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2015-2016学年湖南省常德市第一中学高一上学期12月月考数学试题 word版


2015-2016 学年湖南省常德市第一中学高一上学期 12 月月考数学试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ? ? A. ? D.

?? x, y ? y ? x , x ? 0? , ? ? ? y y ? 2 , x ? 0?

,则 ? ? ? ? (
2 x



B. ?1, ?? ?

C. ? 2, 4 ?

?? 2, 4 ? , ? 4,16 ??


2.不等式 log 3 ? 3 x ? 1? ? 2 的解集为( A. ? ??,

? ?

10 ? ? 3?

B. ?

? 10 ? , ?? ? ? 27 ?

C. ? ,

? 1 10 ? ? ?3 3 ?

D. ? ,

? 1 10 ? ? ? 3 27 ?
lg ? x ?1?

3.与函数 y ? 10 A. y ? x ? 1

相等的函数是(



B. y ? x ? 1

? x ?1 ? C. y ? ? ? ? x ?1 ?

2

D. y ?

x2 ?1 x ?1

2x ?1 , x ? ? ?8, ?4 ? ,则下列说法正确的是( ) x ?1 5 5 7 A. f ? x ? 有最大值 ,无最小值 B. f ? x ? 有最大值 ,最小值 3 3 5 7 7 C. f ? x ? 有最大值 ,无最小值 D. f ? x ? 有最大值 2 ,最小值 5 5
4.已知函数 f ? x ? ? 5.正方体的棱长为 a ,则其外接球的表面积为( A. ? a 2 B. 2? a 2 ) ) C. 3? a 2 D. 4? a 2

6.下列命题正确的个数是(

①垂直于同一条直线的两条直线平行; ②平行于同一个平面的两条直线平行; ③一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ④两条平行直线中有一条直线平行于一个平面,则另一条直线也平行于此平面;

⑤一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行. A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.个

7.点 ? , 若 ?C ? ?D , G, ?C , CD , ? 分别为空间四边形 ??CD 中 ?? , F, ?D 的中点, 且 ?C 与 ?D 所成角的大小为 90? ,则四边形 ?FG? 是( A.平行四边形 形 8.对于空间中两条不相交的直线 a 与 b ,必存在平面 ? ,使得( A. a ? ? , b ? ? B. a ? ? , b //? ) D. a ? ? , B.菱形 ) D.正方

C.矩形

C. a ? ? , b ? ?

b ??
9.已知底面半径为 3 ,高为 4 的圆锥,过高的三等分点作平行于底面的两截面,它们把圆锥 侧面分成的三部分的面积之比为( )

1: 2 : 3 A.
10.设 min ?a, b? ? ? ( A. )

1: 2 : 4 B.

1: 3 : 5 C.

1: 4 : 9 D.

? a, a ? b 1 ,若函数 f ? x ? ? min ?3 ? x, log 2 x? ,则 f ? x ? ? 的解集为 2 ?b, a ? b

?

2, ??

?

B. 0, 2 ? ?

?

?

?5 ? , ?? ? ?2 ?

C. ? 0, 2 ? ? ?

?5 ? , ?? ? ?2 ?

D. ? 0, ?? ?

A.不亏不赚 D.亏 5.92 元

B.赚 5.92 元

C.赚 28.96 元

12.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , g ? x ? ? ax ? 2 ( a ? 0 ) ,对任意的 x1 ? ? ?1, 2? ,存在
2

x0 ? ? ?1, 2? ,使 g ? x1 ? ? f ? x0 ? ,则 a 的取值范围是(
A. ? 0, ? 2

) D. ? 0,3?

? ?

1? ?

B.? ,3 ?

?1 ?2

? ?

C. ?3, ?? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题各 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上)

13.函数 y ? log a ? x ? 2 ? ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过定点 14.边长为 a 的正三角形 ??C ,在斜二测画法下的平面直观图 ?????C? 的面积 为 .



15.正三棱柱 ??C ? ?1?1C1 的所有棱长均为, 则直线 ?1? 与平面 ?CC1?1 所成的角的正弦 值为 .

16.下列四个正方体图形中, ? 、 ? 为正方体的两个顶点, ? 、 ? 、 ? 分别为其所在棱的 中点,能得出 ?? // 平面 ??? 的图形序号是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题 10 分)已知 x ? ? ?3, 2? ,求 f ? x ? ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值. 4x 2x

18.(本小题 12 分)如图是一个奖杯的三视图(单位: cm ) ,底座是正四棱台. (1)求这个奖杯的体积 V ; (计算结果保留 ? ) (2)求这个奖杯底座的侧面积 S底座侧 .

