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上海市浦东新区2014届高三数学二模试卷(文理合卷,含答案)

时间:2014-04-16


浦东新区 2014 年高考预测 数学(文、理)试卷
一、填空题(本大题小水满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 已知全集 U ? ?1,2,3,4,5? ,若集合 A ? ?2,3? ,则 ? U A =_____ 2. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 9 16

.

3.函数 f ?x ? ?

sin x 4 cos x 的最大值为_______ 1 3

4.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 和 l2 : 2x ? ? a ?1? y ? 3 ? 0 ? a ? R ? , 若 l1 ? l2 , 则 a ? ___. 5.函数 y ? f ? x ? 的反函数为 y ? f 数y? f 6.
?1 ?1

? x ? ,如果函数 y ? f ? x ? 的图像过点 ? 2, ?2? ,那么函

? x ? ?1的图像一定过点______. 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? 4 , a2 ? a4 ? 10 ,则 ?an ? 的前 n 项的和

Sn ? _____.
7.一个与球心距离为 3 的平面截球所得的圆的面积为 ? ,则球的体积为 ____ . 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床,在一小时内,甲、乙需要维护的概率分别为 0.9、0.8,则一小时内有机床需要维护的概率为_____ (文) 把 3 本不同的语文书、7 本不同的数学书随机的排在书架上,则语文书排在一起的概率 是____小水制作
3 9.设 a ? R , (ax ? 1)8 的二项展开式中含 x 项的系数为 7,则 lim( a ? a ? L ? a ) ? ____.
2 n n ??

10.(理)在平面直角坐标系 xoy 中,若直线 l : ? 为参数)的右顶点,则常数 a =___.

?x ? t ? x ? 3cos ? ( t 为参数) 过椭圆 C : ? (? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?

(文) 一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形,主视图和俯视图是 同一图形(如图),那么搭成这样一个立体图形最少需要 P.F. Productions 后期制作 11.(理)已知随机变量 ? 的分布列如右表,若 E? ? 3 , 则 D? =__ . (文) 已知数据 3, 4, x, y,11 的均值为 6,方差为 8,则 x
P(? ? x)

个小立方块. 第 10 题 1 n 2 0.2 3 0.3 4 m

x ? y =____ _.
12.在 ?ABC 中, 角 B 所对的边长 b ? 6 , ?ABC 的面积为 15 ,外接圆半径 R ? 5 , 则 ?ABC 的 周长为_______

1/5

13.抛物线 y 2 ? 4mx(m ? 0) 的焦点为 F,点 P 为该抛物线上的动点,又点 A(?m, 0) ,则

PF PA

的最小值为

.

14.(理)已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?1,2,3? ,值域为集合 ?1,2,3,4? 的非空真子集,设点

A ?1, f (1) ? , B ? 2, f (2) ? , C ? 3, f (3) ? , ?ABC 的外接圆圆心为 M,且 uuu r uuu r uuu r MA ? MC ? ? MB(? ? R) ,则满足条件的函数 f ( x) 有__个.
( 文 ) 已知 函数 f ( x ) 的定义域为 ?1, 2, 3 ? ,值域为 集合 ?1,2,3,4? 的非空真子集,设 点

u u r u u u r u u u r A ? 1, f (1) ? , B? 2, f (2)? ,C ?3, f (3) ? ,且 BA ?BC ?AC ? 0 ,则满足条件的函数 f ( x)

?

?

