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1.1.2弧度制


弧 度 制
基础归纳:
1、弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度. 1 1 2、弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r2. 其中 R 是扇形的半径,l 是弧长, 2 2 α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积.

知识点一

弧度制的概念
l

r

1、 定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作 1rad,读作 1 弧度. 2、 如果半径为 r 的圆的圆心角α 所对的弧长为 l,那么,角α 的弧度数的绝对值|α|=

3、 约定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为 0. l 4、用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角 r 的大小有关. 例 1、在半径不等的两个圆内,1 弧度的圆心角( C ) A.所对弧长相等 B.所对的弦长相等 C.所对弧长等于各自半径 D.所对弧长等于各自半径

知识点二

角度制与弧度制互换
180? ? ? rad
1? ?

1、将角度化为弧度

360? ? 2? rad
2、将弧度化为角度

?
180

rad ? 0.01745

n? 180 rad n ? _____
0

2? ? 360 ?

? ? 180 ?

180 1rad ? ( )? ? 57.30? ? 57?18'

?

? ? n ? ?_____
?
12

180 n

0

例 1、时钟经过一小时,时针转过了( B ) ? ? ? A. rad B.- rad C. rad
6 6 12

D.-

rad

例 2、将下列弧度转化为角度: (1)

? = 12

°; (2)-

7? = 8

°

′; (3)

13? = 6

°;

例 3、将下列角度转化为弧度: (1)36°= 答案: 15 rad; (2)-105°= -157 30; 390 rad; (3)37°30′= rad;

? 7? 5? ;? ; . 12 24 5

知识点三

弧长及扇形面积公式 1、弧长公式 l ? ? ?r 1 1 2、扇形面积公式 S ? l ? r ? ? ? r2 2 120o 的弧长为 2 例 1、半径为 ? cm,中心角为

( D



? A. cm 3

B.

?2
3

cm

2? cm C. 3

2? 2 D. cm 3

例 2、(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 2r+rθ=10 ? ? (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则?1 2 r =4 ? ?2θ· 1 故扇形圆心角为 . 2 r=4, ? ?r=1, ? ? ?? (舍),? 1 ? ?θ=8 ? ?θ=2,

(2)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40.

1 2 1 S= θ· r = r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100, 2 2 当且仅当 r=10 时,Smax=100.所以当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大. 若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是 ________. 解析:设圆半径为 R,则圆内接正方形的对角线长为 2R, ∴正方形边长为 2R,∴圆心角的弧度数是 2R = 2. R 答案: 2

巩固练习:
1、圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 2、如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界) .

3、某种蒸汽机上的飞轮直径为 1.2m,每分钟按逆时针方向转 300 周,求: (1)飞轮每秒钟转过的弧度数。 (2)轮周上的一点每秒钟经过的弧长。

4、已知一个扇形的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积.

5 5 5、已知α 的终边经过 P( sin ? , cos ? ) ,则α 可能是 6 6 5 ? ? ? A. ? B. C. ? D. 3 6 6 3





6、已知扇形的周长为 30 ,当它的半径 R 和圆心角 ? 各取何值时,扇形的面积最大? 并求出扇形面积的最大值.

答案: 1、B 2、 S ? ? 2 k? ?

?

2 3

? ? ? ? 2 k? ?
?
3

?
6
?

,k ? Z
2? 3

?

S ? ? k? ?

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

,k ?Z

?

,

S ? ? 2 k? ? ? ? 2 k? ?

?

, 或2 k?

? ? ? 2 k? ? ? , k ? Z

?

3、10π,6π

4、∵弧长 l

? ? R ? R ,∴ 3R ? 6, R ? 2 ;于是 S ?

1 Rl ? 2 cm 2 2

?

?.

5、C

6、设扇形的弧长为 l ,半径为 R ,则 l ? 2 R

? 30 , ∴ l ? 30 ? 2 R ,由 0 ? l ? 2? R 得 0 ? 30 ? 2 R ? 2? R , 15 1 1 ? R ? 15 , ∴ S ? lR ? (30 ? 2 R) R ? ? R 2 ? 15R ∴ ? ?1 2 2 15 225 15 ? ?( R ? ) 2 ? ,( ? R ? 15) 2 4 ? ?1








1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长,则该弧所对的圆心角的弧度数是(

A. 3

B.1

3 C. 2

? D. 3

? ? ? ? k? ? M ? ?x x ? , k ? Z ? , N ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 2 ? ? ? ? ,则 M 与 N 的关系是( 2.设集合
A. M ? N B. M



?N

C. M

?N

D. M ? N ? ? ) B. 第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角 )弧度

3.若 ? 是钝角,则 ? ? k? ? ? , k ? Z 是( A. 第二象限角 C. 第二象限角或第三象限角

4.在单位圆中,面积为 1 的扇形所对的圆心角为( A. 1
?

B. 2

C.3 )

D. 4

5. ?120 的弧度数是( A. ?

5? 6

B.

