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福建省福州文博中学2012-2013学年高二上学期期末数学文试题 Word版含答案


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2012-2013 学年高二上学期期末数学文试题
(完卷时间:120 分钟,总分:150 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1 1、复数 z ? 的共轭

复数是( ) 1? i 1 1 1 1 A. ? i B. ? i C. 1 ? i D. 1 ? i 2 2 2 2
2、已知 M (?2,0) , N (2,0) , PM ? PN ? 3, 则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线右支 ) C.一条射线 )

D.不存在

3、下列几种推理是演绎推理的是(

A.某校高二 1 班 55 人,2 班 54 人,3 班 52 人,由此推出高二所有班级人数超过 50 人 B.两直线平行,内错角相等,如果 ?A与?B 是两条平行直线的内错角,则 ?A ? ?B C.由平面三角形性质,推测空间四面体的性质 D.在数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an ?1 ? 4、抛物线 y ? x 的准线方程是(
2

an ? n ? 1, 2,3,?? ,由此归纳数列 ?a n ?的通项公式 1 ? an
) C. 2 y ? 1 ? 0 D. 2x ? 1 ? 0 )

A. 4 y ? 1 ? 0

B.

4x ? 1 ? 0
2 2

5、 “设 a、b、c ? R ,若 ac ? bc , a ? b ” 命题 则 及它的逆命题、 否命题、 逆否命题中真命题共有 ( A. 0 个
?

B. 1 个

C.

2个 )

D. 3 个

6、若条件 p : A ? 30 , 条件q : sin A ? A.充分但不必要条件 C.充要条件 7、双曲线

1 , 则 p是q 的( 2

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2
B. 4 2

A. 3 2

C. 3 3

D. 4 3 )

8、用反证法证明命题“a、b、c、d 中至少有一个是负数”时,假设正确的是( A.a、b、c、d 都是负数 C.a、b、c、d 中至多有一个非负数 B.a、b、c、d 都是非负数 D.a、b、c、d 中至多有两个是非负数 )

9、焦距等于 4,长轴长为 8 的椭圆标准方程为(

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x2 y2 A. ? ?1 64 48
C.

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x2 y2 x2 y2 B. ? ? 1或 ? ?1 64 48 48 64
D.

x2 y2 ? ?1 16 12

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1或 16 12 12 16


10、双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的离心率是( A.2 B.

3

C. 2

D. 2 2

11、直线 y ? kx ? 1 与焦点在x轴的椭圆 A. (0,1) B. (0,5)

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
C. [1,+∞) D. [1,5)



12、给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : ①“若 a、b ? R ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“ a、b ? C,则a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ② “ 若 a、b、c、d ? R , 则 复 数 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ” 类 比 推 出 “ a、b、c、d ?Q , 则

a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ” ;
③若“ a、b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a、b ? C,则a ? b ? 0 ? a ? b ; ④若“ x ? R, 则 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ”类比推出 z ? C, 则 z ? 1 ? ?1 ? z ? 1 . 上述类比中正确的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 )
13、 命题“?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0" 的否定是
2

__

_____



2 14、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B?x2 , y 2 ? 两点,若 AB ? 12,

那么 x1 ? x2 ? __

__.

15、 设椭圆

1 x2 y 2 F 若点 P 在椭圆上, cos ?F1PF2 ? ,则 PF1 ? PF2 ? 且 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1 、 2 , 25 9 2

______________. 16、 (如右图)有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道) , 每个车道宽为 3m,此隧道的截面由一个长方形和一段抛物线构成,如图所示。为 保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至
8m A 3m 3m 3m 16m 2 3m B 2m

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少为 0.25m ,靠近中轴线的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度 为

m (用分数表示).

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答题应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分) 已知复数 z ? (m ? 1) ? (m ? 3m ? 2)i ,其中 m ? R
2 2

(1)若复数 z ? 0 ,求 m 的值; (2)若复数 z 为纯虚数,求 m 的值; (3)若复数 z 在复平面上所表示的点在第二象限,求 m 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分) 设命题 p :关于 x 的方程 x ? ax ? 2a ? 0 无实数根, 设命题 q :方程
2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴的椭 a 2

圆,若命题“ p 或 q ”为真命题, “非 q ”为真命题,求 a 的取值范围。

19、 (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x ?
2

y2 ?1 3

(1) 求此双曲线的渐近线方程; (2)若过点 ? 2, 3 的椭圆与此双曲线有相同的焦点,求椭圆的方程。

?

20、 (本小题满分 12 分) (1)设 a, b, c 均为正实数,且 a ? b ? c ,求证: a ? b ? a b ? ab
3 3 2 2

(2)求证: 3 ? 2 2 ? 2 ? 7

21、 (本题满分 12 分) 若数列 ?a n ?的通项公式 a n ?

1 (n ? N ? ) , S n 为其前 n 项和, n(n ? 1)

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(1)试计算 S1 , S 2 , S 3 的值; (2)猜测出 S n 的公式;

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22、 (本题满分 14 分) 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 过 A(1,?2)
2

(1) 求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标; (2)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点且直线 OA 与 直线 l 的距离等于

5 ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 5

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数学(文科)试卷评分标准及参考答案

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?5 1 ? a 2 - 4b 2 ? 1 ? 依题意得: ? ?b ? 1 ?a 2 ?
∴所求双曲线方程为

解得: ?

?a 2 ? 4 ? -------------------10 分. 2 ?b ? 1 ?

x2 ? y 2 ? 1 --------------------------------12 分. 4

法 2:∵所求双曲线的渐近线方程为 x±2y=0,且焦点在 x 轴上,

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实数 a 的取值范围是 [ , ] .------------------------------------------12 分 21. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 解:当 a=-1 时, f ( x ) ? ? ln x ? 则 f ' ? x? ? ?

1 3 3 8

x2 ? 1 ,定义域为(0,+∞). 2

1 ? x .---------------------------------3 分 x

令 f ' ( x) ? 0, 又 ? x ? 0,? x ? 1 . 所以函数函数 f(x)的单调增区间为(1,+∞).----------------------6 分

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22.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由题意知, e ? 解得 a=2,

c 3 ,b=1,a2-c2=1,---------3 分 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1 .---------6 分 4 (Ⅱ)直线 AM 斜率显然存在且不为 0,设其斜率为 k.则直线 AM 的方程为 y=kx+1, ? y ? kx ? 1 ? 由方程组 ? x 2 ,得(4k2+1)x2+8kx=0,------------------9 分 2 ? ? y ?1 ?4 8k 8k 1 ? 4k 2 解得 x1 ? ? 2 , x2 ? 0 ,所以 xM ? ? 2 , yM ? 2 ,--------11 分 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 8k k2 ? 4 同理可得 xN ? 2 , yN ? 2 , k ?4 k ?4
所以椭圆 C 的标准方程为

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