有__个. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ x ? 1 ”是“

1 ? 1 ”的( x

) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

16. (理)已知 z ? x ? yi , x, y ? R , i 是虚数单位.若复数 值为( ) 小水制作 (A)0 (B)

z +i 是实数,则 z 的最小 1? i
(D) 2

5 2

(C) 5

(文)设 x、y 均是实数,i 是虚数单位,复数 ( x ? 2 y) ? (5 ? 2 x ? y)i 的实部大于 0,虚部 不小于 0,则复数 z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的( )

17.能够把椭圆

x2 + y 2 = 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函 4
)P.F. Productions 后期制作

数” ,下列函数不是 椭圆的“可分函数”为( ..
3 (A) f ( x) = 4 x + x (B) f ( x) ? ln

5? x x x -x (C) f ( x ) ? arctan (D) f ( x) = e + e 5? x 4


18. (理)方程 lg( x ? 100) ?
2

7 ? (| x | ?200)(| x | ?202) 的解的个数为( 2
(C)6 ) (D)8 (D)8

(A)2
2

(B)4

(文)方程 lg x ? 4 ? (| x | ?200)(| x | ?202) 的解的个数为( (A)2 (B)4 (C)6
2/5

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规 定的区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分.

AB ? AC , (理)如图,在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中,

AA1 ? AB ? AC ? 1 ,?ABC ?

?
4

,D 、M 、N 分别是 CC1 、

A1B1 、 BC 的中点.
(1)求异面直线 MN 与 AC 所成角的大小; (2)求点 M 到平面 ADN 之间的距离.

?ABC ? (文) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC ,AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,
D 是 CC1 的中点,点 M 在 P.F. Productions 后期制作线段 A1B1 上.
(1)当 M 为 A1B1 中点时,求异面直线 DM 与 AB 所成角的大小.

?
4



(2)指出直线 CC1 与平面 MAB 的位置关系(不用证明) ,并求三棱锥 D ? MAB 的体积. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 如图, ABCD 是边长为 10 海里的正方形海域.现有一架 飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在 A 处同时出发,沿 直线 AP 、AQ 向前联合搜索, 且 ?PAQ ? D Q C

?
4

(其中点 P 、

, 搜索区域为平面四边形 APCQ Q 分别在边 BC 、CD 上) 围成的海平面.设 ?PAB ? ? ,搜索区域的面积为 S . (1)试建立 S 与 tan ? 的关系式,并指出 ? 的取值范围; (2)求 S 的最大值,并求此时 ? 的值. A

P

? )
B

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. ( 理 ) 已 知 定 义 在 小 水 R 上 的 函 数 f ( x) , 对 任 意 实 数 x1 , x2 都 有

f( 1 x? x ? 2 ) ? 1? f (1 x )

f ,且 ( 2 x )f (1) ? 1 .
? 1 ? ? 1 ,求 a1 、 a2 的值,并证明 {an } 为等比数列; n ? ?2 ?

(1)若对任意正整数 n ,有 an ? f ? (2)设对任意正整数 n ,有 bn ?

1 .若不等式 P.F. Productions 后期制作 f ( n)

bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2 n ?
取值范围.

6 log 2 ( x ? 1) 对任意不小于 2 的正整数 n 都成立,求实数 x 的 35
*

( 文 ) 已 知 定 义 在 N 上 的 函 数 f ( x) , 对 任 意 正 整 数 n1 、 n2 , 都 有

3/5

f (n1 ? n2 ) ? 1 ? f (n1 ) ? f (n2 ) ,且 f (1) ? 1 .
(1)若对任意正整数 n ,有 an ? f (2 n) ? 1 ,求 a1 、 a2 的值,并证明 {an } 为等比数列; (2)若对任意正整数 n , f ( n) 使得不等式 取值范围. 22. (本题满分 16 分)本题学科网真没用共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2) 小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. (理)已知中心在原点 O ,左焦点为 F1 (?1,0) 的椭圆 C1 的左顶点为 A ,上顶点为 B , F 1到 直线 AB 的距离为

f ( n) 3 ? log 2 ( x ? 1) 恒成立,求实数 x 的 2n 8

7 | OB | . 7

(1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 过点 P(3, 0) 作直线 l ,使其交椭圆 C1 于 R 、 S 两点,交直线 x ? 1 于 Q 点. 问:是否存 在这样的直线 l ,使 | PQ | 是 | PR | 、| PS | 的等比中项?若存在,求出直线 l 的方程;若不存 在,说明理由. (3) 若椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 x2 y 2 m ? n ? 0 ? ? ?( ? ? 0 , ? ? 1 ( ) ,椭圆 方程为: C 2 m2 n2 m2 n2

