
5

63 2

2.

[警示]在处理三项式展开式问题时,常常通过分组的方法,将问题转换成二项式定理的问 题,再加以解决。另外本题还有一种解题思路, ( 还可以这样得出,即在五个 (
x 2 ? 1 x
1 1

x 2

?

1 x

?

2 ) 的展开式中整理后的常数项
5

?

2 ) 相乘时,分三种情况得到常数项:一类是五个中, x
2

其中一个取常数项,剩下的四个各取两个,得 C 5 C 2 ( ) ( ) ( 2 ) ;一类是五个中,其余
2 1

1

2

x

的三个取常数项,剩下的两个中各取一个,得 C 5 C 2 ( ) ( ) ( 2 ) ;一类是五个中都取常
3 1 1 1 3

x

1

2

x

数项,得 C 53 ( 2 ) 5 . 这种方法要求同学们要深刻理解二项式定理的意义,在做小题时,若使 用这种方法解题,可节约时间。 [变式训练] : 1.求式子(|x|+
1 |x|

-2)3 的展开式中的常数项.

例 2.如果在(

x

+
2

1
4

)n 的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.
x

[剖析]分别求出其前三项的系数,利用系数成等差数列,再求 n 的值,以确定二项式的形

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式,利用二项式定理进行求解。 [解]展开式中前三项的系数分别为 1, 由题意得 2×
n 2 n 2



n ( n ? 1) 8



=1+

n ( n ? 1) 8

,得 n=8.
1 2
r
16 ? 3 r

r 设第 r+1 项为有理项,T r ? 1 =C 8 ·

·x

4

,则 r 是 4 的倍数,所以 r=0,4,8.

有理项为 T1=x4,T5=

35 8

x,T9=

1 256 x
2

.

[警示]求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式,用待定系数法确定 r. [变式训练] 2.在二项式(
x

+
2

1
4

)n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项.
x

2 2n n 例 3.已知 ( 3 x ? x ) 的展开式的二项式系数和比 ( 3 x ? 1) 的展开式的二项式系数和大

992,求在 ( 2 x ?

1 x

)

2n

的展开式中,

(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项。 [剖析]首先根据题设条件解出 n 的值,再根据题设条件进行求解。 [解]由题意 2 (1) ( 2 x ?
1 x T 6 ? T5 ?1 ? C 1 0 ( 2 x ) ( ?
5 5
2n

?2

n

? 9 9 2 ,解得 n ? 5 .

)

10

的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即
1 x
r 10 ? r

) ? ?8064.
5

(2)设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,则 T r ? 1 ? C 1 0 ( 2 x )
r 10 ? r r ?1 10 ? r ?1

(?

1 x

) ? ( ? 1) C 1 0 2
r r r

10 ? r

x

10 ? 2 r

? C 10 2 ? C ? 2 C 10 ? C 10 2 ? 11 ? r ? 2r ,得 ? 1 0 r ,即 ? , ? ? r 10 ? r r ?1 1 0 ? r ?1 r ?1 ? C 10 2 ? 2 ( r ? 1) ? 1 0 ? r ? C 10 2 ? 2 C 10 ? C 10
r

r ?1

?

8 3

? r ?

11 3

, ? r ? 3 ,故系数最的绝对值最大的是第 4 项。

[警示] 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负, 当然还须考虑二项式系数与展 开式某项的系数之间的差异: 二项式系数只与二项式的指数和项数有关, 与二项式系数无关, 而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关,还与二项式有关。 [变式训练] 3. 在二项式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的展开式里最大 系数项恰是常数项. (1)求它是第几项;

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(2)求

a b

的范围.
n

1 ? ? 例 4.若 ? x ? ? 2 ? 的展开式的常数项为-20,求 n。 x ? ?

[剖析] 本题中 x ? 0 , 当 x ? 0 时 , 把 三 项 式 ? x ?
?
1 ? x ? 0 时 , 同 理 ? x ? ? 2 ? ? ( ? 1) n ? ? ? ?x ? ? x ? ?
n

?

1

? ? 2? x ?

n

,转 化 为 ? x ? ?
?

1

? ? ? 2? ? ? x ? ?

n

x ?

1 ? ? x ?

2n



1

? ? ?x ?

