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湖南省长沙市望城区第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


湖南省长沙市望城区第一中学 2015-2016 学年高二数学上学期期末 考试试题 文
本试卷共 4 页,总分 150 分,时量 120 分钟,考生务必将答案填在答题卡上,在试卷 上作答无效。 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.如果命题“p 或 q”是真命题,“

非 p”是假命题,那么( ) A. 命题 p 一定是假命题 B.命题 q 一定是假命题 C.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 是真命题或者是假命题 2. 下列命题中的假命题是( ) A.? x∈R,2
x-1

>0

B.? x∈N ,(x-1) >0 D.? x∈R,tanx=2 )

*

2

C.? x∈R,lgx<1

3. 已知变量 a,b 已被赋值 ,要交换 a、b 的值,采用的算法是( A.a=b,b=a C.a=c,b=a,c=a 4. 下面的程序框图输出的数值为( B.a=c,b=a,c=b D.c=a,a=b,b=c )

A.62 B.126 C.254 D.510 5. 样本容量为 100 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据 落在[6,10)内的频数为 a,样本数据落在[2,10)内的频率为 b,则 a,b 分别是( )

A.32,0.4 C.32,0.1

B.8,0.1 D.8,0.4

1

6.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 7 .有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗小玻璃球,若小球落在阴影部分,则 可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )

8. 在所有的两位数(10~99)中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是( A. C. 5 6 2 3 B. D. 4 5 1 2

)

9 . 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

2 n?ad-bc?2 110×?40×30-20×20? 2 由K = 算得 K = ≈7.8. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 60×50×60×50

附表:

P(K2≥k) k
参照附表,得到的正确结论是(

0.050 3.841 )

0.010 6.635

0.001 10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 10. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

2

广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

4 49

2 26

3 39

5 54

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 额为( ) B.65.5 万元 D.72.0 万元

A.63.6 万元 C.67.7 万元

11. 有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现进行如下分组: 第 1 组含有一个数{1},第 2 组含两个数{3,5};第 3 组含三个数{7,9,11};?试观察每 组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为( A.等于 n(n+1) C.等于 n
4

). B.等于 n D.等于 n
2

3

12. 函数 f(x)是[-1,1]上的减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角,且 α ≠β ,则 下列不等式中正确的是( A.f(sin α )>f(cos β ) C.f(cos α )>f(sin β ) 第Ⅱ卷 (90 分) ). B.f(cos α )<f(cos β ) D.f(sin α )<f(sin β )

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 椭圆的两个焦点为 F1、F2,短轴的一个端点为 A,且三角形 F1AF2 是顶角为 120°的等腰 三角形,则此椭圆的离心率为___ _____. 2 2 14. 点 P(8,1)平分双曲线 x -4y =4 的一条弦,则这条弦所在直线的方程是___________. 1 15 已知函数 y=f(x)的图象 在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f′(1) 2 =____ _____. 3 16. 设函数 f(x)=ax -3x+1 (x ∈R),若对于 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0,则实数 a 的 值为_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2); (2)焦点在 x 轴负半轴上,焦点到准线的距离是 5. 18(本小题满分 12 分)甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指,若和为偶 数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以 A 表示和为 6 的事件,求 P(A); (2) 这种游戏规则公平吗?试说明理由.

3

19. (本小 题满分 12 分)求下列双曲线的标准方程. (1)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线; 16 4 (2)以椭圆 3x +13y =39 的焦点为焦点,以直线 y=± 为渐近线的双曲线. 2
2 2

x2

y2

x

20. (本小题满分 12 分)(12 分)先解答(1)问,再通过类比解 答(2)问.

? π ? 1+tanx; (1)求证:tan?x+ ?= 4 ? 1-tanx ?
1+f?x? (2)设 x∈R 且 f(x+1)= ,试问 f(x)是周期函数吗?证明你的结论. 1-f?x? 21(本小题满分 12 分) 已知直线 l1 为曲线 y=f(x)=x +x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为 该曲线的另外一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 及 x 轴所围成的三角形的面积. 4 3 22.(本小题满分 12 分)若函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数的解析式; (2)若方程 f(x)=k 有 3 个不同的根,求实数 k 的取值范围.
2

4

望城一中 2015 下学期高二期末考试试卷(文科) 1. D 8. C 2. B 9. C 3. D 10. B 4. B 11. D 5. A 12. C 6. B 7 . A