且 ? ? 1) ,则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的

y R Q P x O

? 倍相似椭圆.已知 C2 是椭圆 C1 的 3
倍相似椭圆,若直线 y ? kx ? b 与两 椭圆 C1 、 C2 交于四点(依次为 P 、Q 、

S

x

R 、 S ),且 PS ? RS ? 2QS ,试研
究动点 E (k , b) P.F. Productions 后期制作的轨迹方程. (文)定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c . (1)已知函数 y ? 2 ? 1 的定义域为 a, b ,值域为 ?0, ? ,写出区间 a, b 长度的最大值 2
x

??? ? ??? ?

??? ?

?

?

? 1? ? ?

?

?

与最小值. (2)已知函数 f ( x) ? 2sin x ,将函数 y ? f ( x) 的图像的每点横坐标缩短到原来的 然后向左平移

1 倍, 2

? 个单位, 再向上平移 3 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的图像, 区间 [ a, b] 8
4/5

( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 2014 个零点,在所有满足上 述条件的 [ a, b] 中,求区间 [ a, b] 长度的最小值. (3)已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 D ? [?2, 2] ,满足 f M ? x ? ? ?

? x, x ? M (M 是 ?? x, x ? M

D 的非空真子集) . 集合 A ? ?1, 2? , B ? ? ?2, ?1? ,求 F ? x ? ?
在区间长度的总和.

f A? B ? x ? 的值域所 f A ? x? ? fB ? x? ? 3

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分. (理)定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c . (1)已知函数 y ? 2 ? 1 的定义域为 a, b ,值域为 ?0, ? ,写出区间 a, b 长度的最大值 2
x

?

?

? 1? ? ?

?

?

与最小值. (2) 已知小水制作函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 D ? [?2, 2] ,满足 f M ? x ? ? ? ( M 是 D 的非空真子集) . 集合 A ? ?1, 2? , B ? ? ?2, ?1? ,求 F ? x ? ? 值域所在区间长度的总和.

? x, x ? M ?? x, x ? M

f A? B ? x ? 的 f A ? x? ? fB ? x? ? 3

1 2 3 4 ? ? ? ? 1 ,判断函数 f ( x) 在区间 (2,3) 上是否 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 有零点,并求不等式 f ( x) ? 0 解集区间的长度总和.
(3)定义函数 f ( x) ? (文)已知中心在原点 O ,左焦点为 F1 (?1,0) 的椭圆 C 的左顶点为 A ,上顶点为 B , F 1到 直线 AB 的距离为

7 | OB | . 7

(1) 求椭圆 C 的方程;

S 两点, | PS | (2) 过 P(3, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 R 、 交直线 x ? 1 于 Q 点, 若 | PQ | 是 | PR | 、
的等比中项,求直线 l 的方程;小水 (3) 圆 D 以椭圆 C 的两焦点为直径, 圆D的

y

N

m x

M
任意一条切线 m 交椭圆 C 于两点 M 、 N , 试求弦长 | MN | 的取值范围.

O

x

5/5

参考答案
(供参考)
一、填空题 1. ?1, 4,5? 5. (?2,3) 9. ? 13.

4 x 3 3 2 5 n ? n 6. 2 2
2. y ? ? 10. (理) 3 (文) 5 14. (理) 12 (文) 20

3. 5 7.

4.