2n

,然后运用通项公式写出通项,令含 x 的幂

指数为零即可。 [ 解 ] 当
x ? 0


r

1 ? ? ? 2? ?x ? x ? ?

n

? ? ? ? ?

x ?

1 ? ? ? x ?

2n











T r ?1 ? C 2 n (

x)

2n?r

? ?? ? ?

1 ? ? ? x ?

? ( ? 1) C 2 n
r

(

x)

2n?2r

, 令 2 n ? 2 r ? 0 , 得 n ? r ,? 展开式的常数项为
n



? 1) C 2 n ;
n n

1 ? ? 当 x ? 0 时? x ? ? 2 ? x ? ?

? ? ? ? ?

? x ?

? ? ? ? x ? 1

2n
n n ,同理可知,展开式的常数项为 ( ? 1 ) C 2 n 。

n n 无论哪一种情况,常数项均为 ( ? 1 ) C 2 n 。 n n 令 ( ? 1 ) C 2 n =-20,以 n =1,2,3,?逐个代入,得 n = 3

[警示] [变式训练] 4.已知(x lg x +1)n 展开式中,末三项的二项式系数和等于 22,二项式系数最大项为 20000, 求 x 的值.

例 5.若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11. 求: (1)a1+a2+a3+?+a11; (2)a0+a2+a4+?+a10.
n 2 [剖析] 一般而言, f ( x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x , 若 则展开式各项的系数之和为 f (1) ,

奇 数 项 的 系 数 和 为 a0 ? a2 ? a4 ? ? ?
a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? f (1) ? f ( ? 1) 2

f (1) ? f ( ? 1) 2

; 偶 数 项 系 数 之 和 为

。因此对于本题而言,宜采用赋值法加以解决。

[解] (1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11.令 x=1,得 (1) a0+a1+a2+?+a11=-26, 又 a0=1,所以 a1+a2+?+a11=-26-1=-65. (2)再令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+?-a11=0. ①+②得 a0+a2+?+a10=
1 2

① ②

(-26+0)=-32.

[警示]二项式定理给出的是一个等式,对于 a , b 的一切值都成立。因此可将 a , b 设为一些

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常见值,即“赋值法” 。对于 a , b 赋以一些特定的值,是解决二项式问题的一种重要的思想 方法,必须加以重视,在使用赋值法时,令 a , b 等于多少,应就具体问题而定,有时可以取 “1” ,有时取“-1”也有时取其它值。 [变式训练]
2 n 2 2n 5.设 (1 ? x ? x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a 2 n x ,求 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 2 n ? 1 的值。

1? ? 例 6.求证: 2 ? ? 1 ? ? n? ?
n

n

? 3 ?n ? 2 ?

1 ? ? [剖析]将 ? 1 ? ? 按二项式定理展开,适当利用放缩法进行证明。 n ? ?

[证明]? 当 n ? 2 时,
1? ? ?1 ? ? n? ?
n

? Cn ? Cn ?
0 1

1 n

? Cn ?(
2

1 n

)

2

?? ? Cn (
n

1 n

)

n

? Cn ? Cn ?
0 1

1 n

? 2。

1? ? 又? ? 1 ? ? n? ?

n

? Cn ? Cn ?
0 1

1 n

? Cn ?(
2

1 n

)

2

?? ? Cn (
n

1 n

)

n

=2 ?
1? ? ? 不等式 2 ? ? 1 ? ? n? ?

1 2!
n

(1 ?

1 n

)?

1 3!

(1 ?

1 n

)( 1 ?

2 n

)?? ? 3

? 3 ? n ? 2 ? 成立。

[警示]有些不等式可应用二项式定理,结合放缩法证明,即把二项展开式中的某些正项适 当删去(缩小) ,或把某些负项删去(放大) ,使等式转化为不等式,然后再根据不等式的传 递性进行证明。 [变式训练]
0 1 2 6.求满足不等式 C n ? C n ? 2 C n ? ? ? nC n n

? 500

的最大整数 n

[能力提升]
1. 3- (2x A.14
5

1 x

)7 的展开式中常数项是( B.-14

) C.42 D.-42 )

2.若 (1 ? 2 x ) 的展开式中,第 2 项小于第 1 项且不小于第 3 项,则 x 的取值范围是(
1 10
n

A. x < ?

B. ?

1 10

<x ? 0

C. ?

1 4

? x< ?