19. (本小题 12 分) 如图所示, 在直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,?C ? 3 ,?C ? 4 ,?? ? 5 ,

??1 ? 4 ,点 D 是 ?? 的中点.
(1)求证: ?C ? ?C1 ;

(2)求证: ?C1 // 平面 CD?1 ; (3)求异面直线 ?C1 与 ?1C 所成角的余弦值.

20.(本小题 12 分)一块边长为 20 cm 的正方形铁皮按如图所示的阴影部分裁下,然后用 余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面引垂线, 垂足是底面中心的四棱锥)形容器. (1)试把容器的容积 V 表示成底边边长 x 的函数; (2)当 x ? 12 cm 时,求此容器的内切球(与四个侧面和底面均相切的球)的半径 r .

21.(本小题 12 分)已知函数 f ? x ? 对任意实数 x 、 y 都有 f ? xy ? ? f ? x ? f ? y ? ,且

f ? ?1? ? 1 ,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? ? 0,1? .
(1)判断 f ? x ? 的奇偶性,并证明; (2)判断 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性,并证明; (3)若 f ? 27 ? ? 9 ,求满足不等式 f ? a ? 1? ? 3 9 的实数 a 的取值范围.

22.(本小题 12 分)定义在 D 上的函数 f ? x ? ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 ? ? 0 , 都有 f ? x ? ? ? 成立,则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 ? 称为函数 f ? x ? 的一个上 界.已知函数 g ? x ? ? log 1 ?

? 1 ? mx ? ?1? ?1? ? , h ? x? ? 1? a ?? ? ? ? ? . ?2? ?4? 2 ? x ?1 ?

x

x

(1)若函数 g ? x ? 为奇函数,求函数 g ? x ? 在区间 ? ,3? 上的所有上界构成的集合; 3 (2)若 3 为函数 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的一个上界,求实数 a 的取值范围.

?5 ?

? ?

数学参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 A 5 C 6 D 7 D 8 B 9 C 10 B 11 D 12 A

二、填空题: 13. ? 3, 2 ? 三、解答题: 17.解:设 14.

6 2 a 16

15.

6 4

16.①④

1 ?1? ? t ,即 ? ? ? t ,………………2 分 x 2 ?2? 1 ? t ? 8 .………………4 分 4
2

x

? x ? ? ?3, 2? ,?
2

1? 3 ? f ?t ? ? t ? t ? 1 ? ? ? t ? ? ? ,………………6 分 ? 2? 4
1 ? t ? 8, 4 1 3 ?当 t ? ,即 x ? 1 时, f ? x ? 有最小值 ;………………8 分 2 4
又? 当 t ? 8 ,即 x ? ?3 时, f ? x ? 有最大值 57 .………………10 分

正四棱台的体积是 V正四棱台 ?

1 h2 S上 ? S上 S下 ? S下 ? 336 ; 3

?

?

此几何体的体积是 V ? 100? ? 336 ( cm3 ) .………………6 分

?b a? 2 (2)底座是正四棱台,它的斜高是 h? ? ? ? ? ? h2 ? 5 ………………9 分 ?2 2?
所以它的侧面积是 S底座侧 ?

2

1 .………………12 分 ? c ? c? ? h? ? 180 ( cm 2 ) 2

19.解: (1)在直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,底面三边长 ?C ? 3 , ?C ? 4 , ?? ? 5 ,

? ?C ? ?C .
又? C1C ? ?C ,? ?C ? 平面 ?CC1?1 .

? ?C1 ? 平面 ?CC1?1 ,? ?C ? ?C1 .………………4 分
(2)证明:设 C?1 与 C1? 的交点为 ? ,连接 D? ,又四边形 ?CC1?1 为正方形.

? D 是 ?? 的中点, ? 是 ?C1 的中点,? D? //?C1 .………………6 分 ? D? ? 平面 CD?1 , ?C1 ? 平面 CD?1 ,

? ?C1 // 平面 CD?1 .………………8 分
(另解:由面面平行来证明亦可.证得面面平行给 3 分,最终结论 1 分) (3)解:? D? //?C1 ,? ?C?D 为 ?C1 与 ?1C 所成的角.………………10 分 在 ?C?D 中, ?D ?

1 5 1 5 1 ?C1 ? , CD ? ?? ? , C? ? C?1 ? 2 2 , 2 2 2 2 2

? cos ?C?D ?

2 2 2 . ? 5 5 2
2 2 .………………12 分 5

?异面直线 ?C1 与 ?1C 所成角的余弦值为

20.解: (1)如图,在 Rt???F 中, ?F ? 10 , ?F ?

1 1 x ,则 ?? ? 100 ? x 2 , 4 2

所以 V ?