1 3 1 15

32 ? 3

8. (理) 0.98 (文) 12. 6 ? 6 6

1 3

11. (理) 1 (文) 2

2 2

二、选择题 15. A 三、简答题 19. 解: (1)设 AB 的中点为 E ,连接 EN ,则 EN // AC ,且 EN ? 16. (理) D (文) A 17. D 18. (理) B (文) C

1 AC ,所以 ?MNE 2

或其补角即为异面直线 MN 与 AC 所成的角。????????????????3 分 连接 ME,在 Rt ?MEN 中, tan ?MNE ?

ME ? 2 ????????????5 分 NE

所以异面直线 MN 与 AC 所成的角为 arctan 2 。??????????????6 分 (2)? AB ? AC ? 1, ?ABC ?

?
4

, AB ? AC ,

以点 A 为坐标原点,分别小水制作以 AB 、 AC 、 AA1 所在直线为 x, y, z 轴,如图建立空间 直角坐标系 A ? xyz ,则:

1 1 1 1 M ( , 0,1) , N ( , , 0), D(0,1, ), ??????8 分 2 2 2 2 ? 设平面 AND 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)

? ???? ?x ? y ? 0 ? ?n ? AN ? 0 ? ?? 则 ? ? ???? z y? ?0 n ? AD ? 0 ? ? ? ? 2
所以平面 ADN 的一个法向量为 n ? (1, ?1, 2) . ?10 分 又 AM ? ( , 0,1) ,

?

???? ?

1 2

6/5

???? ? ? | 1 ?2| | AM ? n | 5 6 ? ? 2 ? 所以点 M 到平面 OAD 的距离 d ? .?????????12 分 12 |n| 6
解: (1)∵ AB // A 1B 1

DM 与 AB 所成的角. ?????????????3 分 ∴ ?A 1MD 或其补角是异面直线
0 连接 A1D ,则三角形 A1DM 为直角三角形,且 ?DA 1D ? 1M ? 90 , A

1 5 , A1 M ? 2 2

∴ tan ?A1MD ?

A1 D ? 5 A1M

??????????5 分小水制作

∴异面直线 DM 与 AB 所成的角为 arctan

5 .???6 分

? CA ? 平面 AA1B1B ∵ CA ? AB , CA ? AA 1,
所以 C 到平面 AA 1B 1B 的距离为 CA=1.

?CC1 ∥平面 AA1B1B ,P.F. Productions 后期制作
C 到平面 AA1B1B 的距离相等,为 CA=1. ????9 分 可知 D 到平面 AA 1B 1B 的距离与
?MAB 的面积 S? ABM ? 又 AB // A 1B 1 ,∴

1 1 AB ? AA1 ? ???????????11 分 2 2

1 1 1 1 ? VD ? MAB ? S? ABM ? CA ? ? ? AC ? .?????????????????12 分 3 3 2 6
20. 解: (1) S ? S ABCD ? S?ABP ? S?ADQ 2分 ????????????????????

? 100 ? 50 tan ? ? 50 tan( ? ? ) 4

?

?????????????????4 分

1 ? tan ? ? ? ? ? 100 ? 50 ? tan ? ? ? , (0 ? ? ? ) ?????????????6 分 1 ? tan ? ? 4 ? (2)令 t ? 1 ? tan ? , t ? (1, 2) ??????????????????????8 分

?1 ? (t ? 1)2 ? 2 2 S ? 100 ? 50 ? ? 100 ? 50(t ? ? 2) ? 200 ? 50(t ? ) ? t t t ? ?
?t ?

?????10 分

2 2 2 (当且仅当 t ? 时,即 t ? 2 ? ?1, 2 ? ,等号成立)?12 分 ? 2 t? ? 2 2, t t t
??????????????????????14 分

? 当 t ? 2 时,搜索区域面积 S 的最大值为 200 ?100 2 (平方海里)
此时,? ? arctan( 2 ?1) 21. 解: (1)令 x1 ? x 2 ?

1 ,得 f (1) ? 1 ? 2

?1? f? ?? ?2?

?1? f ? ?, ?2?