1 10

D. ?

1 4

? x ? 0

1 ? ? 3. ? 2 x 3 ? 2 ? ( x ? N *) 的展开式中,若存在常数项,则 n 的最小值是 x ? ?





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A.3
13

B.5

C.8 ) C.第八项
n 4

D.10

4. (1 ? x ) 的展开式中系数最小的项是( A.第六项 5.满足关系式 · <C 10
2 1
4 1 n

B.第七项
2 3

D.第九项 ) D.14

? C n ? C n ? ? C n < 10 的正数 n 是(

A.11
3

B.12
? 1 3

C.13

6. (x 2 +x 已知

n ) 的展开式中各项系数的和是 128, 则展开式中 x5 的系数是_____________.

(以数字作答)
n 7.在 (1 ? x ) 的展开式中,奇数项之和为 p ,偶数项之和为 q ,则 (1 ? x ) = 2 n

4 4 3 2 8. ( 2 x ? 1 ) ? a 0 x ? a 1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 , ? a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 = 若 则



9.若(x+1)n=xn+?+ax3+bx2+cx+1(n∈N*) ,且 a∶b=3∶1,那么 n=_____________.
4 10.求 (1 ? x ? x )(1 ? x ) 的展开式中 x 项的系数。
2 10

11. 求(a-2b-3c)10 的展开式中含 a3b4c3 项的系数.

? 3 ? 12. 已知 ? ? ? a ? 3 ? 求? ? ? a
n

3

? ? 3 a ? 的展开式的各项系数之和等于 ? 4 ? b ? ? ? ? ?

n

1

? ? 展开式中的常数项, ? 5b ?

5

3

? 1 a ? 展开式中含 的项的二项式系数。 ? a ?

第四讲

排列、组合与二项式定理综合题
[知识梳理]

[知识盘点] 解排列组合应用题的具体途径 在解决一个实际问题的过程中,常常遇到排列、组合综合性问题。而解决问题的第一步是审 题,只有认真审题,才能把握问题的实质,分清是排列问题还是组合问题,还是综合问题, 分清分类与分步的标准和方式,并且要遵循两个原则 1. ;2. 具体来说,解排列组合应用题,通常有到下几种途径: (1)以 为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其它元素; (2)以 为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其它位置;

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(3)先不考虑附加条件,计算出 或 ,再减去不附合要求的排列组合数。 [特别提醒] 解排列与组合应用题常用的方法有:直接计算法与间接计算法;分类法与分步法;元素分析 法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种. 经常运用的数学思想是:①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.

[基础闯关]
1.动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8) ,要使行驶的路程最小,有多少种走 法( ) A.5503 B.2007 C.3003 D.4003 2.一个楼梯共 10 级台阶,每步走 1 级或 2 级,8 步走完,一共有多少种走法( ) A.45 B.17 C.36 D.28 3. 1, 5,x 四个数字组成四位数, 用 4, 所有这些四位数中的数字的总和为 288, x = 则 ( ) A.0 B.2 C.0 或 2 D.无解 4.8 个人站成一排,其中 A 与 B、A 与 C 都不能站在一起,一共有( )种排法。 A.21600 B.22800 C.63000 D.32001 5.100 件产品中有 3 件是次品,其余都是正品。现在从中取出 5 件产品,其中含有次品, 有 种取法(用数字作答) 。 6.n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果。

[典例精析]
例 1.二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选 取 3 个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条? [剖析]原点在抛物线的内部,只需 af(0)<0,因此本题就是求满足 af(0)=ac<0 的抛物线 的条数。 [解]由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部 ? f(0)=c<0;a<0,开口向下,原 点在内部 ? f(0)=c>0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲, 原点在其内部 ? af(0)=ac<0, 则确定抛物线时,可先定一正一负的 a 和 c,再确定 b,故满足题设的抛物线共有 C 13 C 14 A 2 A 16 =144 条. 2 [警示] 解决与几何有关排列组合问题, 要注意根据几何特征将已知条件的元素分类或分步, 要注意选择恰当的分类或分步方法,以便于确定分类或分步标准。 [变式训练] : 1.用五种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,每部分涂一色,相邻部分涂不 同色,则涂色的方法共有几种?