1 2 1 x 100 ? x 2 , 0 ? x ? 20 .………………6 分(不写定义域扣 2 分) 3 4

(2)当 x ? 12 时,由(1)知:

1 1 1 V ? ?122 ? 100 ? ?122 ? ?122 ? 8 ? 384 ………………8 分 3 4 3

1 ?12 ?10 ? 122 ? 384 ………………10 分 2 3V 设内切球半径为 r ,则由等体积法求得 r ? ? 3 ( cm )………………12 分 S
四棱锥的表面积为 S ? 4 ? 另解: 设正四棱锥的内切球球心为 ? , 且与底面相切于 ? 点, 与侧面相切于斜高 ?F 于点 Q , 则直角三角形 ??F 中求解.

? ?? ? 8 , ?F ? ?Q ? 6 , ?F ? 10 ,则 ?Q ? 4
又? ?? ? ?Q ? r ,则 ?? ? 8 ? r

?在 Rt??Q? 中,由 ?Q 2 ? ?Q 2 ? ?F2 得
r 2 ? 42 ? ? 8 ? r ? ,解得: r ? 3 .………………12 分
2

21.解: (1) f ? x ? 为偶函数. (结论判断正确给 1 分) 证明:令 y ? ?1 ,则 f ? ? x ? ? f ? x ? ? f ? ?1? ,

? f ? ?1? ? 1 ,? f ? ? x ? ? f ? x ? ,

? f ? x ? 为偶函数.………………3 分
(2) f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数. (结论判断正确给 1 分) 证明:设 0 ? x1 ? x2 ,则 0 ?

?x ? ?x ? x1 ? 1 ,而 f ? x1 ? ? f ? 1 ? x2 ? ? f ? 1 ? f ? x2 ? , x2 ? x2 ? ? x2 ?

?x ? ? 当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? ? 0,1? ,? f ? 1 ? ? 1 , ? x2 ?

? f ? x1 ? ? f ? x2 ?
故 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数.………………7 分
3 (3)? f ? 27 ? ? f ? 3 ? 9 ? ? f ? 3? f ? 9 ? ? ? ? f ? 3? ? ? ? 9 ,? f ? 3? ? 9 ,
3

则原不等式可化为 f ? a ? 1? ? f ? 3? 又? f ? x ? 为偶函数,则 f ? a ? 1? ? f ? 3? 等价于 f

? a ? 1 ? ? f ? 3?

? a ? 1 ? 3 ,解得: ?4 ? a ? 2 ………………12 分
22.解: (1)因为函数 g ? x ? 为奇函数,所以 g ? ? x ? ? ? g ? x ? ,即:

x ?1 ? 1 ? mx ? ? 1 ? mx ? 1 ? mx log 1 ? , ? ? ? ? log 1 ? ?? ? x ? 1 1 ? mx 2 ? ?x ?1 ? 2 ? x ?1 ?
得 m ? ?1 ,而当 m ? 1 时不合题意,故 m ? ?1 .………………3 分 故 g ? x ? ? log 1

1? x ? 2 ? ? 1? , ? g ? x ? ? log 1 ? ? 2 ? x ?1 2 x ?1 1? x ?5 ? 在区间 ? ,3? 上单调递增, ?3 ? 2 x ?1

分析可知函数 g ? x ? ? log 1

故函数 g ? x ? ? log 1

1? x ?5 ? 在区间 ? ,3? 上的值域为 ? ?2, ?1? ,所以 g ? x ? ? 2 , ?3 ? 2 x ?1
?5 ? ? ?

故函数 g ? x ? 在区间 ? ,3? 上的所有上界构成集合为 ? 2, ?? ? .………………6 分 3 (2)由题意知, h ? x ? ? 3 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,

1? ?1? ?1? ? ?3 ? h ? x ? ? 3 ? ?4 ? ? ? ? ? a? ? ? 2?? ? . ?4? ?2? ?4?
设?

x

x

x

?1? ? ? t ,则 t ? ? 0,1? ?2?
4 2 ? t ? a ? ? t 在 t ? ? 0,1? 上恒成立. t t

x

则题意转化为 ?4 ? t 2 ? at ? 2 ? t 2 ? ? 所以只需 ? ? 设 ? ?t ? ? ?

? 4 ? ?2 ? ? t ? ? a ? ? ? t ? , t ? ? 0,1? .………………9 分 ? t ? max ? t ? min
4 2 ? t , ? ? t ? ? ? t , t ? ? 0,1? t t

分别由定义法证明可知: ? ? t ? 在 ? 0,1? 上递增, ? ? t ? 在 ? 0,1? 上递减.………………11 分

? ? ? t ? 在 ? 0,1? 上的最大值为 ? ?1? ? ?5 , ? ? t ? 在 ? 0,1? 上的最小值为 ? ?1? ? 1 .

故实数 a 的取值范围为 ? ?5,1? .………………12 分


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