7/5

则 f ? ? ? 0 , a1 ? f ( ) ? 1 ? 1 令 x1 ? x2 ? 则f?

?1? ?2?

1 2

??????????????????????1 分

1 1 ,得 f ( ) ? 1 ? 4 2

?1? f ? ?? ?4?

?1? f ? ?, ?4?

1 1 1 ?1? ? ? ? , a2 ? f ( 4 ) ? 1 ? 2 2 ?4?
1 2
n ?1

????????????????????2 分

令 x1 ? x 2 ? 即 f?

,得 f ?

1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? n ?1 ? ? 1 ? f ? n?1 ? ? f ? n?1 ? , n ?1 2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?
????????????????????4 分

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 f ? n ?1 ? , n ? ?2 ? ?2 ?

则 f?

? ? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ? 2?1 ? f ? n?1 ?? , an ? 2an?1 P.F. Productions 后期制作 n ? ?2 ? ? 2 ?? ?
1 ,首项 a1 ? 1 . 2
?????????6 分

所以,数列 {an } 是等比数列,公比 q ?

(2)令 x1 ? n, x2 ? 1 ,得 f (n ? 1) ? 1 ? f (1) ? f (n) ,即 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 则 { f (n)} 是等差数列,公小水制作差为 2,首项 f (1) ? 1 , 故 f (n) ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , ??????????????????8 分

bn ?

1 1 ? . ?????????????????????????9 分 f ( n) 2 n ? 1
1 1 1 ? ??? ,则 2n ? 1 2n ? 3 4n ? 1

设 g (n) ? bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2 n ?

g (n ? 1) ? g (n) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 0, 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 (4n ? 1)(4n ? 3)(2n ? 1)
1 1 12 ? ? ,??????????11 分 5 7 35

所以 {g (n)} 是递增数列, g min ? g (2) ? 从而 则?

6 12 log 2 ( x ? 1) ? ,即 log 2 ( x ? 1) ? 2 ???????????????12 分 35 35
??????????????????14 分

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? (?1,3) . ?x ?1 ? 4

解: (1)令 n1 ? n2 ? 1,得 f (2) ? 1 ? f ?1? ? f ?1? , 则 f (2) ? 3 , a1 ? f (2) ? 1 ? 4 ??????????????????????1 分 ??2 分 令 n1 ? n2 ? 2 ,得 f (4) ? 1 ? f ? 2? ? f ? 2? ,则 f (4) ? 7 , a2 ? f (4) ? 1 ? 8 令 n1 ? n2 ? 2 ,得 f (2 ? 2 ) ? 1 ? f (2 ) ? f (2 ) ,
n
n n n n

即 f (2

n?1

) ? 1 ? 2 f (2n ) , ???????????????????????4 分

n ?1 n 则 f (2 ) ? 1 ? 2 ? ?1 ? f (2 ) ? ? , an?1 ? 2an

所以,数列 {an } 是等比数列,公比 q ? 2 ,首项 a1 ? 4 . ??????????6 分
8/5

(2)令 n1 ? n, n2 ? 1,得 f (n ? 1) ? 1 ? f (1) ? f (n) ,即 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 则 { f (n)} 是等差数列,公差为 2,首项 f (1) ? 1 . 故 f (n) ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . ???????????????????8 分

f ( n) 2n ? 1 ? n ,则 2n 2 2n ? 1 2n ? 1 3 ? 2n g (n ? 1) ? g (n) ? n ?1 ? n ? n ?1 2 2 2 当 n ? 1 时, g (n ? 1) ? g (n) ? 0 ,即 g (2) ? g (1)
设 g ( n) ? 当 n ? 2 时, g (n ? 1) ? g (n) ? 0 ,即 n ? 2 时, {g (n)} 是递减数列. 所以, g max ? g (2) ? 从而 log 2 ( x ? 1) ? 则?