4? 3

C. ?

2? 3

D. ?

3? 4

6.扇形的中心角为

2 ? ,弧长为 2? ,则其半径 r ? ______. 3
弧度.

7.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆心角是

8.终边在 y 轴上的角的集合是(用弧度制表示)________________. 9.点 P 从圆心在原点 O 的单位圆上点 (1,0) 出发,沿逆时针方向运动 ? 弧长,到达点 Q , 则点 Q 的坐标是_______________.

5 6

6? 10.将 5 rad 化为角度是
11.已知扇形的周长为 4 ?



2? cm ,其半径为 2cm ,则该扇形的圆心角的弧度数为 3

.

12. 如图,一条弦 AB 的长等于它所在的圆的半径 R,求弦 AB 和劣弧 AB 所组成的弓形的面积. A B R R O
1.

选 A。设圆的半径为 R,则圆弧长为

3R 。∴圆心角为

3R ? 3。 R

2.

选 C。集合 M 表示终边落在坐标轴上的角的集合,N 表示终边落在 y 轴上角的集合。

S?
3.

选 D。

4.选 B。利用扇形面积公式

1 2 r? 2 即可。

5.C 8. {?

6.由 l

? ? r 得, 2? ?

2? r ,所以 r ? 3 。 3

? 7. 3

| ? ? k? ?

?
2

, k ? Z}

9.角

5? 6

的终边与单位圆交点的坐标为 (cos

?? 5? ,sin ) 。 6 6

10. 216?

2? 11. 3

12.

S ?AOB ?

3 2 R 4

S 弓形= S 扇形— S ?AOB

1 ? ?R 2 ? ? R2 ? 2 3 6 ?R 2 3 2 ? 2? ? 3 3 ? 2 ?R . ? ? R ?? ? ? 6 4 12 ? ?
S
扇形=







1.设 ? 角的终边上一点 P 的坐标是 (cos A.

?

? 5
3 ? 10 (k ? Z )

, sin ) ,则 ? 等于 5 5
B. cot

?





?

5 9 ? 5 (k ? Z )
( )

C. 2k? ?

D. 2k? ?

2.将分针拨慢 10 分钟,则分钟转过的弧度数是 A.

? 3

B.-

? 3

C.

? 6

D.-

? 6
( )

3.设角 ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则有 A. ? ?

?
2

??

(k ? Z )

B. ? ? ( 2 k ?

1 )? ? ? 2

(k ? Z )

C. ? ? 2? ? ? 4.集合 A={ ? | ? ?

(k ? Z )

D. ? ? (2k ? 1)? ? ?

(k ? Z )

n? , 2 2n? , B={ ? | ? ? 3
则 A、B 之间关系为

2 n ? Z } ? {? | ? ? 2n? ? ? , 3 1 n ? Z } ? {? | ? ? n? ? ? , 2
C.B ? A ≠

n ? Z} , n ? Z} ,
( D.A ? B ≠ ( ) )

A. B ? A 5.下列说法正确的是

B. A ? B

A.1 弧度角的大小与圆的半径无关 C.圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等

B.大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大 D.用弧度表示的角都是正角 ( D. )

6.中心角为 60°的扇形,它的弧长为 2 ? ,则它的内切圆半径为 A.2 B. 3 C.1

3 2
( )

7.一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形所含弓形的面积为

1 (2 ? sin? 1 cos 1) R 2 2 1 2 C. R 2
A. 8. cos

B.

1 2 R sin? 1cos 1 2
2 2

D. R ? sin? 1cos1 ? R

?

2

? sin

?

2

? 1 ? sin ? ,且 ? 是第二象限角,则

9.已知 ? ? ? ? ? ?

4 ? ? ,?? ? ? ? ? ? ? , 则2? - ? 的取值范围是 3 3
.

? 是第 2

象限角. .

10.已知 ? 是第二象限角,且 | ? ? 2 |? 4, 则 ? 的范围是

11.一个视力正常的人,欲看清一定距离的文字,其视角不得小于 5′.

试问: (1)离人 10 米处能阅读的方形文字的大小如何? (2)欲看清长、宽约 0.4 米的方形文字,人离开字牌的最大距离为多少?

12.绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时针 方向每分钟匀速旋转 4 圈,那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm?

13.已知集合 A={ ? | ? ? k ? 135?

k ? Z},

B ? {? | ? ? k ?150?,?10 ? k ? 8}

求与 A∩B 中角终边相同角的集合 S.

答案
1.D 2.A 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.三 9. (?? , ? ) 6 10. ( ? ? ,?? ) ? (

3 2

?
2

, 2]

11. (1)设文字长、宽为 l 米,则 l ? 10 ? ? 10 ? 0.001454? 0.01454 (m) ; (2)设人离开字牌 x 米,则 x ? l ?

2

0.4 ? 275 (m) . 0.001454

12.设需 x 秒上升 100cm .则 13. S

x 15 ? 4 ? 2? ? 50 ? 100 ,? x ? (秒) . 60 ?