二、 13. 3 2 14. 2x-y-15=0 15 3 16 . 4

三、17. [解析] (1)因为抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上,且- =-2,所以 p=4,所以,所求抛 2 物线的标准方程是 x =-8 y. (2)由焦点到准线的距离为 5,知 p=5,又焦点在 x 轴负半轴上,所以,所求抛物线的 标准方程是 y =-10x.
2 2

p

18(本小题满分 12 分) 解 (1)甲、乙出手指都有 5 种可能,因此基本事件的总数为 5×5=25,事件 A 包括甲、乙 出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共 5 种情况, 5 1 ∴P(A)= = . 25 5 (2)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件数为 13 个. (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3), (5,5). 13 12 所以甲赢的概率为 ,乙赢的概率为 .所以这种游戏规则不公平. 25 25

19. [答案] (1) - =1 (2) - =1 12 8 8 2 [解析] (1)∵双曲线 - =1 的焦点为(±2 5,0), 16 4 ∴设所求双曲线方程为: 2- 又点(3 2,2)在双曲线上,

x2

y2

x2 y2

x2

y2

x2 y2 2 =1(20-a >0) a 20-a2

5



18

a

2



4 2 2=1,解得 a =12 或 30(舍去), 20-a

∴所求双曲线方程为 - =1. 12 8 (2) 椭圆 3x +13y =39 可化为 + =1, 13 3 其焦点坐标为(± 10,0),∴所求双曲线的焦点为(± 10,0),
2 2

x2

y2

x2

y2

x y 1 设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0)∵双曲线的渐近线为 y=± x, a b 2 b 1 b2 c2-a2 10-a2 1 2 2 ∴ = ,∴ 2= 2 = 2 = ,∴a =8,b =2, a 2 a a a 4
即所求的双曲线方程为: - =1. 8 2

2

2

x2 y2

20.

? π? 解:(1)证明:tan?x+ ?= 4? ?

π tanx+tan 4 1+tanx = .(4 分) π 1-tanx 1-tanxtan 4

(2)f(x)是以 4 为一个周期的周期函数.证明如下: 1+f?x? 1+ 1-f?x? 1+f?x+1? 1 ∵f(x+2)=f[(x+1)+1]= = =- ,(6 分) 1-f?x+1? 1+f?x? f?x? 1- 1-f?x? ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=- 1

f?x+2?

=f(x),(10 分)∴f(x)是周期函数.(12 分)

21 解 (1)因为 f′(x)=2x+1,所以 f′(1)=3, 所以直线 l1 的方程为 y=3(x-1), 即 y=3x-3. 2 设直线 l2 过曲线上点 B(b,b +b-2), 因为 f′(b)=2b+1, 2 2 所以直线 l2 的方程为 y-(b +b-2)=(2b+1)(x-b),即 y=(2b+1)x-b -2. 2 又 l1⊥l2,所以 3(2b+1)=- 1,所以 b=- , 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9 即 3x+9y+22=0.

6

y=3x-3? ? ? (2)解方程组? 1 22 y=- x- ? 3 9 ?

1 x= ? ? ? 6 ,可得? 5 y=- ? ? 2

.

? 22 ? 因为直线 l1、l2 与 x 轴的交点坐标分别为(1,0)、?- ,0?, ? 3 ? 所以所求三角形的面积为 1 ? 5? ? 22? 125 S= ×?- ?×?1+ ?= . 3 ? 12 2 ? 2? ?

22. 2 解 f′(x)=3ax -b.

f′?2?=12a-b=0? ? ? (1)由题意得? 4 f?2?=8a-2b+4=- ? 3 ?
1 ? ?a= ? 解得? 3 ? ?b=4



1 3 ,故所求函数的解析式为 f(x)= x -4x+4. 3
2

(2)由(1)可得 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x)

(-∞,-2) + ?

-2

(-2,2)

2

0 - 0 28 ? 4 f(x) - 3 3 28 4 因此,当 x=-2 时, f(x)有极大值 ,当 x=2 时,f(x)有极小值- , 3 3

(2, +∞) + ?

1 3 所以函数 f(x)= x -4x+4 的图象大致如右图所示. 3 4 28 若 f(x)=k 有 3 个不同的根, 则直线 y=k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点, 所以- <k< . 3 3

7


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