3 ????????????????????????11 分 4

3 8

3 ,即 log 2 ( x ? 1) ? 2 ????????????????12 分 4

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? (3, ??) .????????????????????14 分 ?x ?1 ? 4

x2 y 2 22. 解:(1)设小水椭圆 C1 方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , a b
所以直线 AB 方程为:

x y ? ? 1 ??????????????????1 分 ?a b

∴ F1 (?1,0) 到直线 AB 距离为 d ?

| b ? ab | a 2 ? b2

?

7 b ? a2 ? b2 ? 7(a ?1)2 ?? 2 分 7

2 2 又 b ? a ? 1,解得: a ? 2 , b ? 3 ??????????????????3 分

故:椭圆 C1 方程为:

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????? 4 分 4 3
, 所以 | PQ |2 ?| PR | ? | PS |

R| | ?P S| ? 1? 5 ? 5 (2) 当直线 l 与 x 轴重合时,| PQ |? 2 , 而| P
若存在直线 l ,使 | PQ | 是 | PR | 、 | PS | 的等比中项,

则可设直线 l 方程为: x ? my ? 3 ??????????????????? 5 分 代人椭圆 C1 的方程,得: 3(my ? 3) ? 4 y ? 12 即: (3m ? 4) y ? 18my ? 15 ? 0
2 2 2 2

∴ ? ? (18m) ? 4 ?15(3m ? 4) ? 48(3m ? 5)
2 2 2

记 R( x1 , y1 ) , S ( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 )

∴ y1 y2 ?

15 2 , y0 ? ? ??? 7 分 2 3m ? 4 m

9/5

∵ | PQ |2 ?| PR | ? | PS | ,即

y y | PR | | PQ | 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ y1 y2 ? y0 | PQ | | PS | y0 y2



15 4 16 4 3 ? 2 ,解得: m 2 ? ,符合 ? ? 0 ,所以 m ? ? ????? 9 分 2 3m ? 4 m 3 3

故存在直线 l ,使 | PQ | 是 | PR | 、 | PS | 的等比中项,其方程为

x??

4 3 3 y ? 3 ,即: y ? ? ( x ? 3) ????????????? 10 分 3 4
x2 y 2 ? ? 1 ????????????11 分 12 9

(3) 椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为:

设 Q 、 R 、 P 、 S 各点坐标依次为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 、 ( x3 , y3 ) 、 ( x4 , y4 ) 将 y ? kx ? b 代人椭圆 C1 方程,小水制作得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b 2 ?12 ? 0 ∴ ?1 ? (8kb)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4b2 ?12) ? 48(4k 2 ? 3 ? b2 ) ? 0 此时: x1 ? x2 ? ? (*)

8kb 4b2 ? 12 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

4 3(4k 2 ? 3 ? b2 ) ??????????13 分 3 ? 4k 2

将 y ? kx ? b 代人椭圆 C2 方程,得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 36 ? 0 ∴ x3 ? x4 ? ?

4 3(12k 2 ? 9 ? b2 ) 8kb 4b 2 ? 36 x x ? , ???14 分 ? | x ? x | ? 3 4 3 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,可得线段 PS 、 QR 中点相同,所以 | PQ |?| RS | 由 PS ? RS ? 2QS ? PQ ? QR ,所以 | PS |? 3 | QR | ,可得: | x3 ? x4 |? 3| x1 ? x2 | ∴

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

4 3(12k 2 ? 9 ? b2 ) 4 3(4k 2 ? 3 ? b2 ) ? 12k 2 ? 9 ? 4b2 (满足(*)式). ? 3 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
4b 2 4k 2 ? ? 1. ??????????????16 分 9 3

故:动点 E (k , b) 的轨迹方程为 解: (1) 2 ? 1 ?
x

1 3 ,解得 x ? ?1 或 x ? log 2 , 2 2

2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 ,????????2 分
画图可得:区间 a, b 长度的最大值为 log2 3 ,最

?

?