例 2.甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一、乙不值周六,则 可排出不同的值班表数为多少? [剖析]由于甲不值周一、乙不值周六,因此可将甲、乙看作是两个特殊元素,先满足甲乙

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的要求,再考虑丙,因此就找到了分类标准。
2 [解] :每人随意值两天,共有 C 6 C 2 C 2 个;甲必值周一,有 C 15 C 2 C 2 个;乙必值周六, 4 2 4 2

有 C 15 C 2 C 2 个;甲必值周一且乙必值周六,有 C 14 C 13 C 2 个.所以每人值两天,且甲必不值 4 2 2
2 周一、乙必不值周六的值班表数,有 N=C 6 C 2 C 2 -2C 15 C 2 C 2 + C 14 C 13 C 2 =90-2×5× 4 2 4 2 2

6+12=42 个. [警示]在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. [变式训练] 2.某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,有 5 次出牌机 会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?

例 3.20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于 它的编号数,求不同的放法种数. [剖析]由于要求每个盒内的球数不小于它的编号数,因此可以先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小球,这样就保证了每个盒内的球数不小于它的编号数,以下本题就转化成 了将 14 个小球放入 3 个盒子中去的方法数有多少的问题。 [解] 首先按每个盒子的编号放入 1 个、 个、 个小球, 2 3 然后将剩余的 14 个小球排成一排, 如图,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有 15 个空档,其中“O”表示小球, “|”表示空档. 将求小球装入盒中的方案数,可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数.对应关系是:以 插入两个空档的小盒之间的“O”个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档 可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒,最右侧空档必插入小盒,于是,若
2 有两个小盒插入最左侧空档,有 C 3 种;若恰有一个小盒插入最左侧空档,有 C 13 C 13 种;若

2 2 没有小盒插入最左侧空档,有 C 13 种.由加法原理,有 N= C 3

? C 3 C 13 ? C 13

1

1

2

=120 种排列方案,

即有 120 种放法. [警示]对于较为困难的题目,可以联想我们已经掌握的模型,将其转化为已知模型进行求 解。 [变式训练] 3. 有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻.

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(5)全体排成一行,男生不能排在一起. (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变. (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人. (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人.

例 4.求 ? 3 . 002

6 ? 的近似值(精确到 0.001)

[剖析]将 ? 3 . 002

6 ? 写成 ( 3 ? 0 .0 0 2 ) 的形式,按二项式定理展开即得。
6

[解]原式=(3+0.002) = 3 ? 6 ? 3 ? 0 . 002 ? 15 ? 3 ? 0 . 002
? 729 ? 2 . 916 ? 0 . 00486 ? 731 . 92086 ? 731 . 921

6

6

5

4

2

? 20 ? 3 ? 0 . 002

3

3

??

[警示] 解决此类问题要注意题目要结果精确到什么或保留几位有效数字, 以便考虑最后一 项的取舍,一般要四舍五入。求数的 n 次幂的近似值 时,把底数化为最靠近它的那个整数 加一个小数(或减一个小数)的形式。 [变式训练] 4.用二项式定理计算 9.985,精确到 1 的近似值为

例 5.利用二项式定理证明:当 n ? N ? 时, 3 [剖析]由于 64 是 8 ,因此要证 3
2

2n?2

? 8 n ? 9 能被 64 整除。
2n?2

2n?2

? 8 n ? 9 能被 64 整除,只需将 3

? 8 n ? 9 写成

8 与某个整数的乘积即可。
2

[解]证明: 3
? 8
n ?1

2n?2

? 8n ? 9 ? 9
n 2

n ?1

? 8 n ? 9 ? ( 8 ? 1)
? ? ? C n ?1 ? 8
2 3 n ?1 2

n ?1

? 8n ? 9
n

? C n ?1 ? 8
1 n ?1

? C n ?1 ? 8
1 n?2

n ?1

? C n ?1 ? 8 ? 1 ? 8 n ? 9
n ?1 n ?1

? 8

2

? (8

? C n ?1 ? 8
n?2

? C n ?1 ? 8
3

?? ? C
n ?1 n ?1

) 。

而8
? 3

n ?1

? C n ?1 ? 8
1

? C n ?1 ? 8
2

?? ? C

? N

?

2n?2

? 8 n ? 9 能被 64 整除。

[警示]此类题目往往考虑用数学归纳法证明,但是步骤较为繁琐,而用二项式定理证明则 显得更为简捷。 [变式训练] 5.若某一等差数列的首项为 C 5 n
m
11 ? 2 n

? A 11 ? 3 n ,公差为 (

2n?2

5 2x

?