? {? | ? ? k ? 360? ? 1350 ?或? ? k ? 360?

k ? Z} .

弧度制
一、选择题 1、若 ? 是第四象限角,则 ? ?? 是( ) A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 2、若α =-3,则角α 的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 求值: 1 ? tan A.

?
3

· sin

?

1 4

3 3 B. 4

· cos

?
3

等于( C.



1 2

D.

3 2

4.若角α 与角β 的终边关于 y 轴对称,则( ? A.

? ? ? ? 2k? ?

C. ? ? ? ? k? ?

2

(k ? Z )

) B. ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) D. ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z )

?
2

(k ? Z )

? ? n? ? ? k? 5、集合 A ? ? ? , n ? Z ? 的关系是( , k ? Z ? 与 B ? ?? ? ? ?? ? ? 3 6 6 ? ? ? ?
A、 A ? B B、 A ? B C、 A ? B D、 A ? B



6 . 某 扇 形 的 面 积 为 1 cm2 , 它 的 周 长 为 4 ( A.2° ) B.2

cm , 那 么 该 扇 形 圆 心 角 的 度 数 为

C.4°

D.4

7.下列命题中正确的命题是( ) A.若两扇形面积的比是 1∶4,则两扇形弧长的比是 1∶2 B.若扇形的弧长一定,则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定,则弧长存在最小值 D.任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系 8.7 弧度的角在第 象限,与 7 弧度角终边相同的最小正角为 9.在半径为 2 米的圆中,120 的圆心角所对的弧长为__________________ 10、求值: sin
0

?
3

tan

?
3

? tan

?
6

cos

?
6

? tan

?
4

cos

?
2

11、已知集合A={α |2kπ ≤α ≤π +2kπ ,k∈Z} ,B={α |-4≤α ≤4} , 求 A∩B.

12、单位圆上两个动点 M、N,同时从 P(1,0)点出发,沿圆周运动,M 点按逆时针方向 旋转

? ? 弧度/秒, N 点按顺时针转 弧度/秒, 试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走 6 3

过的弧度.

13、圆周上点 A(1,0)依逆时针方向作匀速圆周运动,已知 A 点 1 分钟转过 ? (0 ? ? ? ? ) 角,2 分钟第一次到达第三象限,14 分钟后回到原来的位置,求 ?

14、已知一扇形的中心角是 α ,所在圆的半径是 R。 (1) 若α =60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2) 若扇形的周长是一定值 C(C>0) ,当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 15. 设角α 1=-570°,α 2=750°,β 1= π ,β 2= ? π . 5 3

3

7

(1)将α 1,α 2 用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;

(2)将β 1,β 2 用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们终边相同的所有角.

7π 16.若 2π <α <4π ,且 α 与- 的角的终边垂直,求 α 的值. 6

一.CCAB

BBD 9.

8.一 7-2π

4? 3

10. 米

2

11. A∩B={α |-4≤α ≤-π 或 0≤α ≤π }

12.解:设从 P(1,0)出发, t 秒后 M、N 第三次相遇,则 故 M 走了 13

?
6

t?

?
3

t ? 6? ,故 t =12(秒) .

?

6 4 5 ?或 ? 7 7

? 12 ? 2? (弧度) ,N 走了

?
3

? 12 ? 4? (弧度) .

14.解(1) S弓

1 10 1 ? 3 ? S扇 ? S? ? ? ? ?10 ? ?102 sin 60? ? 50( ? )(cm2 ) 2 3 2 3 2

(2)∵扇形周长 C=2R+l=2R+α R,∴ R ∴S

?

C 2 ??





1 1 C 2 C2 1 C2 1 C2 ? ? ? R2 ? ? ( ) ? ?? ? ? ? ? . 2 2 2 2 ?? 2 4 ? 4? ? ? 2 4 ? ? ? 4 16

?

1 1 C 2 C 1 C 1 C2 S扇 ? ? ? R 2 ? ? ( ) ? ?? ? ? ? ? . 2 2 2 ?? 2 4 ? 4? ? ? 2 2 4 ? ? ? 4 16

2

2

?

∴当且仅当

C 。 ?? ,即 ? α =2(α =-2 舍去)时,扇形面积有最大值 16

4

2

15.(1)-570°= -4π +

5 p 6

,750°= 4π +

1 p 6

.∴α 1 在第二象限,α 2 在第一象限.

(2)β 1= 108°,设θ =k·360°+β 1(k∈Z), 由

-720°≤θ <0°,得-720≤k·360°+108°<0°,∴

k=-2 或 k=-1,∴在-720°~0°间与β 1 有相同终边的角是-612°和-252°. 同理,β 2=-420°且在-720°~0°间与β 2 有相同终边的角是-60°. π π 7π 16. 在 +2kπ 中,当 k=1 时, +2π = ∈(2π ,4π ); 3 3 3 4π 4π 10π 7π 10π 在 +2kπ 中, 当 k=1 时, +2π = ∈(2π , 4π ). ∴α= 或 . 3 3 3 3 3


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