3 . ???????4 分 2 ? ? (2) g ( x) ? 2sin(2( x ? )) ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ???????????6 分 8 4
小值为 log 2

10 / 5

7 ? 3 11? ? , k ? Z ,小水制作 或 x ? k? ? g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 24 4 2 24 ? 5? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , ????????????????8 分 6 6 故若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 2014 个零点,则 b ? a 的最小值为

1007? ?

5? 1 ? 1006 ? .??????????????????????10 分 6 6

?x , x? A? B ? ?3 (3) F ? x ? ? ? ???????????????????12 分 ? x , x ? (?1,1) ? 2x ? 3 ?
当 x? A? B ,

? 2 1 ? ?1 2 ? F ( x) ? ? ? , ? ? ? ? , ? ,?????????????????????13 分 ? 3 3? ?3 3 ? 1 当 x ? (?1,1) , F ( x ) ? ( ?1, ) ,????????????????????14 分 5
所以 x ? [?2, 2] 时, F ( x) ? (?1, ) ? ? , ? ??????????????15 分 5 3 3 所以值域区间长度总和为 23. 解: (1) 2 ? 1 ?
x

1

?1 2 ? ? ?

23 。 ????????????????????16 分 15

1 , 2 3 解得 x ? ?1 或 x ? log 2 ,???????1 分 2
2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 , ???????2 分
画图可得:区间 a, b 长度的最大值为 log2 3 , 最小值为 log 2

?

?

3 .????????????4 分 2

?x , x? A? B ? ?3 (2) F ? x ? ? ? ? x , x ? (?1,1) ? ? 2x ? 3

??????????????????????6 分

当 x ? A ? B , F ( x) ? ? ? , ? ? ? ? , ? , ?????????????????7 分 3 3 3 3

? 2 ?

1? ?

?1 2 ? ? ?

当 x ? (?1,1) , F ( x ) ? ( ?1, ) , ???????????????????????8 分 所以 x ? [?2, 2] 时, F ( x) ? (?1, ) ? ? , ? ??????????????????9 分 5 3 3

1 5

1

?1 2 ? ? ?

11 / 5

所以值域区间长度总和为

(3)由于当 2 ? x ? 3 时,取 x ? 2.001 , f ?2.001 ?? 0 ,

23 。 ???????????????????????10 分 15
取 x ? 2.999 , f ?2.999? ? 0 ,小水

所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (2,3) 内有一个解 考虑函数 f ( x) ?

???????????……12 分

1 2 3 4 ? ? ? ? 2 ,由于当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,故在区 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 间 (??,1) 内,不存在使 f ( x) ? 0 的实数 x ;
对于集 {1, 2,3, 4} 中的任一个 k ,由于当 k ? 1 ? x ? k 时, 取 x ? k ? 0.001 , f ?x ? ? 0 ,取 x ? k ? 1 ? 0.001 , f ?x ? ? 0 又因为函数 y ? f ( x) 在区间 (1, 2), (2,3), (3, 4), (4, ??) 内单调递减, 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (1, 2), (2,3), (3, 4), (4, ??) 内各有一个解; 依次记这 4 个解为 x1 , x2 , x3 , x4 , 从而不等式 f ( x) ? 0 的解集是 E ? (1, x1 ) ? (2, x2 ) ? (3, x3 ) ? (4, x4 ) ,故得所有区间长 度的总和为

S ? ( x1 ?1) ? ( x2 ? 2) ? ( x3 ? 3) ? ( x4 ? 4) ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?10
???① ???????????????……15 分 对 f ( x) ? 0 进行同分处理,分子记为 p ( x)

p( x) ? ( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 2( x ? 1)( x ? 3)( x ? 4) ? 3( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4) ? 4( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ?2( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) 如将 p ( x) 展开,其最高项系数为 ?2 ,设

p( x) ? ?2x4 ? a3 x3 ? a2 x2 ? a1x ? a0
对比②③中 p ( x) 的 x3 系数,

??② ????③

又有 p( x) ? ?2( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 )( x ? x4 )