2 5

3

x ) 展开式的常数项,其中
2 m

是 77

77

? 15 除以 19 的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值。

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例 6. 在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点, OB 边上取 n 个点(均除 O 点外), 在 连同 O 点共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,共可作多少个三角形? [剖析]法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合. [解]解法一:第一类办法:从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任 取两点,可构造一个三角形,有 C 1m C 2 个;第二类办法:从 OA 边上(不包括 O)中任取两点 n 与 OB 边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 2 C 1n 个;第三类办法: m 从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角 形,有 C 1m C 1n 个.由加法原理共有 N=C 1m C 2 +C 2 C 1n +C 1m C 1n 个三角形. n m 解法二: m+n+1 中任取三点共有 C 3 ? n ? 1 个, 从 其中三点均在射线 OA(包括 O 点), C 3 ? 1 个, 有 m m 三点均在射线 OB(包括 O 点),有 C 3 ? 1 个.所以,个数为 N=C 3 ? n ? 1 -C 3 ? 1 -C 3 ? 1 个. n n m m [警示]排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解 决这类问题通常有三种途径: (1)以元素为主, 应先满足特殊元素的要求, 再考虑其他元素.(2) 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算 出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法,后一种方 式叫间接解法. [变式训练] 6.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,求不同的保送方案的总数。

[能力提升]
1.20 个相同的球分给 3 个人,允许有人可以不取,但必须分完,有多少种分法( A.210 B.230 C.257 D.120 2.在 (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
5 6 7 8



3



A.74 B.121 C.-74 D.-121 3.从 0,1,??,9 这 10 个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数字的五位 偶数( ) A.13776 个 B.13772 个 C.13775 个 D.13774 个 4.以正方体的顶点为顶点,能作出的三棱锥的个数是( )
A、 C
3 4

B、 C 8 C 7

1

3

C、 C 8 C 7 -6

1

3

4 D、 C 8 ? 12

2 n 2 n 5.已知: (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? ? (1 ? x ) ? a 0 ? a 1 (1 ? x ) ? a 2 (1 ? x ) ? ? ? a n (1 ? x ) ,

则 a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n 等于( A、n B、 2
n ?1

) C、
3 2 (3
n

? 2

? 1)

D、

1 2

(3

n

? 1)

6.加工一种机器零件可以用 3 种方法完成,有 7 人会用第一种方法完成,有 3 人会用第二 种方法完成,有 8 人会用第三种方法完成,从中选出一人来加工这种机器零件,不同的选法 共有 种。 7.计算: 1 0 .0 1 =
6

。 (精确到 1)

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8.圆周上有 2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________. 9.设 a>0,a≠1 从 a,a 2 , a 3 , a 5 , a 7 , a 11 六个数中任取两个不同的数组成对数的底和真数,得到 不同对数值的个数是______。 10.有五张卡片,它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将其中任 意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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11. 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴方向跳动,每次向正方向或负方向跳 1 个 单位,经过 7 次跳动质点落在点(3,0) (允许重复过此点)处,求质点不同的运动方法种 数(用数字作答) 。

12. 如图,以 AB 为直径的半圆周上有异于 A、B 的 6 个点 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 。线段 AB 上有异于 A、B 的 4 个点 D 1 , D 2 , D 3 , D 4 。 问: (1)以这 10 个点(不包括 A、B)中的 3 个点为顶点可 作几个三角形?其中含点 C 1 的三角形有几个? (2)以图中的 12 个点中的 4 个点为顶点可作多少个四边 形? C1 C2 C3 C4 C5 C6

A

B D1 D2 D3 D4

[仿真训练]
一.选择题 1. 如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字, 则这样的三位数一共有 ( ) A、240 个 B、285 个 C、231 个 D、243 个 2.已知集合 A={1,3,5,7,9,11},B={1,7,17}.试以集合 A 和 B 中各取一个数作为点的坐标,在 同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是( ) A.32 B.33 C.34 D.36 3.以 1,2,3,?,9 这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真数,则可以得 到不同的对数值的个数为( A、64 4.由 (
3x ?
3

) C、53 D、51 )

B、56
2)
100

展开所得 x 多项式中,系数为有理项的共有( B、17 项 C、16 项 D、15 项

A、50 项

5.四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在一

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起,则不同的排法数有( A、3600 B、3200

) C、3080 D、2880

6.在排成 4×4 的方阵的 16 个点中,中心 4 个点在某一个圆内,其余 12 个点在圆外,在 16 个点中任选 3 个点构成三角形,其中至少有一顶点在圆内的三角形共有( ) (A) 312 个 (B) 328 个 (C) 340 个 (D) 264 个 7.在平面直角系内,x 轴的正半轴上有 5 个点,y 轴的正半轴上有 3 个点,将 x 轴的正半轴 上的 5 个点与 y 轴的正半轴上的 3 个点连成 15 条线段, 15 条线段在第一象限内的交点最 这 多有( ) (A) 105 个 (B) 35 个 (C) 30 个 (D) 15 个 8.设{an}为等差数列,从{a1,a2,a3,·a10}中任取 3 个不同的数,使这三个数仍成等差 · · 数列,则这样的等差数列最多有( (A)90 个 (B)120 个 ) (D)200 个

(C)180 个

9.6 名运动员站在 6 条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第一道也不能站在第二道, 乙必须站在第五道或第六道,则不同排法种数共有( ?A? 144 10.若 ( 2 x 的值为( A、1
? 3)
100

) ,则(a0+a2+a4+?+a100) -(a1+a3+?+a99)
2 2

?B? 96
? a
0

?C? 72
2

?D? 48
100

? a1x ? a 2 x

? ? ? a 100 x

) B、-1 C、0 D、2

11.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒 装磁盘,根据需要至少买 3 片软件,至少买 2 盒磁盘,则不同的选购方式共有( )

A、5 种 B、6 种 C、7 种 D、8 种 9 12.已知 xy<0,且 x+y=1,而(x+y) 按 x 的降幂排列的展开式中,T2≤T3,则 x 的取值范围 是( ) A、 ( ?? ,
1 5 )

B、 [

4 5

, ?? )

C、 (1 ,

?? )

D、 ( ??

,?

4 5

]

二.填空题 13. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如 98765) ,若把所有五位渐减数按 从小到大的顺序排列,则第 55 个数为 14.如图, 闭合一些开关能够接通电路的不同方法共有 种.

15.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复数字 的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有 个。 16.关于二项式 ( x ? 1 )
2006

有下列四个命题,其中正确的序号是

(1)该二项展开式中非常数项的系数和是 1; (2)该二项展开式系数最大的项是第 1004 项;

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6 2000 (3)该二项展开式中第六项为 C 2006 x ;

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(4)当 x ? 3 时, ( x ? 1 )

2006

除以 7 的余数是 4。

三.解答题 17.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个 球放入 5 个盒子内 (1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投 放方法?

1 2 n 18.若 a 0 , a 1 , a 2 , ? , a n 是一个等差数列,公差为 d ,试求 a 0 ? C n a 1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n 的

值。

19.10 个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有多少种排 法?

20.动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8) ,要使行驶的路程最小,有多少种 走法?

21.证明: ( C n ) ? ( C n ) ? ( C n ) ? ? ? ( C n ) ?
0 2 1 2 2 2 n 2

( 2 n )! ( n! )
2



22.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且 g ( x ) ? C n f ( ) x (1 ? x ) ? C n f ( ) x (1 ? x )
0 0 n 1 1

0 n

1

n ?1

n

? Cn f (
2

2 n

) x (1 ? x )
2

n?2

?? ? Cn f (
n

n n

) x (1 ? x )
n

0

(1)若 f ( x ) ? 1 ,求 g ( x ) ; (2)若 f ( x ) ? x , 求 g ( x ) 。


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第一章: 第一章:计数原理一、两个计数原理 3、两个计数原理的区别 、 二、排列与组合 1、排列: 、排列: 一般地, 个元素, 一般地,从 n 个不同元素中...

高中数学选修2-3 第一章 计数原理

第一章 计数原理目录 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(新授课) 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(习题课) 1.2.1 排列(一) (新授课) 1.2...

第一章计数原理第2节

第一章 1.2 题型 1 简单的排列问题●排列的定义 计数原理 排列与组合 1.叙述:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)...

第一章 计数原理1

10页 10财富值 第一章 计数原理学案 5页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...