2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2(1 ? 2 ? 3 ? 4) ? 30
可得: S ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 ? 5 ……???????????????18 分

x2 y 2 解:(1)设椭圆 C 方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b x y ? ? 1 ??????????????????1 分 所以直线 AB 方程为: ?a b | b ? ab | 7 ∴ F1 (?1,0) 到直线 AB 距离为 d ? ? b ? a2 ? b2 ? 7(a ?1)2 ??2 分 2 2 7 a ?b
2 2 又 b ? a ? 1,解得小水: a ? 2 , b ? 3 ????????????????3 分

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????? 4 分 故:椭圆 C 方程为: 4 3

12 / 5

R| | ?P S| ? 1? 5 ? 5 (2) 当直线 l 与 x 轴重合时,| PQ |? 2 , 而| P

, 所以 | PQ |2 ?| PR | ? | PS |

故可设直线 l 方程为: x ? my ? 3 ,??????????????????? 5 分 代人椭圆 C 的方程,得: 3(my ? 3)2 ? 4 y 2 ? 12 ,即: (3m2 ? 4) y 2 ? 18my ? 15 ? 0 ∴ ? ? (18m)2 ? 4 ?15(3m2 ? 4) ? 48(3m2 ? 5) 记 R( x1 , y1 ) , S ( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 ) ∵ | PQ |2 ?| PR | ? | PS | ,即 ∴ y1 y2 ?

15 2 , y0 ? ? ??? 7 分 2 3m ? 4 m

y y | PR | | PQ | 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ y1 y2 ? y0 | PQ | | PS | y0 y2



15 4 16 4 3 ? 2 ,解得: m 2 ? ,符合 ? ? 0 ,所以 m ? ? ????? 9 分 2 3m ? 4 m 3 3

故直线 l 的方程为 x ? ?

4 3 3 y ? 3 ,即: y ? ? ( x ? 3) ????????? 10 分 3 4

(3) 椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,所以圆 D 的方程为: x 2 ? y 2 ? 1 ①若切线 m 垂直于 x 轴,则其方程为: x ? ?1 ,易求得 | MN |? 3 ?????? 11 分 ②若切线 m 不垂直于 x 轴,可设其方程为: y ? kx ? b 所以

|b| k ?1
2

? 1 ? b2 ? k 2 ? 1
2 2 2

将 y ? kx ? b 代人椭圆 C 方程,得: (3 ? 4k ) x ? 8kbx ? 4b ?12 ? 0 ∴ ? ? (8kb) ? 4(3 ? 4k )(4b ?12) ? 48(4k ? 3 ? b ) ? 48(3k ? 2) ? 0 (*)?13 分
2 2 2 2 2 2

记 M 、 N 两点的坐标分别为 ( x3 , y3 ) 、 ( x4 , y4 )

4 3(4k 2 ? 3 ? b2 ) 8kb 4b 2 ? 12 此时: x3 ? x4 ? ? , x3 x4 ? ?| x3 ? x4 |? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2


| MN |? 1 ? k 2 ?

4 3(4k 2 ? 3 ? b 2) 4 3(3k 2? 2) 2 ??????15 分 ? 1 ? k ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
t ?3 4

2 2 令 3 ? 4k ? t ,所以 t ? 3 , k ?

t ?1 ? ∴ | MN |? f (t ) ? 4

4 3?

3t ? 1 4 ? 3(t ? 1)(3t ? 1) ? 3(? 1 ? 2 ? 3) t t t2 t

1 1 1 2 32 4 6 t ? 3 ? 0 ? ? ?3? ? 2 ? ?3? ????17 分 ? 3 ?| MN |? t 3 t t 9 3

13 / 5

综合①②,得:弦长 | MN | 的取值范围为 [3,

4 6 ] .???????????????18 分 3

14 / 5


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